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9. 求下列各式的算术平方根：
(1) 1.96；
(2) $\frac{64}{121}$；
(3) $\frac{81}{10^4}$；
(4) 289.
(1) 1.96；
(2) $\frac{64}{121}$；
(3) $\frac{81}{10^4}$；
(4) 289.
答案
9. (1) 1.4
(2) $\frac{8}{11}$
(3) $\frac{9}{100}$
(4) 17
(2) $\frac{8}{11}$
(3) $\frac{9}{100}$
(4) 17
解析
【分析】
解答本题首先要明确算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$就叫做$a$的算术平方根，且算术平方根的结果一定为非负数。解题时只需分别找到哪个正有理数的平方等于对应待求式的数值，该正数就是待求的算术平方根。
【解析】
(1) 因为$1.4^2 = 1.96$，根据算术平方根的定义，可得1.96的算术平方根是1.4；
(2) 因为$(\frac{8}{11})^2 = \frac{64}{121}$，根据算术平方根的定义，可得$\frac{64}{121}$的算术平方根是$\frac{8}{11}$；
(3) 因为$(\frac{9}{100})^2 = \frac{81}{10^4}$，根据算术平方根的定义，可得$\frac{81}{10^4}$的算术平方根是$\frac{9}{100}$；
(4) 因为$17^2 = 289$，根据算术平方根的定义，可得289的算术平方根是17。
【答案】
(1) 1.4
(2) $\frac{8}{11}$
(3) $\frac{9}{100}$
(4) 17
【知识点】
算术平方根的定义、有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对算术平方根非负性的理解，计算时牢记常见整数、分数的平方结果，可有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么这个非负数$x$就叫做$a$的算术平方根，且算术平方根的结果一定为非负数。解题时只需分别找到哪个正有理数的平方等于对应待求式的数值，该正数就是待求的算术平方根。
【解析】
(1) 因为$1.4^2 = 1.96$，根据算术平方根的定义，可得1.96的算术平方根是1.4；
(2) 因为$(\frac{8}{11})^2 = \frac{64}{121}$，根据算术平方根的定义，可得$\frac{64}{121}$的算术平方根是$\frac{8}{11}$；
(3) 因为$(\frac{9}{100})^2 = \frac{81}{10^4}$，根据算术平方根的定义，可得$\frac{81}{10^4}$的算术平方根是$\frac{9}{100}$；
(4) 因为$17^2 = 289$，根据算术平方根的定义，可得289的算术平方根是17。
【答案】
(1) 1.4
(2) $\frac{8}{11}$
(3) $\frac{9}{100}$
(4) 17
【知识点】
算术平方根的定义、有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对算术平方根非负性的理解，计算时牢记常见整数、分数的平方结果，可有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.9
10. 求下列各式的值：
(1) $\pm\sqrt{196}$；
(2) $\sqrt{(-\dfrac{3}{10})^2}$；
(3) $\sqrt{0.04} + \sqrt{0.64}$；
(4) $\sqrt{1\dfrac{9}{16}} + \sqrt{4\dfrac{25}{36}}$。
(1) $\pm\sqrt{196}$；
(2) $\sqrt{(-\dfrac{3}{10})^2}$；
(3) $\sqrt{0.04} + \sqrt{0.64}$；
(4) $\sqrt{1\dfrac{9}{16}} + \sqrt{4\dfrac{25}{36}}$。
答案
(1) $\pm14$
(2) $\frac{3}{10}$
(3) 1
(4) $3\frac{5}{12}(或\frac{41}{12})$
(2) $\frac{3}{10}$
(3) 1
(4) $3\frac{5}{12}(或\frac{41}{12})$
解析
【分析】
解题时首先要明确平方根与算术平方根的区别：$\pm\sqrt{a}$表示求非负数$a$的平方根，结果为互为相反数的两个数；$\sqrt{a}$表示求非负数$a$的算术平方根，结果为非负数。解题步骤遵循：①若根号内是带分数，先化为假分数；②若根号内有平方运算，可先计算平方或利用$\sqrt{a^2}=|a|$化简；③有加减运算时，先分别化简每个二次根式，再计算加减。
【解析】
(1) 因为$14^2=196$，根据平方根的定义，196的平方根为$\pm14$，所以$\pm\sqrt{196}=\pm14$。
