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1.如图，若$\odot O$的半径为3，点O到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（
A.直线$l_1$
B.直线$l_2$
C.直线$l_3$
D.直线$l_4$
D
）A.直线$l_1$
B.直线$l_2$
C.直线$l_3$
D.直线$l_4$
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先回忆直线和圆位置关系的判定方法：通过比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小，确定直线和圆的位置关系。已知r=3，d=2，可得d＜r，说明直线和圆相交（有2个公共点），先排除相离、相切的直线；再判断相交的两条直线中，哪条的圆心距符合2的要求：过圆心的直线圆心距为0，不符合，剩下的相交且不过圆心的直线即为答案。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3$，题目要求圆心$O$到直线的距离$d=2$。
第一步：判定直线与圆的位置关系
因为$d=2 ＜ r=3$，所以这条直线与$\odot O$相交，即直线与圆有2个公共点：
直线$l_1$与圆没有公共点，属于相离，此时$d＞3$，不符合要求，排除A；
直线$l_2$与圆只有1个公共点，属于相切，此时$d=3$，不符合要求，排除B；
第二步：判断剩余相交直线的圆心距
直线$l_3$经过圆心$O$，因此点$O$到$l_3$的距离为0，不符合$d=2$的要求，排除C；
直线$l_4$与圆有2个公共点（相交），且不经过圆心，$O$到它的距离在$0＜d＜3$范围内，符合$d=2$的条件。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；点到直线的距离
【点评】
本题是基础类考题，核心考查直线与圆位置关系的判定规则，只要熟练掌握不同位置关系下圆心距d和半径r的大小对应关系，就能快速筛选出正确答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆直线和圆位置关系的判定方法：通过比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小，确定直线和圆的位置关系。已知r=3，d=2，可得d＜r，说明直线和圆相交（有2个公共点），先排除相离、相切的直线；再判断相交的两条直线中，哪条的圆心距符合2的要求：过圆心的直线圆心距为0，不符合，剩下的相交且不过圆心的直线即为答案。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=3$，题目要求圆心$O$到直线的距离$d=2$。
第一步：判定直线与圆的位置关系
因为$d=2 ＜ r=3$，所以这条直线与$\odot O$相交，即直线与圆有2个公共点：
直线$l_1$与圆没有公共点，属于相离，此时$d＞3$，不符合要求，排除A；
直线$l_2$与圆只有1个公共点，属于相切，此时$d=3$，不符合要求，排除B；
第二步：判断剩余相交直线的圆心距
直线$l_3$经过圆心$O$，因此点$O$到$l_3$的距离为0，不符合$d=2$的要求，排除C；
直线$l_4$与圆有2个公共点（相交），且不经过圆心，$O$到它的距离在$0＜d＜3$范围内，符合$d=2$的条件。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；点到直线的距离
【点评】
本题是基础类考题，核心考查直线与圆位置关系的判定规则，只要熟练掌握不同位置关系下圆心距d和半径r的大小对应关系，就能快速筛选出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 在$□ ABCD$中，$BC=5$，以顶点$C$为圆心、$BC$的长为半径作$\odot C$，若$\odot C$与边$AD$所在直线相切，则$□ ABCD$的面积为（
A.20
B.25
C.30
D.35
B
）A.20
B.25
C.30
D.35
答案
2.B
解析
【分析】
解决本题首先从已知条件出发，第一步回忆平行四边形的性质，得到AD与BC平行；第二步结合圆切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，可推出点C到AD的距离等于半径BC=5，这个距离就是平行四边形BC边上的高；最后代入平行四边形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC
∵⊙C与边AD所在直线相切，⊙C的半径为BC=5
∴圆心C到直线AD的距离等于半径5
又
∵AD//BC，
∴AD与BC两条平行线之间的距离为5，即平行四边形ABCD中BC边上的高为5
根据平行四边形面积公式：$S=底×高$
可得$S_{□ ABCD}=BC×高=5×5=25$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；切线的性质；平行四边形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，将平行四边形和圆的切线知识点结合考查，解题的核心是准确识别出圆心到切线的距离就是平行四边形对应底边上的高，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先从已知条件出发，第一步回忆平行四边形的性质，得到AD与BC平行；第二步结合圆切线的性质：圆心到切线的距离等于半径，可推出点C到AD的距离等于半径BC=5，这个距离就是平行四边形BC边上的高；最后代入平行四边形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC
