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1. 如图，边长为1的正六边形OABCDE可绕原点O旋转. 若反比例函数$y=\frac{k}{x}$与这个正六边形有交点，则k的最大值为(
A.$\frac{3}{4}\sqrt{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
D
).A.$\frac{3}{4}\sqrt{3}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
答案
1. D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=xy$，因此求$k$的最大值就是求正六边形上第一象限内点的横、纵坐标乘积的最大值。首先回忆正六边形的性质：边长为1的正六边形，O是它的一个顶点，正六边形上距离O点最远的顶点到O的距离为2（正六边形对顶点的距离是边长的2倍）。再利用完全平方公式推导：对任意正数$x、y$，都有$xy≤\frac{x^2+y^2}{2}$，当且仅当$x=y$时等号成立，因此当距离O最远的点落在直线$y=x$上时，$xy$乘积最大，对应$k$最大。
【解析】
1. 对反比例函数$y=\frac{k}{x}$变形可得$k=xy$，要使$k$最大，需使正六边形上点的横、纵坐标乘积最大。
2. 正六边形$OABCDE$的边长为1，$O$是正六边形的一个顶点，因此正六边形上距离$O$点最远的顶点到$O$的距离为$2$（正六边形相对两个顶点的距离等于边长的2倍）。
3. 对任意正实数$x、y$，由完全平方公式得：$(x-y)^2≥0$，展开得$x^2-2xy+y^2≥0$，整理可得$xy≤\frac{x^2+y^2}{2}$，当且仅当$x=y$时等号成立。
4. 设正六边形上某点到原点的距离为$r$，则$x^2+y^2=r^2$，代入上式得$xy≤\frac{r^2}{2}$。
5. 正六边形上的点最大$r=2$，将距离$O$为2的顶点旋转到直线$y=x$上时，满足$x=y$，此时$x^2+y^2=2^2=4$，即$2x^2=4$，解得$x=y=\sqrt{2}$，此时$xy=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，即$k=2$。
6. 正六边形上其余点到$O$的距离均小于等于2，因此$k$的最大值为2。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；正六边形的性质；最值求解
【点评】
本题结合图形旋转考查反比例函数与几何图形的综合应用，解题的关键是将求$k$的最大值转化为求正六边形上点的横纵坐标乘积的最大值，结合完全平方公式即可快速求解，对学生的知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
要解决这个问题，首先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k=xy$，因此求$k$的最大值就是求正六边形上第一象限内点的横、纵坐标乘积的最大值。首先回忆正六边形的性质：边长为1的正六边形，O是它的一个顶点，正六边形上距离O点最远的顶点到O的距离为2（正六边形对顶点的距离是边长的2倍）。再利用完全平方公式推导：对任意正数$x、y$，都有$xy≤\frac{x^2+y^2}{2}$，当且仅当$x=y$时等号成立，因此当距离O最远的点落在直线$y=x$上时，$xy$乘积最大，对应$k$最大。
【解析】
1. 对反比例函数$y=\frac{k}{x}$变形可得$k=xy$，要使$k$最大，需使正六边形上点的横、纵坐标乘积最大。
2. 正六边形$OABCDE$的边长为1，$O$是正六边形的一个顶点，因此正六边形上距离$O$点最远的顶点到$O$的距离为$2$（正六边形相对两个顶点的距离等于边长的2倍）。
3. 对任意正实数$x、y$，由完全平方公式得：$(x-y)^2≥0$，展开得$x^2-2xy+y^2≥0$，整理可得$xy≤\frac{x^2+y^2}{2}$，当且仅当$x=y$时等号成立。
4. 设正六边形上某点到原点的距离为$r$，则$x^2+y^2=r^2$，代入上式得$xy≤\frac{r^2}{2}$。
5. 正六边形上的点最大$r=2$，将距离$O$为2的顶点旋转到直线$y=x$上时，满足$x=y$，此时$x^2+y^2=2^2=4$，即$2x^2=4$，解得$x=y=\sqrt{2}$，此时$xy=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，即$k=2$。
6. 正六边形上其余点到$O$的距离均小于等于2，因此$k$的最大值为2。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；正六边形的性质；最值求解
【点评】
本题结合图形旋转考查反比例函数与几何图形的综合应用，解题的关键是将求$k$的最大值转化为求正六边形上点的横纵坐标乘积的最大值，结合完全平方公式即可快速求解，对学生的知识迁移能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