(2) 根据算术平方根的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，得$\sqrt{(-\dfrac{3}{10})^2}=\left|-\dfrac{3}{10}\right|=\dfrac{3}{10}$。
(3) 先分别化简两个算术平方根：$\sqrt{0.04}=0.2$，$\sqrt{0.64}=0.8$，再相加得$0.2+0.8=1$。
(4) 先将带分数化为假分数：$1\dfrac{9}{16}=\dfrac{25}{16}$，$4\dfrac{25}{36}=\dfrac{169}{36}$；
再分别开方：$\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{4}$，$\sqrt{\dfrac{169}{36}}=\dfrac{13}{6}$；
最后通分相加：$\dfrac{5}{4}+\dfrac{13}{6}=\dfrac{15}{12}+\dfrac{26}{12}=\dfrac{41}{12}=3\dfrac{5}{12}$。
【答案】
(1) $\pm14$
(2) $\dfrac{3}{10}$
(3) $1$
(4) $3\dfrac{5}{12}$（或$\dfrac{41}{12}$）
【知识点】
平方根的概念；算术平方根的性质；二次根式的运算
【点评】
本题是平方根、算术平方根的基础计算题，核心是区分$\pm\sqrt{a}$和$\sqrt{a}$的不同意义，计算时注意根号内是带分数的要先化为假分数，避免出现拆分带分数整数部分和分数部分分别开方的错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确平方根与算术平方根的区别：$\pm\sqrt{a}$表示求非负数$a$的平方根，结果为互为相反数的两个数；$\sqrt{a}$表示求非负数$a$的算术平方根，结果为非负数。解题步骤遵循：①若根号内是带分数，先化为假分数；②若根号内有平方运算，可先计算平方或利用$\sqrt{a^2}=|a|$化简；③有加减运算时，先分别化简每个二次根式，再计算加减。
【解析】
(1) 因为$14^2=196$，根据平方根的定义，196的平方根为$\pm14$，所以$\pm\sqrt{196}=\pm14$。
(2) 根据算术平方根的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，得$\sqrt{(-\dfrac{3}{10})^2}=\left|-\dfrac{3}{10}\right|=\dfrac{3}{10}$。
(3) 先分别化简两个算术平方根：$\sqrt{0.04}=0.2$，$\sqrt{0.64}=0.8$，再相加得$0.2+0.8=1$。
(4) 先将带分数化为假分数：$1\dfrac{9}{16}=\dfrac{25}{16}$，$4\dfrac{25}{36}=\dfrac{169}{36}$；
再分别开方：$\sqrt{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{5}{4}$，$\sqrt{\dfrac{169}{36}}=\dfrac{13}{6}$；
最后通分相加：$\dfrac{5}{4}+\dfrac{13}{6}=\dfrac{15}{12}+\dfrac{26}{12}=\dfrac{41}{12}=3\dfrac{5}{12}$。
【答案】
(1) $\pm14$
(2) $\dfrac{3}{10}$
(3) $1$
(4) $3\dfrac{5}{12}$（或$\dfrac{41}{12}$）
【知识点】
平方根的概念；算术平方根的性质；二次根式的运算
【点评】
本题是平方根、算术平方根的基础计算题，核心是区分$\pm\sqrt{a}$和$\sqrt{a}$的不同意义，计算时注意根号内是带分数的要先化为假分数，避免出现拆分带分数整数部分和分数部分分别开方的错误。
【难度系数】
0.8
11. $\sqrt{9}$的平方根是 【 】
A.$\pm\sqrt{3}$
B.9
C.$\sqrt{3}$
D.$\pm3$
A.$\pm\sqrt{3}$
B.9
C.$\sqrt{3}$
D.$\pm3$
答案
A
解析
【分析】
解题时要避免直接对9求平方根的易错误区，分两步思考：第一步先明确$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，先算出它的化简结果；第二步再对化简后的结果求平方根，结合正数的平方根有两个且互为相反数的性质，即可得到正确答案。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{9}$：
根据算术平方根的定义，非负数$x$满足$x^2=a$时，$x$是$a$的算术平方根，因为$3^2=9$，所以$\sqrt{9}=3$。
2. 求3的平方根：
根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，因为$(\pm\sqrt{3})^2=3$，所以3的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
