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1. 若对任意实数$x$,二次函数$y=(k+1)x^2$的值总为非负数,则$k$的取值范围是(
A.$k≥ -1$
B.$k≤ -1$
C.$k＞ -1$
D.$k＜ -1$
C
)。A.$k≥ -1$
B.$k≤ -1$
C.$k＞ -1$
D.$k＜ -1$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先抓住题干两个核心条件：①该函数是二次函数，需满足二次项系数不为0；②对任意实数x，函数值总为非负数。首先回忆二次函数的定义，排除二次项系数为0的情况；再结合x²≥0的恒成立性质，要让整个二次式的值恒为非负，需保证二次项系数为正，据此列不等式求解即可。
【解析】
∵ 函数$y=(k+1)x^2$是二次函数
∴ 二次项系数不为0，即$k+1≠0$，得$k≠-1$
又
∵ 对任意实数$x$，函数值总为非负数，且$x^2≥0$恒成立
∴ 需满足$k+1＞0$（若$k+1＜0$，则当$x≠0$时，$(k+1)x^2＜0$，不符合非负要求）
解不等式$k+1＞0$，得$k＞-1$
综上，$k$的取值范围是$k＞-1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的性质；一元一次不等式解法
【点评】
本题的易错点是忽略“二次函数”的限定条件，误将$k=-1$的情况纳入取值范围错选A，解题时需先明确函数类型，再结合对应性质分析，避免漏看题干条件。
【难度系数】
0.7
解题时先抓住题干两个核心条件：①该函数是二次函数，需满足二次项系数不为0；②对任意实数x，函数值总为非负数。首先回忆二次函数的定义，排除二次项系数为0的情况；再结合x²≥0的恒成立性质，要让整个二次式的值恒为非负，需保证二次项系数为正，据此列不等式求解即可。
【解析】
∵ 函数$y=(k+1)x^2$是二次函数
∴ 二次项系数不为0，即$k+1≠0$，得$k≠-1$
又
∵ 对任意实数$x$，函数值总为非负数，且$x^2≥0$恒成立
∴ 需满足$k+1＞0$（若$k+1＜0$，则当$x≠0$时，$(k+1)x^2＜0$，不符合非负要求）
解不等式$k+1＞0$，得$k＞-1$
综上，$k$的取值范围是$k＞-1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的性质；一元一次不等式解法
【点评】
本题的易错点是忽略“二次函数”的限定条件，误将$k=-1$的情况纳入取值范围错选A，解题时需先明确函数类型，再结合对应性质分析，避免漏看题干条件。
【难度系数】
0.7
2. 已知点$A(x_1, -7)$和点$B(x_2, -7)(x_1≠x_2)$均在抛物线$y=ax^2$上，则当$x=x_1+x_2$时，$y$的值是
0
。答案
2. 0
解析
【分析】
首先观察到点A和点B的纵坐标相等，且均在抛物线$y=ax^2$上，回忆抛物线$y=ax^2$的性质：它的对称轴是y轴（即直线$x=0$），纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，因此两点横坐标的平均值等于对称轴对应的横坐标，由此可推出$x_1+x_2$的值，再将$x=x_1+x_2$代入抛物线解析式即可求出y的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），
又
∵ 点$A(x_1, -7)$和点$B(x_2, -7)$的纵坐标相等，且$x_1≠x_2$，
∴ 点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴ 两点横坐标的中点在对称轴上，即$\frac{x_1+x_2}{2}=0$，
解得$x_1+x_2=0$，
将$x=x_1+x_2=0$代入$y=ax^2$，得$y=a×0^2=0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题解题的核心是利用二次函数的对称性，快速得到两个对称点横坐标的和，无需分别求解$x_1$、$x_2$的具体值，简化了计算过程，掌握抛物线的基本性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
