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8. 数学文化 我国古代数学家刘徽用“衰分术”证明了《九章算术》中的“勾中容圆径”公式：在直角三角形中，若两直角边的长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，则该直角三角形的内切圆直径$d=\dfrac{2ab}{a+b+c}$。当$a=5$，$c=13$时，该直角三角形的内切圆半径为
2
。答案
8.2
解析
【分析】
要计算直角三角形的内切圆半径，可按三步推导：①已知直角三角形的一条直角边a和斜边c，首先用勾股定理求出另一条直角边b的长度；②将a、b、c的数值代入题干给出的内切圆直径公式，计算得到直径d；③根据半径是直径的一半，即可求出内切圆半径。
【解析】
第一步，利用勾股定理求未知直角边b：
在直角三角形中，$b=\sqrt{c^2-a^2}$，代入$a=5$，$c=13$得：
$b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
第二步，代入题干给出的公式计算内切圆直径d：
$d=\dfrac{2ab}{a+b+c}=\dfrac{2×5×12}{5+12+13}=\dfrac{120}{30}=4$
第三步，计算内切圆半径r：
$r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{4}{2}=2$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；代数式求值
【点评】
本题结合传统数学文化考查基础运算，题干已直接给出内切圆直径公式，只需先通过勾股定理求出未知直角边，再代入公式计算即可，注意所求为半径，不要误将直径当作最终结果。
【难度系数】
0.8
要计算直角三角形的内切圆半径，可按三步推导：①已知直角三角形的一条直角边a和斜边c，首先用勾股定理求出另一条直角边b的长度；②将a、b、c的数值代入题干给出的内切圆直径公式，计算得到直径d；③根据半径是直径的一半，即可求出内切圆半径。
【解析】
第一步，利用勾股定理求未知直角边b：
在直角三角形中，$b=\sqrt{c^2-a^2}$，代入$a=5$，$c=13$得：
$b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
第二步，代入题干给出的公式计算内切圆直径d：
$d=\dfrac{2ab}{a+b+c}=\dfrac{2×5×12}{5+12+13}=\dfrac{120}{30}=4$
第三步，计算内切圆半径r：
$r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{4}{2}=2$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理；代数式求值
【点评】
本题结合传统数学文化考查基础运算，题干已直接给出内切圆直径公式，只需先通过勾股定理求出未知直角边，再代入公式计算即可，注意所求为半径，不要误将直径当作最终结果。
【难度系数】
0.8
9.如图，$\odot O$是正八边形ABCDEFGH的外接圆，连接AD，BD，则$∠ ADB=$（
A.$20°$
B.$22.5°$
C.$30°$
D.$45°$
B
）A.$20°$
B.$22.5°$
C.$30°$
D.$45°$
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先明确正八边形的外接圆中，各边所对的圆心角相等，先计算弧AB对应的圆心角度数，再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠ADB的度数。
【解析】
∵$\odot O$是正八边形ABCDEFGH的外接圆，
∴正八边形各边所对的圆心角相等，弧AB对应的圆心角为：$\frac{360°}{8}=45°$，
又
∵$∠ ADB$是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，
∴$∠ ADB=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
B
【知识点】
1.正多边形与圆
2.圆周角定理
【点评】
本题是正多边形与圆的基础应用题型，解题关键是先求出目标圆周角对应弧的圆心角度数，再结合圆周角定理计算，掌握相关基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确正八边形的外接圆中，各边所对的圆心角相等，先计算弧AB对应的圆心角度数，再根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出∠ADB的度数。
【解析】
∵$\odot O$是正八边形ABCDEFGH的外接圆，
∴正八边形各边所对的圆心角相等，弧AB对应的圆心角为：$\frac{360°}{8}=45°$，
又
∵$∠ ADB$是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，
∴$∠ ADB=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
B
【知识点】
1.正多边形与圆
2.圆周角定理
【点评】
本题是正多边形与圆的基础应用题型，解题关键是先求出目标圆周角对应弧的圆心角度数，再结合圆周角定理计算，掌握相关基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