2. 如图，在平面直角坐标系中，函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象p经过点A(3，-1).直线l：$y=\frac{1}{m}x + k$与图象p交于点B，与y轴交于点C.记图象p在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域(不含边界)为W，且区域W内恰有3个整数点(即横、纵坐标均为整数的点)，则k的取值范围为
$k＜-\frac{5}{3}$或$1＜k≤\frac{4}{3}$
.答案
2. $k＜-\frac{5}{3}$ 或 $1＜k≤\frac{4}{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先利用反比例函数过点A的条件求出m的值，进而得到反比例函数解析式和直线l的解析式，可发现直线l与线段OA平行；第二步分k＞0、k＜0两种情况讨论区域W内的整数点，结合“恰有3个整数点”和“不含边界”的要求，找到边界位置对应的k值，最终确定k的取值范围。
【解析】
1. 求函数解析式：
将点A(3,-1)代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得$m=3×(-1)=-3$，因此反比例函数解析式为$y=-\frac{3}{x}(x＞0)$。
直线l的解析式为$y=\frac{1}{m}x+k=-\frac{1}{3}x+k$，线段OA的解析式为$y=-\frac{1}{3}x$，可知直线l与OA平行。
2. 分情况讨论k的取值范围：
（1）当$k＞0$时，直线l在OA上方：
区域W内的整数点为(0,1)、(1,0)、(2,0)共3个。
当直线l过点(0,1)时，$k=1$；当直线l过点(1,1)时，代入得$1=-\frac{1}{3}×1+k$，解得$k=\frac{4}{3}$。
要保证区域内恰有3个整数点且不含边界，因此$1＜k≤\frac{4}{3}$。
（2）当$k＜0$时，直线l在OA下方：
区域W内的整数点为(1,-1)、(2,-1)、(1,-2)共3个。
当直线l过点(1,-2)时，代入得$-2=-\frac{1}{3}×1+k$，解得$k=-\frac{5}{3}$。
要保证区域内恰有3个整数点且不含边界，因此$k＜-\frac{5}{3}$。
综上，k的取值范围为$k＜-\frac{5}{3}$或$1＜k≤\frac{4}{3}$。
【答案】
$k＜-\frac{5}{3}$ 或 $1＜k≤\frac{4}{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数的图象与性质，整数点问题
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，需要运用分类讨论思想解题，解题时要注意“区域不含边界”的限制条件，结合整数点的个数确定边界取值，对图象分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
解题思路如下：第一步先利用反比例函数过点A的条件求出m的值，进而得到反比例函数解析式和直线l的解析式，可发现直线l与线段OA平行；第二步分k＞0、k＜0两种情况讨论区域W内的整数点，结合“恰有3个整数点”和“不含边界”的要求，找到边界位置对应的k值，最终确定k的取值范围。
【解析】
1. 求函数解析式：
将点A(3,-1)代入反比例函数$y=\frac{m}{x}$，得$m=3×(-1)=-3$，因此反比例函数解析式为$y=-\frac{3}{x}(x＞0)$。
直线l的解析式为$y=\frac{1}{m}x+k=-\frac{1}{3}x+k$，线段OA的解析式为$y=-\frac{1}{3}x$，可知直线l与OA平行。
2. 分情况讨论k的取值范围：
（1）当$k＞0$时，直线l在OA上方：
区域W内的整数点为(0,1)、(1,0)、(2,0)共3个。
当直线l过点(0,1)时，$k=1$；当直线l过点(1,1)时，代入得$1=-\frac{1}{3}×1+k$，解得$k=\frac{4}{3}$。
要保证区域内恰有3个整数点且不含边界，因此$1＜k≤\frac{4}{3}$。
（2）当$k＜0$时，直线l在OA下方：
区域W内的整数点为(1,-1)、(2,-1)、(1,-2)共3个。
当直线l过点(1,-2)时，代入得$-2=-\frac{1}{3}×1+k$，解得$k=-\frac{5}{3}$。
要保证区域内恰有3个整数点且不含边界，因此$k＜-\frac{5}{3}$。
综上，k的取值范围为$k＜-\frac{5}{3}$或$1＜k≤\frac{4}{3}$。
【答案】
$k＜-\frac{5}{3}$ 或 $1＜k≤\frac{4}{3}$
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数的图象与性质，整数点问题
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合题，需要运用分类讨论思想解题，解题时要注意“区域不含边界”的限制条件，结合整数点的个数确定边界取值，对图象分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
3. 如图，一次函数 $y=mx+n(m≠0)$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象分别相交于第二、第四象限内的点 $A(-2,a)$ 和点 $B(b,-1)$，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $C$，$△ AOC$ 的面积为 4.