首先观察到点A和点B的纵坐标相等，且均在抛物线$y=ax^2$上，回忆抛物线$y=ax^2$的性质：它的对称轴是y轴（即直线$x=0$），纵坐标相同的两个点关于对称轴对称，因此两点横坐标的平均值等于对称轴对应的横坐标，由此可推出$x_1+x_2$的值，再将$x=x_1+x_2$代入抛物线解析式即可求出y的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），
又
∵ 点$A(x_1, -7)$和点$B(x_2, -7)$的纵坐标相等，且$x_1≠x_2$，
∴ 点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴ 两点横坐标的中点在对称轴上，即$\frac{x_1+x_2}{2}=0$，
解得$x_1+x_2=0$，
将$x=x_1+x_2=0$代入$y=ax^2$，得$y=a×0^2=0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题解题的核心是利用二次函数的对称性，快速得到两个对称点横坐标的和，无需分别求解$x_1$、$x_2$的具体值，简化了计算过程，掌握抛物线的基本性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
3. 如图，四个二次函数的图象分别对应①$y = ax^2$；②$y = bx^2$；③$y = cx^2$；④$y = dx^2$，且①与③，②与④分别关于x轴对称。
(1)比较a,b,c,d的大小；
(2)说明a与c,b与d的数量关系。
(1)比较a,b,c,d的大小；
(2)说明a与c,b与d的数量关系。
答案
(1) 由抛物线的开口方向,知$a＞0,b＞0,c＜0,d＜0$,由抛物线的开口大小,知$|a|＞|b|,|c|＞|d|$,因此$a＞b,c＜d$。$\therefore a＞b＞d＞c$
(2) $\because$ ①与③,②与④分别关于$x$轴对称,$\therefore$ ①与③,②与④的开口大小相同,方向相反。$\therefore a + c = 0,b + d = 0$
(2) $\because$ ①与③,②与④分别关于$x$轴对称,$\therefore$ ①与③,②与④的开口大小相同,方向相反。$\therefore a + c = 0,b + d = 0$
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：①开口方向由$a$的符号决定，开口向上时$a＞0$，开口向下时$a＜0$；②开口宽窄由$|a|$决定，$|a|$越大，抛物线开口越窄。对于第一问，先根据开口方向判断$a、b、c、d$的正负，再根据开口宽窄判断绝对值大小，结合有理数大小比较规则排序即可；对于第二问，根据关于x轴对称的两个图形的性质：相同横坐标对应的纵坐标互为相反数，即可推出对应二次项系数的数量关系。
【解析】
(1) 首先观察抛物线开口方向：
抛物线①②开口向上，因此$a＞0$，$b＞0$；抛物线①的开口比②更窄，说明$|a|＞|b|$，因此$a＞b＞0$。
抛物线③④开口向下，因此$c＜0$，$d＜0$；抛物线③的开口比④更窄，说明$|c|＞|d|$，负数中绝对值越大数值越小，因此$c＜d＜0$。
综上可得大小关系：$a＞b＞d＞c$。
(2) 已知①与③、②与④分别关于x轴对称，关于x轴对称的两个抛物线开口大小相同、开口方向相反，因此它们的二次项系数互为相反数，可得：
$a=-c$，$b=-d$，即$a + c = 0$，$b + d = 0$。
【答案】
(1) $a＞b＞d＞c$
(2) $a + c = 0$，$b + d = 0$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，轴对称的性质，有理数大小比较
【点评】
本题重点考查二次函数$y=ax^2$中系数$a$对图象的影响，结合轴对称性质判断系数关系，属于基础题，熟练掌握二次函数的基本图象性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：①开口方向由$a$的符号决定，开口向上时$a＞0$，开口向下时$a＜0$；②开口宽窄由$|a|$决定，$|a|$越大，抛物线开口越窄。对于第一问，先根据开口方向判断$a、b、c、d$的正负，再根据开口宽窄判断绝对值大小，结合有理数大小比较规则排序即可；对于第二问，根据关于x轴对称的两个图形的性质：相同横坐标对应的纵坐标互为相反数，即可推出对应二次项系数的数量关系。
【解析】
(1) 首先观察抛物线开口方向：