10. 数学文化 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.如图，$\odot O$的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计$\odot O$的面积，可求得π的估计值是（
A.3
B.$3\sqrt{3}$
C.3.14
D.3.142
A
）A.3
B.$3\sqrt{3}$
C.3.14
D.3.142
答案
10.A
解析
【分析】
解题思路：首先明确圆内接正十二边形可分割为12个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长等于圆的半径，顶角为正十二边形的中心角。先计算单个等腰三角形的面积，再求和得到正十二边形的面积，根据题意正十二边形面积近似等于圆的面积，代入圆的面积公式即可求出π的估计值。
步骤思考：第一步先求正十二边形每个中心角的度数，用周角360°除以12即可得到；第二步计算单个等腰三角形的面积，利用30°角直角三角形的性质求出高，再用三角形面积公式计算；第三步计算正十二边形的总面积；第四步令正十二边形面积近似等于圆的面积，解方程得到π的估计值。
【解析】
解：
∵圆的内接正十二边形的中心角为$\frac{360°}{12}=30°$，
过点A作$AC⊥ OB$于点C，
在$Rt△ AOC$中，$∠ AOC=30°$，$OA=OB=4$，
∴$AC=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×4=2$，
∴$△ AOB$的面积为$\frac{1}{2}× OB× AC=\frac{1}{2}×4×2=4$，
∴正十二边形的面积为$12×4=48$，
根据题意，正十二边形的面积近似等于$\odot O$的面积，$\odot O$的面积为$π×4^2=16π$，
∴$16π\approx48$，
解得$π\approx3$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆、三角形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题结合古代“割圆术”的数学文化，考查正多边形和圆的相关计算，解题核心是将正多边形拆分为若干个等腰三角形求总面积，再建立正多边形面积与圆面积的近似关系求解，题目立意新颖，难度不高。
【难度系数】
0.75
解题思路：首先明确圆内接正十二边形可分割为12个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长等于圆的半径，顶角为正十二边形的中心角。先计算单个等腰三角形的面积，再求和得到正十二边形的面积，根据题意正十二边形面积近似等于圆的面积，代入圆的面积公式即可求出π的估计值。
步骤思考：第一步先求正十二边形每个中心角的度数，用周角360°除以12即可得到；第二步计算单个等腰三角形的面积，利用30°角直角三角形的性质求出高，再用三角形面积公式计算；第三步计算正十二边形的总面积；第四步令正十二边形面积近似等于圆的面积，解方程得到π的估计值。
【解析】
解：
∵圆的内接正十二边形的中心角为$\frac{360°}{12}=30°$，
过点A作$AC⊥ OB$于点C，
在$Rt△ AOC$中，$∠ AOC=30°$，$OA=OB=4$，
∴$AC=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×4=2$，
∴$△ AOB$的面积为$\frac{1}{2}× OB× AC=\frac{1}{2}×4×2=4$，
∴正十二边形的面积为$12×4=48$，
根据题意，正十二边形的面积近似等于$\odot O$的面积，$\odot O$的面积为$π×4^2=16π$，
∴$16π\approx48$，
解得$π\approx3$。
【答案】
A
【知识点】
正多边形与圆、三角形面积计算、圆的面积计算
【点评】
本题结合古代“割圆术”的数学文化，考查正多边形和圆的相关计算，解题核心是将正多边形拆分为若干个等腰三角形求总面积，再建立正多边形面积与圆面积的近似关系求解，题目立意新颖，难度不高。
【难度系数】
0.75
11. 分类讨论思想 如图，直线AB，CD相交于点O，$∠ AOC=30°$，半径为2 cm的$\odot P$的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm。如果P以1 cm/s的速度沿直线AB由A向B的方向移动，那么P与直线CD相切时$\odot P$运动的时间是
2 s或10 s
。答案
11.2 s或10 s
解析
【分析】
解题需先明确直线与圆相切的核心判定：圆心到直线的距离等于圆的半径。首先结合已知的30°角和圆的半径，算出相切时圆心P到交点O的距离；再分两种情况讨论：一是圆心P在O点左侧（OA侧）时相切，二是圆心P移动到O点右侧（OB侧）时相切，分别计算两种情况圆心移动的路程，结合移动速度即可求出对应运动时间。
【解析】
当⊙P与直线CD相切时，圆心P到CD的距离等于⊙P的半径2cm。
过P作PE⊥CD于E，此时PE=2cm。
在Rt△POE中，∠POE=∠AOC=30°，根据“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”，可得OP=2PE=2×2=4cm。
分两种情况计算移动时间：
