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1. $\sqrt{(-6)^2}$的值是 【 】
A.$\pm6$
B.$6$
C.$-6$
D.$\pm\sqrt{6}$
A.$\pm6$
B.$6$
C.$-6$
D.$\pm\sqrt{6}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先明确本题考查二次根式的化简，需结合二次根式的性质和算术平方根的定义思考：第一步先计算根号内的乘方运算，第二步明确根号符号表示的是算术平方根，结果为非负数，据此排除错误选项得到正确答案。
【解析】
方法1：先计算根号内的运算：$(-6)^2=36$，则$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}$；$\sqrt{36}$表示36的算术平方根，根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根为非负数，因此$\sqrt{36}=6$。
方法2：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 算术平方根的概念
【点评】
本题属于基础题，易错点是混淆平方根和算术平方根的概念，误将算术平方根的结果写为正负两个值，解题时牢记算术平方根的非负性即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确本题考查二次根式的化简，需结合二次根式的性质和算术平方根的定义思考：第一步先计算根号内的乘方运算，第二步明确根号符号表示的是算术平方根，结果为非负数，据此排除错误选项得到正确答案。
【解析】
方法1：先计算根号内的运算：$(-6)^2=36$，则$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}$；$\sqrt{36}$表示36的算术平方根，根据算术平方根的定义，非负数的算术平方根为非负数，因此$\sqrt{36}=6$。
方法2：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-6)^2}=|-6|=6$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 算术平方根的概念
【点评】
本题属于基础题，易错点是混淆平方根和算术平方根的概念，误将算术平方根的结果写为正负两个值，解题时牢记算术平方根的非负性即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 下列计算正确的是 【 】
A.$\sqrt{9}=\pm3$
B.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
C.$(-\sqrt{6})^2=6$
D.$(\sqrt{-2})^2=-2$
A.$\sqrt{9}=\pm3$
B.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
C.$(-\sqrt{6})^2=6$
D.$(\sqrt{-2})^2=-2$
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次根式的相关性质与算术平方根的定义，解题时需结合二次根式的核心性质逐一判断每个选项的运算是否正确：首先要明确①算术平方根的结果为非负数；②二次根式有意义的前提是被开方数为非负数；③两个常用运算性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），依据上述规则逐个验证选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，算术平方根只有非负结果，因此$\sqrt{9}=3$，而非$\pm3$，该选项错误。
选项B：根据性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$，不等于$-2$，该选项错误。
选项C：$(-\sqrt{6})^2=(-1)^2×(\sqrt{6})^2=1×6=6$，符合$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）的性质，该选项正确。
选项D：二次根式有意义要求被开方数非负，$\sqrt{-2}$的被开方数是$-2＜0$，式子本身无意义，该选项错误。
综上，计算正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质；算术平方根的定义；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，重点考查对二次根式核心性质的掌握，解题时需注意区分$\sqrt{a^2}$与$(\sqrt{a})^2$的运算规则，牢记算术平方根的非负性与二次根式的取值要求即可快速判断。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的相关性质与算术平方根的定义，解题时需结合二次根式的核心性质逐一判断每个选项的运算是否正确：首先要明确①算术平方根的结果为非负数；②二次根式有意义的前提是被开方数为非负数；③两个常用运算性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），依据上述规则逐个验证选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，算术平方根只有非负结果，因此$\sqrt{9}=3$，而非$\pm3$，该选项错误。
选项B：根据性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(-2)^2}=|-2|=2$，不等于$-2$，该选项错误。
选项C：$(-\sqrt{6})^2=(-1)^2×(\sqrt{6})^2=1×6=6$，符合$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）的性质，该选项正确。
选项D：二次根式有意义要求被开方数非负，$\sqrt{-2}$的被开方数是$-2＜0$，式子本身无意义，该选项错误。