∵⊙C与边AD所在直线相切，⊙C的半径为BC=5
∴圆心C到直线AD的距离等于半径5
又
∵AD//BC，
∴AD与BC两条平行线之间的距离为5，即平行四边形ABCD中BC边上的高为5
根据平行四边形面积公式：$S=底×高$
可得$S_{□ ABCD}=BC×高=5×5=25$
故选：B
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；切线的性质；平行四边形面积计算
【点评】
本题是几何基础综合题，将平行四边形和圆的切线知识点结合考查，解题的核心是准确识别出圆心到切线的距离就是平行四边形对应底边上的高，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
3. [2025合肥一模]如图，AB为$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上的两点，$∠ CDB=26°$，过点C作$\odot O$的切线交AB的延长线于点P，则$∠ P$的度数为（
A.$26°$
B.$38°$
C.$48°$
D.$52°$
B
）A.$26°$
B.$38°$
C.$48°$
D.$52°$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先考虑切线的常用辅助线：连接圆心O与切点C，可得OC⊥PC，即△OCP是直角三角形，要求∠P的度数，只需先求出∠COB的度数即可。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠CDB的度数，可直接求出∠COB的度数，再利用直角三角形两锐角互余即可算出∠P的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ PC是⊙O的切线，C为切点，
∴ OC⊥PC，即∠OCP=90°。
∵ 同弧BC所对的圆心角∠COB是圆周角∠CDB的2倍，
∴ ∠COB=2∠CDB=2×26°=52°。
在Rt△OCP中，∠P+∠COB=90°，
∴ ∠P=90°-52°=38°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，解题的关键是掌握“遇切线，连半径得垂直”的常用辅助线做法，熟练运用圆周角定理和直角三角形的性质进行角度计算。
【难度系数】
0.7
解题时首先考虑切线的常用辅助线：连接圆心O与切点C，可得OC⊥PC，即△OCP是直角三角形，要求∠P的度数，只需先求出∠COB的度数即可。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知∠CDB的度数，可直接求出∠COB的度数，再利用直角三角形两锐角互余即可算出∠P的度数。
【解析】
解：连接OC，
∵ PC是⊙O的切线，C为切点，
∴ OC⊥PC，即∠OCP=90°。
∵ 同弧BC所对的圆心角∠COB是圆周角∠CDB的2倍，
∴ ∠COB=2∠CDB=2×26°=52°。
在Rt△OCP中，∠P+∠COB=90°，
∴ ∠P=90°-52°=38°。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础计算题，解题的关键是掌握“遇切线，连半径得垂直”的常用辅助线做法，熟练运用圆周角定理和直角三角形的性质进行角度计算。
【难度系数】
0.7
4.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,D为斜边AB上一点,以DB为直径的圆O与AC相切于点E.若$AD=5$,$AE=10$,则BD的长是
15
.答案
4.15
解析
【分析】
遇到圆的切线问题，首先连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直关系，构造直角三角形。本题中设圆O的半径为r，即可用含r的式子表示出Rt△AEO的各边长，再借助勾股定理列方程求解半径，最终求出直径BD的长度。
【解析】
连接OE，
∵AC是⊙O的切线，E为切点，
∴OE⊥AC，即∠AEO=90°。
设⊙O的半径为r，则OE=OD=OB=r，
∴AO=AD+OD=5+r。
在Rt△AEO中，由勾股定理得：
$AE^2 + OE^2 = AO^2$，
代入已知数值$AE=10$，$AD=5$得：
$10^2 + r^2 = (5+r)^2$，
展开计算：$100 + r^2 = 25 + 10r + r^2$，
消去$r^2$后化简得：$10r=75$，
解得$r=7.5$，
∴$BD=2r=2×7.5=15$。
【答案】
15
【知识点】
切线的性质；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础计算题，解题的核心是掌握切线的性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，是几何计算中方程思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