1. P在O点左侧相切：初始时P到O的距离为6cm，此时P需向B移动的路程为$6-4=2\mathrm{cm}$，移动速度为1cm/s，因此时间$t_1=2÷1=2\mathrm{s}$。
2. P在O点右侧相切：此时P需先移动6cm到达O点，再向右移动4cm，总路程为$6+4=10\mathrm{cm}$，因此时间$t_2=10÷1=10\mathrm{s}$。
【答案】
2 s或10 s
【知识点】
直线与圆相切的判定、含30°角的直角三角形性质、分类讨论
【点评】
本题易错点是容易忽略圆心移动到O点右侧也存在相切的情况，解题时要结合图形全面分析所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65
解题需先明确直线与圆相切的核心判定：圆心到直线的距离等于圆的半径。首先结合已知的30°角和圆的半径，算出相切时圆心P到交点O的距离；再分两种情况讨论：一是圆心P在O点左侧（OA侧）时相切，二是圆心P移动到O点右侧（OB侧）时相切，分别计算两种情况圆心移动的路程，结合移动速度即可求出对应运动时间。
【解析】
当⊙P与直线CD相切时，圆心P到CD的距离等于⊙P的半径2cm。
过P作PE⊥CD于E，此时PE=2cm。
在Rt△POE中，∠POE=∠AOC=30°，根据“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”，可得OP=2PE=2×2=4cm。
分两种情况计算移动时间：
1. P在O点左侧相切：初始时P到O的距离为6cm，此时P需向B移动的路程为$6-4=2\mathrm{cm}$，移动速度为1cm/s，因此时间$t_1=2÷1=2\mathrm{s}$。
2. P在O点右侧相切：此时P需先移动6cm到达O点，再向右移动4cm，总路程为$6+4=10\mathrm{cm}$，因此时间$t_2=10÷1=10\mathrm{s}$。
【答案】
2 s或10 s
【知识点】
直线与圆相切的判定、含30°角的直角三角形性质、分类讨论
【点评】
本题易错点是容易忽略圆心移动到O点右侧也存在相切的情况，解题时要结合图形全面分析所有可能的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65
12. [2025安徽中考]如图，AB是$\odot O$的弦，PB与$\odot O$相切于点B，圆心O在线段PA上。已知$∠ P = 50°$，则$∠ PAB$的大小为
20
°。答案
12.20
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，连接切点B与圆心O，构造直角三角形PBO，先求出∠POB的度数；再结合OA=OB得到等腰三角形OAB，利用三角形外角的性质即可求出∠PAB的度数。
步骤思路：1. 见切线连过切点的半径，得到垂直关系；2. 利用直角三角形两锐角互余计算∠POB；3. 利用等腰三角形等边对等角和外角性质推导∠PAB与∠POB的数量关系，计算结果。
【解析】
解：连接OB，
∵ PB是⊙O的切线，B为切点，
∴ OB⊥PB，即∠PBO=90°，
在Rt△PBO中，∠P=50°，
∴ ∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°，
∵ OA=OB（都是⊙O的半径），
∴ ∠PAB=∠OBA，
又
∵ ∠POB是△AOB的外角，
∴ ∠POB=∠PAB+∠OBA=2∠PAB，
∴ ∠PAB=∠POB÷2=40°÷2=20°。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握切线的性质，正确作出辅助线构造特殊三角形求解，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据切线的性质，连接切点B与圆心O，构造直角三角形PBO，先求出∠POB的度数；再结合OA=OB得到等腰三角形OAB，利用三角形外角的性质即可求出∠PAB的度数。
步骤思路：1. 见切线连过切点的半径，得到垂直关系；2. 利用直角三角形两锐角互余计算∠POB；3. 利用等腰三角形等边对等角和外角性质推导∠PAB与∠POB的数量关系，计算结果。
【解析】
解：连接OB，
∵ PB是⊙O的切线，B为切点，
∴ OB⊥PB，即∠PBO=90°，
在Rt△PBO中，∠P=50°，
∴ ∠POB=90°-∠P=90°-50°=40°，
∵ OA=OB（都是⊙O的半径），
∴ ∠PAB=∠OBA，
又
∵ ∠POB是△AOB的外角，
∴ ∠POB=∠PAB+∠OBA=2∠PAB，
∴ ∠PAB=∠POB÷2=40°÷2=20°。
【答案】
20
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆的基础应用类题目，解题的关键是熟练掌握切线的性质，正确作出辅助线构造特殊三角形求解，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
13. [2026安徽中考] 如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，点A，B分别在$□ CDEF$的边CD，CF上，DE，EF分别与$\odot O$相切于点M，N。
(1)求证：四边形OMEN为正方形；
(2)若$CD=9$，$AB=10$，求CF的长。
(1)求证：四边形OMEN为正方形；
(2)若$CD=9$，$AB=10$，求CF的长。
答案
13.(1)略.(2)解: 8.