综上，计算正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质；算术平方根的定义；二次根式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，重点考查对二次根式核心性质的掌握，解题时需注意区分$\sqrt{a^2}$与$(\sqrt{a})^2$的运算规则，牢记算术平方根的非负性与二次根式的取值要求即可快速判断。
【难度系数】
0.8
3. 用一个a的值说明“$\sqrt{a^2}=-a$”，这个值可以是 【 】
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，题目给出$\sqrt{a^2}=-a$，也就是$|a|=-a$。接下来回忆绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，所以当$|a|=-a$时，说明$a$是非正数（即$a≤0$），最后对照四个选项，选出符合$a≤0$的数值即可。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{a^2}=|a|$，
已知$\sqrt{a^2}=-a$，因此$|a|=-a$，
由绝对值的性质可知，当$a≤0$时，$|a|=-a$。
逐一分析选项：
A、当$a=-1$时，$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$，$-a=-(-1)=1$，等式成立，符合要求；
B、当$a=1$时，$\sqrt{1^2}=1$，$-a=-1$，$1≠-1$，不符合要求；
C、当$a=2$时，$\sqrt{2^2}=2$，$-a=-2$，$2≠-2$，不符合要求；
D、当$a=3$时，$\sqrt{3^2}=3$，$-a=-3$，$3≠-3$，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题考查二次根式的性质与绝对值的化简应用，解题关键是牢记$\sqrt{a^2}=|a|$，再根据等式条件判断a的取值范围，是对基础性质的直接考查，掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆二次根式的核心性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，题目给出$\sqrt{a^2}=-a$，也就是$|a|=-a$。接下来回忆绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，所以当$|a|=-a$时，说明$a$是非正数（即$a≤0$），最后对照四个选项，选出符合$a≤0$的数值即可。
【解析】
根据二次根式的性质可得：$\sqrt{a^2}=|a|$，
已知$\sqrt{a^2}=-a$，因此$|a|=-a$，
由绝对值的性质可知，当$a≤0$时，$|a|=-a$。
逐一分析选项：
A、当$a=-1$时，$\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$，$-a=-(-1)=1$，等式成立，符合要求；
B、当$a=1$时，$\sqrt{1^2}=1$，$-a=-1$，$1≠-1$，不符合要求；
C、当$a=2$时，$\sqrt{2^2}=2$，$-a=-2$，$2≠-2$，不符合要求；
D、当$a=3$时，$\sqrt{3^2}=3$，$-a=-3$，$3≠-3$，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；绝对值的化简
【点评】
本题考查二次根式的性质与绝对值的化简应用，解题关键是牢记$\sqrt{a^2}=|a|$，再根据等式条件判断a的取值范围，是对基础性质的直接考查，掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 若$m^2=(-\sqrt{3})^2$，则$m=$
$\pm\sqrt{3}$
。答案
4. $\pm\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先计算等式右侧的数值：根据乘方的运算性质，负数的平方为正数，结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可算出右侧结果为3；再将问题转化为求3的平方根，根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，即可得到m的取值，注意不要遗漏负根。
【解析】
1. 计算等式右边的结果：
$(-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$
2. 原等式化简为：$m^2=3$
3. 根据平方根的定义：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$是$a$的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数，因此$m=\pm\sqrt{3}$
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 平方根的定义
3. 乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查二次根式的运算规则和平方根的基本概念，易错点是解题时容易忽略正数的平方根有两个，仅写出正根$\sqrt{3}$，做题时要注意考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.75
解题时先计算等式右侧的数值：根据乘方的运算性质，负数的平方为正数，结合二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可算出右侧结果为3；再将问题转化为求3的平方根，根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，即可得到m的取值，注意不要遗漏负根。
【解析】
1. 计算等式右边的结果：
$(-\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$