因此$\sqrt{9}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题是平方根章节的经典易错题，很多学生容易忽略先化简$\sqrt{9}$，直接求9的平方根误选D，解题时要注意：$\sqrt{a}(a≥0)$本身表示的是$a$的算术平方根，求带根号数的平方根时，要先将根式化简后再计算。
【难度系数】
0.6
解题时要避免直接对9求平方根的易错误区，分两步思考：第一步先明确$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，先算出它的化简结果；第二步再对化简后的结果求平方根，结合正数的平方根有两个且互为相反数的性质，即可得到正确答案。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{9}$：
根据算术平方根的定义，非负数$x$满足$x^2=a$时，$x$是$a$的算术平方根，因为$3^2=9$，所以$\sqrt{9}=3$。
2. 求3的平方根：
根据平方根的定义，若$x^2=a$，则$x$是$a$的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，因为$(\pm\sqrt{3})^2=3$，所以3的平方根是$\pm\sqrt{3}$。
因此$\sqrt{9}$的平方根是$\pm\sqrt{3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题是平方根章节的经典易错题，很多学生容易忽略先化简$\sqrt{9}$，直接求9的平方根误选D，解题时要注意：$\sqrt{a}(a≥0)$本身表示的是$a$的算术平方根，求带根号数的平方根时，要先将根式化简后再计算。
【难度系数】
0.6
12.（西峡期中）若$a$是$\sqrt{16}$的算术平方根，$b$是$\sqrt{11}$的小数部分，则$a + b - \sqrt{11}$的值为
【 】
A.$-1$
B.$1$
C.$0$
D.$-2$
【 】
A.$-1$
B.$1$
C.$0$
D.$-2$
答案
A
解析
【分析】
要计算代数式$a + b - \sqrt{11}$的值，需先分别求出$a$和$b$的取值：第一步先计算$\sqrt{16}$的结果，再根据算术平方根的定义求出$a$；第二步先估算$\sqrt{11}$的整数范围，得到其整数部分后，用$\sqrt{11}$减去整数部分即可得到小数部分$b$；最后将$a$、$b$代入代数式化简计算即可。
【解析】
1. 求$a$的值：
因为$\sqrt{16}=4$，而4的算术平方根是2，所以$a=2$。
2. 求$b$的值：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$，所以$3＜\sqrt{11}＜4$，即$\sqrt{11}$的整数部分是3，因此其小数部分$b=\sqrt{11}-3$。
3. 代入计算：
将$a=2$，$b=\sqrt{11}-3$代入$a + b - \sqrt{11}$得：
$\begin{aligned}a + b - \sqrt{11}&=2+(\sqrt{11}-3)-\sqrt{11}\\&=2+\sqrt{11}-3-\sqrt{11}\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义；无理数的估算；代数式求值
【点评】
本题是基础常考题，解题核心是正确理解算术平方根的概念，掌握无理数整数部分、小数部分的估算方法，代入代数式后通过合并同类二次根式即可化简得到结果，易错点是误将$\sqrt{16}$的结果直接当作$a$的值，或者错误计算无理数的小数部分。
【难度系数】
0.7
要计算代数式$a + b - \sqrt{11}$的值，需先分别求出$a$和$b$的取值：第一步先计算$\sqrt{16}$的结果，再根据算术平方根的定义求出$a$；第二步先估算$\sqrt{11}$的整数范围，得到其整数部分后，用$\sqrt{11}$减去整数部分即可得到小数部分$b$；最后将$a$、$b$代入代数式化简计算即可。
【解析】
1. 求$a$的值：
因为$\sqrt{16}=4$，而4的算术平方根是2，所以$a=2$。
2. 求$b$的值：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜11＜16$，所以$3＜\sqrt{11}＜4$，即$\sqrt{11}$的整数部分是3，因此其小数部分$b=\sqrt{11}-3$。
3. 代入计算：
将$a=2$，$b=\sqrt{11}-3$代入$a + b - \sqrt{11}$得：
$\begin{aligned}a + b - \sqrt{11}&=2+(\sqrt{11}-3)-\sqrt{11}\\&=2+\sqrt{11}-3-\sqrt{11}\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
算术平方根的定义；无理数的估算；代数式求值
【点评】
本题是基础常考题，解题核心是正确理解算术平方根的概念，掌握无理数整数部分、小数部分的估算方法，代入代数式后通过合并同类二次根式即可化简得到结果，易错点是误将$\sqrt{16}$的结果直接当作$a$的值，或者错误计算无理数的小数部分。
【难度系数】
0.7