抛物线①②开口向上，因此$a＞0$，$b＞0$；抛物线①的开口比②更窄，说明$|a|＞|b|$，因此$a＞b＞0$。
抛物线③④开口向下，因此$c＜0$，$d＜0$；抛物线③的开口比④更窄，说明$|c|＞|d|$，负数中绝对值越大数值越小，因此$c＜d＜0$。
综上可得大小关系：$a＞b＞d＞c$。
(2) 已知①与③、②与④分别关于x轴对称，关于x轴对称的两个抛物线开口大小相同、开口方向相反，因此它们的二次项系数互为相反数，可得：
$a=-c$，$b=-d$，即$a + c = 0$，$b + d = 0$。
【答案】
(1) $a＞b＞d＞c$
(2) $a + c = 0$，$b + d = 0$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，轴对称的性质，有理数大小比较
【点评】
本题重点考查二次函数$y=ax^2$中系数$a$对图象的影响，结合轴对称性质判断系数关系，属于基础题，熟练掌握二次函数的基本图象性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4. 如图,某涵洞截面的形状是抛物线,现测得水面宽$AB=1.6\ \mathrm{m}$,涵洞的顶点$O$到水面的距离为$2.4\ \mathrm{m}$,求该抛物线的表达式。
答案
$y=-\dfrac{15}{4}x^2$
解析
【分析】
首先观察坐标系可知抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此可设抛物线的解析式为顶点式$y=ax^2(a≠0)$。接下来根据已知的水面宽度和顶点到水面的距离，确定抛物线上点B的坐标，再将点坐标代入所设解析式求出系数$a$，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
解：由图可知抛物线的顶点为原点$O(0,0)$，对称轴为y轴，因此设该抛物线的表达式为$y=ax^2(a≠0)$。
已知水面宽$AB=1.6\ \mathrm{m}$，顶点$O$到水面的距离为$2.4\ \mathrm{m}$，则点B的横坐标为$1.6÷2=0.8$，纵坐标为$-2.4$，即$B(0.8, -2.4)$。
将$B(0.8, -2.4)$代入$y=ax^2$得：
$-2.4 = a×(0.8)^2$
计算得$0.8^2=0.64$，因此：
$a=\frac{-2.4}{0.64}=-\frac{15}{4}$
所以该抛物线的表达式为$y=-\frac{15}{4}x^2$。
【答案】
$y=-\dfrac{15}{4}x^2$
【知识点】
待定系数法；二次函数解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是结合坐标系特点合理设出函数解析式，再利用已知点的坐标代入求解，掌握待定系数法是解答这类题的关键。
【难度系数】
0.7
首先观察坐标系可知抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此可设抛物线的解析式为顶点式$y=ax^2(a≠0)$。接下来根据已知的水面宽度和顶点到水面的距离，确定抛物线上点B的坐标，再将点坐标代入所设解析式求出系数$a$，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
解：由图可知抛物线的顶点为原点$O(0,0)$，对称轴为y轴，因此设该抛物线的表达式为$y=ax^2(a≠0)$。
已知水面宽$AB=1.6\ \mathrm{m}$，顶点$O$到水面的距离为$2.4\ \mathrm{m}$，则点B的横坐标为$1.6÷2=0.8$，纵坐标为$-2.4$，即$B(0.8, -2.4)$。
将$B(0.8, -2.4)$代入$y=ax^2$得：
$-2.4 = a×(0.8)^2$
计算得$0.8^2=0.64$，因此：
$a=\frac{-2.4}{0.64}=-\frac{15}{4}$
所以该抛物线的表达式为$y=-\frac{15}{4}x^2$。
【答案】
$y=-\dfrac{15}{4}x^2$
【知识点】
待定系数法；二次函数解析式；二次函数实际应用
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题核心是结合坐标系特点合理设出函数解析式，再利用已知点的坐标代入求解，掌握待定系数法是解答这类题的关键。
【难度系数】
0.7