遇到圆的切线问题，首先连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直关系，构造直角三角形。本题中设圆O的半径为r，即可用含r的式子表示出Rt△AEO的各边长，再借助勾股定理列方程求解半径，最终求出直径BD的长度。
【解析】
连接OE，
∵AC是⊙O的切线，E为切点，
∴OE⊥AC，即∠AEO=90°。
设⊙O的半径为r，则OE=OD=OB=r，
∴AO=AD+OD=5+r。
在Rt△AEO中，由勾股定理得：
$AE^2 + OE^2 = AO^2$，
代入已知数值$AE=10$，$AD=5$得：
$10^2 + r^2 = (5+r)^2$，
展开计算：$100 + r^2 = 25 + 10r + r^2$，
消去$r^2$后化简得：$10r=75$，
解得$r=7.5$，
∴$BD=2r=2×7.5=15$。
【答案】
15
【知识点】
切线的性质；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础计算题，解题的核心是掌握切线的性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理建立方程求解，是几何计算中方程思想的典型应用。
【难度系数】
0.7
5. 跨学科·地理 如图，$\odot O$为地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，$∠ DOB=∠ FOB=23.5°$. 夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，$HF// GD$，FI是$\odot O$在点F处的切线，则点F处的太阳高度角$∠ IFH$（即光线HF与切线FI所成的锐角）的大小是
43°
.答案
5.43°
解析
【分析】
解题时先结合已知角度求出∠DOF的大小，再利用平行线的性质求出∠OFH的度数，最后结合圆的切线性质求出∠IFH的大小：第一步，已知∠DOB和∠FOB均为23.5°，二者相加可得到∠DOF的度数；第二步，由HF//GD，GD经过圆心O，可知HF//OD，根据两直线平行同旁内角互补，可算出∠OFH的度数；第三步，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OF⊥FI，即∠OFI为90°，用∠OFH减去∠OFI即可得到所求的∠IFH的大小。
【解析】
解：
∵ ∠DOB=∠FOB=23.5°，
∴ ∠DOF=∠DOB+∠FOB=23.5°+23.5°=47°，
∵ HF//GD，且GD经过点O，即GD与OD共线，
∴ HF//OD，
∴ ∠DOF+∠OFH=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠OFH=180°-47°=133°，
∵ FI是⊙O在点F处的切线，OF是⊙O的半径，
∴ OF⊥FI（圆的切线垂直于过切点的半径），即∠OFI=90°，
∴ ∠IFH=∠OFH-∠OFI=133°-90°=43°。
【答案】
43°
【知识点】
平行线的性质，圆的切线的性质，角度计算
【点评】
本题是跨学科融合题型，将地理中的太阳高度角问题转化为数学几何角度计算问题，既考查了基础几何定理的实际应用，也体现了不同学科知识之间的关联性，题型新颖，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知角度求出∠DOF的大小，再利用平行线的性质求出∠OFH的度数，最后结合圆的切线性质求出∠IFH的大小：第一步，已知∠DOB和∠FOB均为23.5°，二者相加可得到∠DOF的度数；第二步，由HF//GD，GD经过圆心O，可知HF//OD，根据两直线平行同旁内角互补，可算出∠OFH的度数；第三步，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得OF⊥FI，即∠OFI为90°，用∠OFH减去∠OFI即可得到所求的∠IFH的大小。
【解析】
解：
∵ ∠DOB=∠FOB=23.5°，
∴ ∠DOF=∠DOB+∠FOB=23.5°+23.5°=47°，
∵ HF//GD，且GD经过点O，即GD与OD共线，
∴ HF//OD，
∴ ∠DOF+∠OFH=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠OFH=180°-47°=133°，
∵ FI是⊙O在点F处的切线，OF是⊙O的半径，
∴ OF⊥FI（圆的切线垂直于过切点的半径），即∠OFI=90°，
∴ ∠IFH=∠OFH-∠OFI=133°-90°=43°。
【答案】
43°
【知识点】
平行线的性质，圆的切线的性质，角度计算
【点评】
本题是跨学科融合题型，将地理中的太阳高度角问题转化为数学几何角度计算问题，既考查了基础几何定理的实际应用，也体现了不同学科知识之间的关联性，题型新颖，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
6. [2026安庆期末]如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=120°$,以$BC$为直径的$\odot O$与$AB$交于点$D$,过点$D$作$DE ⊥ AC$,垂足为点$E$.
(1)求证:$DE$为$\odot O$的切线;
(2)连接$OE$,若$BC=8$,求$CE$的长.
(1)求证:$DE$为$\odot O$的切线;
(2)连接$OE$,若$BC=8$,求$CE$的长.
答案
6.(1)略.(2)解: 2.