解析
【分析】
(1) 证明四边形OMEN为正方形可按两步走：先根据切线性质得到OM⊥DE、ON⊥EF，再结合直径所对圆周角为直角，推出平行四边形CDEF的∠E=90°，先判定OMEN是矩形，再结合OM、ON都是半径邻边相等，即可得证正方形。
(2) 求CF长时，先利用平行四边形性质得CF=DE、EF=CD=9，结合正方形边长等于半径，求出FN=4；再利用点O到∠C两边的距离与OC构成直角三角形，用勾股定理求出O到CD的距离为3，最后结合DE=DM+ME即可求出CF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE、EF分别与$\odot O$相切于点M、N，
∴ $OM⊥ DE$，$ON⊥ EF$，即$∠ OME=∠ ONE=90°$。
∵ 四边形$CDEF$是平行四边形，
∴ $∠ E=∠ C$。
∵ AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，
∴ $∠ ACB=90°$，即$∠ C=90°$，
∴ $∠ E=90°$，
∴ 四边形OMEN是矩形（三个内角为直角的四边形是矩形）。
又
∵ OM、ON都是$\odot O$的半径，
∴ $OM=ON$，
∴ 矩形OMEN是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
(2) 解：
∵ $AB=10$，
∴ $\odot O$的半径$OC=OM=ON=5$。
由(1)得四边形OMEN是正方形，
∴ $ME=EN=5$。
∵ 四边形$CDEF$是平行四边形，且$∠ C=90°$，
∴ 四边形$CDEF$是矩形，
∴ $CF=DE$，$EF=CD=9$，$∠ D=∠ F=90°$，
∴ $FN=EF-EN=9-5=4$。
∵ $ON⊥ EF$，$∠ F=90°$，
∴ $ON// CF$，即点O到CF边的距离为$FN=4$。
设点O到CD边的距离为$h$，
∵ $∠ C=90°$，OC为$\odot O$的半径，
∴ 由勾股定理得$h^2+4^2=OC^2$，代入得$h^2+16=25$，
解得$h=3$（距离为正），即$DM=3$。
∴ $DE=DM+ME=3+5=8$，
∵ $CF=DE$，
∴ $CF=8$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{8}$
【知识点】
切线的性质；正方形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于圆与四边形的综合题，难度中等，解题时需要熟练掌握切线性质、特殊四边形的判定与性质、圆周角定理，核心是将边的长度关系通过点到直线的距离转化为勾股定理解题。
【难度系数】
0.65
(1) 证明四边形OMEN为正方形可按两步走：先根据切线性质得到OM⊥DE、ON⊥EF，再结合直径所对圆周角为直角，推出平行四边形CDEF的∠E=90°，先判定OMEN是矩形，再结合OM、ON都是半径邻边相等，即可得证正方形。
(2) 求CF长时，先利用平行四边形性质得CF=DE、EF=CD=9，结合正方形边长等于半径，求出FN=4；再利用点O到∠C两边的距离与OC构成直角三角形，用勾股定理求出O到CD的距离为3，最后结合DE=DM+ME即可求出CF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE、EF分别与$\odot O$相切于点M、N，
∴ $OM⊥ DE$，$ON⊥ EF$，即$∠ OME=∠ ONE=90°$。
∵ 四边形$CDEF$是平行四边形，
∴ $∠ E=∠ C$。
∵ AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，
∴ $∠ ACB=90°$，即$∠ C=90°$，
∴ $∠ E=90°$，
∴ 四边形OMEN是矩形（三个内角为直角的四边形是矩形）。
又
∵ OM、ON都是$\odot O$的半径，
∴ $OM=ON$，
∴ 矩形OMEN是正方形（邻边相等的矩形是正方形）。
(2) 解：
∵ $AB=10$，
∴ $\odot O$的半径$OC=OM=ON=5$。
由(1)得四边形OMEN是正方形，
∴ $ME=EN=5$。
∵ 四边形$CDEF$是平行四边形，且$∠ C=90°$，
∴ 四边形$CDEF$是矩形，
∴ $CF=DE$，$EF=CD=9$，$∠ D=∠ F=90°$，
∴ $FN=EF-EN=9-5=4$。
∵ $ON⊥ EF$，$∠ F=90°$，
∴ $ON// CF$，即点O到CF边的距离为$FN=4$。
设点O到CD边的距离为$h$，
∵ $∠ C=90°$，OC为$\odot O$的半径，
∴ 由勾股定理得$h^2+4^2=OC^2$，代入得$h^2+16=25$，
解得$h=3$（距离为正），即$DM=3$。
∴ $DE=DM+ME=3+5=8$，
∵ $CF=DE$，
∴ $CF=8$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{8}$
【知识点】
切线的性质；正方形的判定；勾股定理
【点评】
本题属于圆与四边形的综合题，难度中等，解题时需要熟练掌握切线性质、特殊四边形的判定与性质、圆周角定理，核心是将边的长度关系通过点到直线的距离转化为勾股定理解题。
【难度系数】
0.65