(1)分别求出 $a$ 和 $b$ 的值；
(2)结合图象直接写出 $0＜mx+n＜\frac{k}{x}$ 的解集；
(3)在 $x$ 轴上取一点 $P$，当 $|PA-PB|$ 取得最大值时，求点 $P$ 的坐标；
(4)若点 $M$ 是双曲线上一点，且 $S_{△ MAB}=2S_{△ AOB}$，直接写出点 $M$ 的横坐标.
(1)分别求出 $a$ 和 $b$ 的值；
(2)结合图象直接写出 $0＜mx+n＜\frac{k}{x}$ 的解集；
(3)在 $x$ 轴上取一点 $P$，当 $|PA-PB|$ 取得最大值时，求点 $P$ 的坐标；
(4)若点 $M$ 是双曲线上一点，且 $S_{△ MAB}=2S_{△ AOB}$，直接写出点 $M$ 的横坐标.
答案
3. (1) $\because$ 点 $A(-2, a)$ 在第二象限，$\therefore OC=2$，$AC=a$. $\therefore S_{△ AOC}=4=\frac{1}{2}OC · a=\frac{1}{2} × 2a$，解得 $a=4$，即 $A(-2, 4)$. $\because$ 点 $A(-2, 4)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象上，$\therefore 4=\frac{k}{-2}$，解得 $k=-8$. $\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=-\frac{8}{x}$. $\because$ 点 $B(b, -1)$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象上，$\therefore \frac{-8}{b}=-1$，解得 $b=8$. $\therefore a=4$，$b=8$.
(2) $-2＜x＜0$.
(3) 如图所示，作点 $A(-2, 4)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A'$，$\therefore A'(-2, -4)$，且点 $B(8, -1)$. 设 $A'B$ 所在直线的解析式为 $y=ex+f(e≠0)$，$\therefore \begin{cases}-2e+f=-4,\\8e+f=-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}e=\frac{3}{10},\\f=-\frac{17}{5}.\end{cases}$ $\therefore$ 直线 $A'B$ 的解析式为 $y=\frac{3}{10}x-\frac{17}{5}$. 当点 $P$，$A'$，$B$ 三点共线时，$|PA-PB|$ 取得最大值，且点 $P$ 在 $x$ 轴上，
. $\therefore$ 令 $y=0$ 时，$0=\frac{3}{10}x-\frac{17}{5}$，$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(\frac{34}{3}, 0)$.(4) 点 $M$ 的横坐标为 2 或 $-8$ 或 $9+\sqrt{97}$ 或 $9-\sqrt{97}$.
解析
【分析】
(1) 先根据点A的横坐标得到OC的长度，结合△AOC的面积公式求出a的值，得到点A坐标后代入反比例函数解析式求出k值，再将点B的纵坐标代入反比例函数即可求出b的值；
(2) 不等式$0＜mx+n＜\frac{k}{x}$的几何意义是一次函数图象在x轴上方，且同时在反比例函数图象下方的部分对应的x的取值范围，结合两个函数的交点坐标和象限分布即可直接写出解集；
(3) 根据轴对称性质，作点A关于x轴的对称点$A'$，则$PA=PA'$，因此$|PA-PB|=|PA'-PB|$，根据三角形三边关系，当P、$A'$、B三点共线时，$|PA'-PB|$取得最大值等于$A'B$的长度，求出直线$A'B$的解析式后，计算其与x轴的交点即为点P的坐标；
(4) 先求出△AOB的面积，再设点M的坐标，利用三角形面积与底高的关系分情况讨论，求解即可得到点M的横坐标。
【解析】
(1)
∵点$A(-2, a)$在第二象限，
∴$OC=2$，$AC=a$。
∴$S_{△AOC}=4=\frac{1}{2}OC · a=\frac{1}{2} × 2a$，解得$a=4$，即$A(-2, 4)$。
∵点$A(-2, 4)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
∴$4=\frac{k}{-2}$，解得$k=-8$。
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
∵点$B(b, -1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
∴$\frac{-8}{b}=-1$，解得$b=8$。
(2) 观察图象可得，一次函数图象在x轴上方且位于反比例函数图象下方的区间为$-2＜x＜0$，即为不等式的解集。
(3) 作点$A(-2, 4)$关于x轴的对称点$A'$，得$A'(-2, -4)$，已知$B(8, -1)$。
设$A'B$所在直线的解析式为$y=ex+f(e≠0)$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}-2e+f=-4\\8e+f=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}e=\frac{3}{10}\\f=-\frac{17}{5}\end{cases}$。