解析
【分析】
(1) 证明切线需遵循“连半径、证垂直”的思路：首先连接OD，利用等腰△ABC和等腰△OBD的底角相等，推导得出OD//AC，结合已知DE⊥AC，即可得到OD⊥DE，满足切线的判定条件。
(2) 计算CE长度时，先连接CD，利用直径所对圆周角为直角，得到CD⊥AB，再结合等腰△ABC三线合一的性质，求出∠DCE的度数和CD的长度，最后在Rt△CDE中利用三角函数计算CE即可。
【解析】
(1) 证明：连接$OD$
$\because AC=BC$，$\therefore ∠ A=∠ B$
$\because OB=OD$，$\therefore ∠ B=∠ ODB$
$\therefore ∠ A=∠ ODB$，$\therefore OD// AC$
$\because DE⊥ AC$，$\therefore DE⊥ OD$
又$\because OD$是$\odot O$的半径，$\therefore DE$为$\odot O$的切线。
(2) 解：连接$CD$
$\because BC$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ BDC=90°$，即$CD⊥ AB$
$\because AC=BC$，$∠ ACB=120°$
$\therefore ∠ A=∠ B=30°$，$∠ ACD=∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=60°$
$\because BC=8$，$\therefore OC=OD=4$，$△ OCD$为等边三角形，$\therefore CD=OC=4$
在$Rt△ CDE$中，$∠ DEC=90°$，$∠ DCE=60°$
$\therefore CE=CD· \cos60°=4×\frac{1}{2}=2$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，侧重考查基础概念的应用，解题的关键是合理构造辅助线，结合等腰三角形、圆周角定理和直角三角形的性质推导计算，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
(1) 证明切线需遵循“连半径、证垂直”的思路：首先连接OD，利用等腰△ABC和等腰△OBD的底角相等，推导得出OD//AC，结合已知DE⊥AC，即可得到OD⊥DE，满足切线的判定条件。
(2) 计算CE长度时，先连接CD，利用直径所对圆周角为直角，得到CD⊥AB，再结合等腰△ABC三线合一的性质，求出∠DCE的度数和CD的长度，最后在Rt△CDE中利用三角函数计算CE即可。
【解析】
(1) 证明：连接$OD$
$\because AC=BC$，$\therefore ∠ A=∠ B$
$\because OB=OD$，$\therefore ∠ B=∠ ODB$
$\therefore ∠ A=∠ ODB$，$\therefore OD// AC$
$\because DE⊥ AC$，$\therefore DE⊥ OD$
又$\because OD$是$\odot O$的半径，$\therefore DE$为$\odot O$的切线。
(2) 解：连接$CD$
$\because BC$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ BDC=90°$，即$CD⊥ AB$
$\because AC=BC$，$∠ ACB=120°$
$\therefore ∠ A=∠ B=30°$，$∠ ACD=∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=60°$
$\because BC=8$，$\therefore OC=OD=4$，$△ OCD$为等边三角形，$\therefore CD=OC=4$
在$Rt△ CDE$中，$∠ DEC=90°$，$∠ DCE=60°$
$\therefore CE=CD· \cos60°=4×\frac{1}{2}=2$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
切线的判定；等腰三角形性质；解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，侧重考查基础概念的应用，解题的关键是合理构造辅助线，结合等腰三角形、圆周角定理和直角三角形的性质推导计算，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
7.如图,点O是△ABC的内心,也是△DBC的外心.若∠A=70°,则∠D的度数是
62.5°
.答案
7.62.5°
解析
【分析】
解题需结合三角形内心、外心的性质及圆周角定理逐步推导：第一步，先利用三角形内角和，结合已知∠A的度数求出∠ABC与∠ACB的和；第二步，根据内心是角平分线交点的性质，求出∠OBC与∠OCB的和，进而计算出∠BOC的度数；第三步，根据外心是三角形外接圆圆心的性质，结合圆周角定理，得到∠D与∠BOC的数量关系，最终求出∠D的度数。
【解析】
在△ABC中，∠A=70°，由三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° -70°=110°$
∵点O是△ABC的内心，即BO平分∠ABC、CO平分∠ACB
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
则$∠ OBC + ∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$
在△OBC中：
$∠ BOC=180° - (∠ OBC+∠ OCB)=180° -55°=125°$
∵点O是△DBC的外心，即O是△DBC外接圆的圆心，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠D是弧BC对应的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×125°=62.5°$
【答案】
$62.5°$
【知识点】
三角形内心的性质；三角形外心的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础综合题，将三角形的内心、外心性质与圆周角定理结合考查，解题的核心是先求出∠BOC的度数，再建立∠BOC和∠D的关联，只要熟练掌握相关概念和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题需结合三角形内心、外心的性质及圆周角定理逐步推导：第一步，先利用三角形内角和，结合已知∠A的度数求出∠ABC与∠ACB的和；第二步，根据内心是角平分线交点的性质，求出∠OBC与∠OCB的和，进而计算出∠BOC的度数；第三步，根据外心是三角形外接圆圆心的性质，结合圆周角定理，得到∠D与∠BOC的数量关系，最终求出∠D的度数。
【解析】
在△ABC中，∠A=70°，由三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° -70°=110°$
∵点O是△ABC的内心，即BO平分∠ABC、CO平分∠ACB
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
则$∠ OBC + ∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×110°=55°$
在△OBC中：
$∠ BOC=180° - (∠ OBC+∠ OCB)=180° -55°=125°$
∵点O是△DBC的外心，即O是△DBC外接圆的圆心，∠BOC是弧BC对应的圆心角，∠D是弧BC对应的圆周角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×125°=62.5°$
【答案】
$62.5°$
【知识点】
三角形内心的性质；三角形外心的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础综合题，将三角形的内心、外心性质与圆周角定理结合考查，解题的核心是先求出∠BOC的度数，再建立∠BOC和∠D的关联，只要熟练掌握相关概念和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