2. 原等式化简为：$m^2=3$
3. 根据平方根的定义：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$是$a$的平方根，正数的平方根有两个且互为相反数，因此$m=\pm\sqrt{3}$
【答案】
$\pm\sqrt{3}$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 平方根的定义
3. 乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查二次根式的运算规则和平方根的基本概念，易错点是解题时容易忽略正数的平方根有两个，仅写出正根$\sqrt{3}$，做题时要注意考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.75
5. 若$\sqrt{b^2 - 6b + 9} = 3 - b$，则$b$的取值范围为________
答案
$b ≤ 3$
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，先将根号内的多项式转化为完全平方式，把原式左边化简为绝对值形式；再根据绝对值的代数意义：若$|x|=-x$，则$x≤0$，列不等式即可求出$b$的取值范围。
【解析】
1. 先对根号内的式子配方变形：
$b^2-6b+9=(b-3)^2$，因此原等式左边可化为$\sqrt{(b-3)^2}$。
2. 根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(b-3)^2}=|b-3|$，原等式转化为$|b-3|=3-b$。
3. 根据绝对值的性质：非正数的绝对值等于它的相反数，因此$b-3≤0$，解不等式得$b≤3$。
【答案】
$b≤3$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的性质，完全平方公式
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题核心是将根号内的完全平方式转化为绝对值形式，再结合绝对值的意义列不等式求解，易错点是容易忽略等于0的情况，漏掉不等式的等号。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，先将根号内的多项式转化为完全平方式，把原式左边化简为绝对值形式；再根据绝对值的代数意义：若$|x|=-x$，则$x≤0$，列不等式即可求出$b$的取值范围。
【解析】
1. 先对根号内的式子配方变形：
$b^2-6b+9=(b-3)^2$，因此原等式左边可化为$\sqrt{(b-3)^2}$。
2. 根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(b-3)^2}=|b-3|$，原等式转化为$|b-3|=3-b$。
3. 根据绝对值的性质：非正数的绝对值等于它的相反数，因此$b-3≤0$，解不等式得$b≤3$。
【答案】
$b≤3$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的性质，完全平方公式
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题核心是将根号内的完全平方式转化为绝对值形式，再结合绝对值的意义列不等式求解，易错点是容易忽略等于0的情况，漏掉不等式的等号。
【难度系数】
0.7
6. 已知实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简$\sqrt{b^2} - \sqrt{(a - b)^2} =$
（第6题）
$a$
。（第6题）答案
6. $a$
解析
【分析】
首先观察数轴确定a、b的正负性和大小关系：a在原点左侧，因此a＜0；b在原点右侧，因此b＞0，且a到原点的距离大于b到原点的距离，可推出a-b＜0。其次回忆二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，因此解题时需要先将二次根式转化为绝对值形式，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知$a＜0＜b$，且$|a|＞|b|$，因此$a-b＜0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简：
$\begin{aligned}\sqrt{b^2} - \sqrt{(a - b)^2}&=|b|-|a-b|\\\end{aligned}$
因为$b＞0$，所以$|b|=b$；因为$a-b＜0$，所以$|a-b|=-(a-b)=b-a$，代入上式得：
$\begin{aligned}原式&=b-(b-a)\\&=b-b+a\\&=a\end{aligned}$
【答案】
$a$
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是基础运算类题目，解题的关键是结合数轴正确判断代数式的正负，再准确运用二次根式和绝对值的性质化简，需要注意去绝对值时符号的变化，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴确定a、b的正负性和大小关系：a在原点左侧，因此a＜0；b在原点右侧，因此b＞0，且a到原点的距离大于b到原点的距离，可推出a-b＜0。其次回忆二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，因此解题时需要先将二次根式转化为绝对值形式，再根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：由数轴可知$a＜0＜b$，且$|a|＞|b|$，因此$a-b＜0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，对原式化简：
$\begin{aligned}\sqrt{b^2} - \sqrt{(a - b)^2}&=|b|-|a-b|\\\end{aligned}$
因为$b＞0$，所以$|b|=b$；因为$a-b＜0$，所以$|a-b|=-(a-b)=b-a$，代入上式得：