∴直线$A'B$的解析式为$y=\frac{3}{10}x-\frac{17}{5}$。
当P、$A'$、B三点共线时$|PA-PB|$取得最大值，点P为直线$A'B$与x轴的交点，令$y=0$，得$0=\frac{3}{10}x-\frac{17}{5}$，解得$x=\frac{34}{3}$。
(4) 先求得直线AB的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$，与x轴交点为$(6,0)$，计算得$S_{△AOB}=15$，故$S_{△MAB}=30$。设$M(t,-\frac{8}{t})$，结合面积公式分类求解，可得t的取值为2、$-8$、$9+\sqrt{97}$、$9-\sqrt{97}$。
【答案】
(1) $a=4$，$b=8$；
(2) $-2＜x＜0$；
(3) 点$P$的坐标为$(\frac{34}{3}, 0)$；
(4) 点$M$的横坐标为$2$或$-8$或$9+\sqrt{97}$或$9-\sqrt{97}$。
【知识点】
反比例函数的几何意义，一次函数与反比例函数综合，轴对称最值问题
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，覆盖了函数解析式求解、不等式解集、几何最值、动点面积等核心考点，着重考查数形结合思想与分类讨论思想，需要熟练掌握函数性质及几何最值的常用处理方法。
【难度系数】
0.35
(1) 先根据点A的横坐标得到OC的长度，结合△AOC的面积公式求出a的值，得到点A坐标后代入反比例函数解析式求出k值，再将点B的纵坐标代入反比例函数即可求出b的值；
(2) 不等式$0＜mx+n＜\frac{k}{x}$的几何意义是一次函数图象在x轴上方，且同时在反比例函数图象下方的部分对应的x的取值范围，结合两个函数的交点坐标和象限分布即可直接写出解集；
(3) 根据轴对称性质，作点A关于x轴的对称点$A'$，则$PA=PA'$，因此$|PA-PB|=|PA'-PB|$，根据三角形三边关系，当P、$A'$、B三点共线时，$|PA'-PB|$取得最大值等于$A'B$的长度，求出直线$A'B$的解析式后，计算其与x轴的交点即为点P的坐标；
(4) 先求出△AOB的面积，再设点M的坐标，利用三角形面积与底高的关系分情况讨论，求解即可得到点M的横坐标。
【解析】
(1)
∵点$A(-2, a)$在第二象限，
∴$OC=2$，$AC=a$。
∴$S_{△AOC}=4=\frac{1}{2}OC · a=\frac{1}{2} × 2a$，解得$a=4$，即$A(-2, 4)$。
∵点$A(-2, 4)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
∴$4=\frac{k}{-2}$，解得$k=-8$。
∴反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
∵点$B(b, -1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上，
∴$\frac{-8}{b}=-1$，解得$b=8$。
(2) 观察图象可得，一次函数图象在x轴上方且位于反比例函数图象下方的区间为$-2＜x＜0$，即为不等式的解集。
(3) 作点$A(-2, 4)$关于x轴的对称点$A'$，得$A'(-2, -4)$，已知$B(8, -1)$。
设$A'B$所在直线的解析式为$y=ex+f(e≠0)$，代入两点坐标得：
$\begin{cases}-2e+f=-4\\8e+f=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}e=\frac{3}{10}\\f=-\frac{17}{5}\end{cases}$。
∴直线$A'B$的解析式为$y=\frac{3}{10}x-\frac{17}{5}$。
当P、$A'$、B三点共线时$|PA-PB|$取得最大值，点P为直线$A'B$与x轴的交点，令$y=0$，得$0=\frac{3}{10}x-\frac{17}{5}$，解得$x=\frac{34}{3}$。
(4) 先求得直线AB的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+3$，与x轴交点为$(6,0)$，计算得$S_{△AOB}=15$，故$S_{△MAB}=30$。设$M(t,-\frac{8}{t})$，结合面积公式分类求解，可得t的取值为2、$-8$、$9+\sqrt{97}$、$9-\sqrt{97}$。
【答案】
(1) $a=4$，$b=8$；
(2) $-2＜x＜0$；
(3) 点$P$的坐标为$(\frac{34}{3}, 0)$
；(4) 点$M$的横坐标为$2$或$-8$或$9+\sqrt{97}$或$9-\sqrt{97}$。
【知识点】
反比例函数的几何意义，一次函数与反比例函数综合，轴对称最值问题
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，覆盖了函数解析式求解、不等式解集、几何最值、动点面积等核心考点，着重考查数形结合思想与分类讨论思想，需要熟练掌握函数性质及几何最值的常用处理方法。
【难度系数】
0.35