$\begin{aligned}原式&=b-(b-a)\\&=b-b+a\\&=a\end{aligned}$
【答案】
$a$
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是基础运算类题目，解题的关键是结合数轴正确判断代数式的正负，再准确运用二次根式和绝对值的性质化简，需要注意去绝对值时符号的变化，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
7. 计算：
(1) $(\sqrt{\dfrac{4}{13}})^2$；
(2) $\sqrt{(-\dfrac{1}{8})^2}$；
(3) $(-\sqrt{1-\dfrac{24}{25}})^2$；
(4) $-2(\sqrt{3})^2 × (\sqrt{\dfrac{1}{3}})^2$。
(1) $(\sqrt{\dfrac{4}{13}})^2$；
(2) $\sqrt{(-\dfrac{1}{8})^2}$；
(3) $(-\sqrt{1-\dfrac{24}{25}})^2$；
(4) $-2(\sqrt{3})^2 × (\sqrt{\dfrac{1}{3}})^2$。
答案
(1) $\dfrac{4}{13}$ (2) $\dfrac{1}{8}$ (3) $\dfrac{1}{25}$ (4) $-2$
解析
【分析】
解决本题需要用到二次根式的两个核心性质：①$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）；②$\sqrt{a^2}=|a|$，解题时先判断每道小题适用的性质，再按照运算顺序逐步计算即可：
(1) 直接套用性质①，被开方数$\frac{4}{13}＞0$，可直接得出结果；
(2) 属于$\sqrt{a^2}$的形式，套用性质②，求$-\frac{1}{8}$的绝对值即可；
(3) 先计算被开方数的减法，再结合平方的非负性和性质①计算；
(4) 先分别计算两个二次根式的平方，再按照从左到右的顺序计算乘法即可。
【解析】
(1) 根据$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），可得：
$(\sqrt{\dfrac{4}{13}})^2=\dfrac{4}{13}$
(2) 根据$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(-\dfrac{1}{8})^2}=\left|-\dfrac{1}{8}\right|=\dfrac{1}{8}$
(3) 先计算被开方数：$1-\dfrac{24}{25}=\dfrac{1}{25}$，再计算平方：
$(-\sqrt{1-\dfrac{24}{25}})^2=(-\sqrt{\dfrac{1}{25}})^2=(\sqrt{\dfrac{1}{25}})^2=\dfrac{1}{25}$
(4) 先分别计算乘方，再计算乘法：
$-2(\sqrt{3})^2 × (\sqrt{\dfrac{1}{3}})^2=-2×3×\dfrac{1}{3}=-2$
【答案】
(1) $\dfrac{4}{13}$；(2) $\dfrac{1}{8}$；(3) $\dfrac{1}{25}$；(4) $-2$
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的化简、实数混合运算
【点评】
本题侧重考察二次根式核心性质的基础应用，解题时要注意区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的适用条件，计算时遵循先乘方、再乘除的运算顺序，熟练掌握性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解决本题需要用到二次根式的两个核心性质：①$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$）；②$\sqrt{a^2}=|a|$，解题时先判断每道小题适用的性质，再按照运算顺序逐步计算即可：
(1) 直接套用性质①，被开方数$\frac{4}{13}＞0$，可直接得出结果；
(2) 属于$\sqrt{a^2}$的形式，套用性质②，求$-\frac{1}{8}$的绝对值即可；
(3) 先计算被开方数的减法，再结合平方的非负性和性质①计算；
(4) 先分别计算两个二次根式的平方，再按照从左到右的顺序计算乘法即可。
【解析】
(1) 根据$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），可得：
$(\sqrt{\dfrac{4}{13}})^2=\dfrac{4}{13}$
(2) 根据$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(-\dfrac{1}{8})^2}=\left|-\dfrac{1}{8}\right|=\dfrac{1}{8}$
(3) 先计算被开方数：$1-\dfrac{24}{25}=\dfrac{1}{25}$，再计算平方：
$(-\sqrt{1-\dfrac{24}{25}})^2=(-\sqrt{\dfrac{1}{25}})^2=(\sqrt{\dfrac{1}{25}})^2=\dfrac{1}{25}$
(4) 先分别计算乘方，再计算乘法：
$-2(\sqrt{3})^2 × (\sqrt{\dfrac{1}{3}})^2=-2×3×\dfrac{1}{3}=-2$
【答案】
(1) $\dfrac{4}{13}$；(2) $\dfrac{1}{8}$；(3) $\dfrac{1}{25}$；(4) $-2$
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的化简、实数混合运算
【点评】
本题侧重考察二次根式核心性质的基础应用，解题时要注意区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的适用条件，计算时遵循先乘方、再乘除的运算顺序，熟练掌握性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
