一、选择题
1. 下列方程是一元二次方程的是()

A.$3x^2 + 2 = y$
B.$x^2 - \frac{2}{x} + 1 = 0$
C.$x^2 - 5x = 3$
D.$x - 3y + 1 = 0$

C

根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，逐一判断：
1. 选项A：方程含有x、y两个未知数，是二元方程，不符合定义；
2. 选项B：方程分母中含有未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义；
3. 选项C：方程只含未知数x，x的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；
4. 选项D：方程含有x、y两个未知数，未知数最高次数为1，是二元一次方程，不符合定义。

2.关于方程$x^2 - 3x - 1 = 0$的根的情况，下列说法正确的是()

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断

A

对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。在方程$x^2-3x-1=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=-1$，代入计算得$\Delta=(-3)^2 -4×1×(-1)=13＞0$，因此该方程有两个不相等的实数根。

3.抛物线$y=(x+2)^2+1$的顶点坐标是（）

A.$(2,1)$
B.$(1,2)$
C.$(1,-2)$
D.$(-2,1)$

D

二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）的顶点坐标为$(h,k)$。将抛物线$y=(x+2)^2+1$变形为$y=[x-(-2)]^2+1$，可得$h=-2$，$k=1$，因此该抛物线的顶点坐标是$(-2,1)$。

4.下列各点中，在反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上的点是()

A.(1,6)
B.(-6,-1)
C.(6,1)
D.(2,-3)

D

对于反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$，变形可得横纵坐标满足关系$xy=-6$，逐一验证选项：
A. $1×6=6≠-6$，不在函数图象上；
B. $(-6)×(-1)=6≠-6$，不在函数图象上；
C. $6×1=6≠-6$，不在函数图象上；
D. $2×(-3)=-6$，满足$xy=-6$，在函数图象上。

5. 提升题▶已知一次函数$y=x-2n+4$，二次函数$y=x^2+(n-1)x-3$，反比例函数$y=\frac{n+1}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则$n$的取值范围是（）


A.$n＞-1$
B.$n＞2$
C.$-1＜n＜1$
D.$1＜n＜2$

C

根据三个函数图象的特征，依次推导不等式：
1. 反比例函数图象位于第一、三象限，因此比例系数$n+1＞0$，解得$n＞-1$；
2. 一次函数$y=x-2n+4$与$y$轴交于正半轴，因此截距$-2n+4＞0$，解得$n＜2$；
3. 二次函数$y=x^2+(n-1)x-3$的对称轴在$y$轴右侧，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得：$-\frac{n-1}{2×1}＞0$，解得$n＜1$。
取三个不等式的公共解集，得$-1＜n＜1$。

6. 提升题 已知抛物线$y=(x-m)(x-n)-1$与$x$轴相交于点$(p,0),(p+2,0)$.关于$m,n,p$,正确的是()

A.$p＜m＜p+2＜n$
B.$m+n＜2p+2$
C.$|n-m|＜2$
D.$|n+m|＜2$

C

首先将抛物线解析式变形：抛物线$y=(x-m)(x-n)-1$可看作抛物线$y=(x-m)(x-n)$向下平移1个单位得到。
已知$y=(x-m)(x-n)-1$与x轴交于$(p,0)$、$(p+2,0)$，即方程$(x-m)(x-n)=1$的两个根为$p$和$p+2$。
1. 由韦达定理，对二次方程$x^2-(m+n)x + mn -1=0$，两根之和$p+(p+2)=m+n$，即$m+n=2p+2$，因此选项B错误。
2. 由两根差公式，两根差为$2$：$|x_1-x_2|=\sqrt{(m+n)^2-4(mn-1)}=2$，代入$m+n=2p+2$，整理得$\sqrt{(m-n)^2+4}=2$，即$(m-n)^2=0$，得$|n-m|=0＜2$，因此选项C正确。
3. 对选项A：由$m+n=2p+2$且$m=n=p+1$，可知$m=n=p+1$，不满足$p＜m＜p+2＜n$，A错误。
4. 对选项D：$m+n=2p+2$，$p$为任意实数，$|m+n|=|2p+2|$不一定小于2，D错误。

7.若$x=3$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + m - 1 = 0$的一个解，则$m=$

解：将$x=3$代入方程$x^2 - 3x + m - 1 = 0$，得
$3^2 - 3×3 + m - 1 = 0$
化简得：$9 - 9 + m - 1 = 0$
即$m - 1 = 0$
解得$m=1$。

8.将抛物线$y=x^2$沿y轴向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是。

解：根据二次函数图象平移“上加下减”的规律，将抛物线$y=x^2$沿y轴向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为$y=x^2+3$。

9.为发展教育事业，某区加强了对教育经费的投入，2025年投入3 000万元，预计2027年投入5 000万元.设教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程为.

解：
2026年投入的教育经费为$3000(1+x)$万元，
2027年投入的教育经费为$3000(1+x)^2$万元，
根据题意可列方程：
$3000(1+x)^2 = 5000$

10.如图，四边形ABCD是平行四边形，$A(-2,m),B(2,0),C(0,-1)$，点D在x轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$的图象经过点A.P为BC边上的一点，直线AP交双曲线的另一支于点Q.当$△ ABP$的面积等于$□ ABCD$的面积的$\frac{1}{4}$时，点Q的坐标为.

解：
1. 由平行四边形对角线互相平分，BD在x轴上，设D(x,0)，则BD中点与AC中点坐标相等：
$$\frac{2+x}{2}=\frac{-2+0}{2},\quad \frac{0+0}{2}=\frac{m-1}{2}$ 解得$x=-4$，$m=1$，即$A(-2,1)$，$D(-4,0)$。2. 计算平行四边形$ABCD$的面积： $BD=2-(-4)=6$，点$A$、$C$到$x$轴的距离均为1， $$S_{□ ABCD}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×6×1+\frac{1}{2}×6×1=6$
3. 由题意得$S_{△ ABP}=\frac{1}{4}S_{□ ABCD}=\frac{3}{2}$，又$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S_{□ ABCD}=3$，因此$P$为$BC$的中点。
由$B(2,0)$，$C(0,-1)$得$P$点坐标为$(\frac{2+0}{2},\frac{0-1}{2})$，即$P(1,-\frac{1}{2})$。
4. 求直线$AP$的解析式：设$y=ax+b$，代入$A(-2,1)$、$P(1,-\frac{1}{2})$，
$$\begin{cases}1=-2a+b\\-\frac{1}{2}=a+b\end{cases}$ 解得$a=-\frac{1}{2}$，$b=0$，即直线$AP$的解析式为$y=-\frac{1}{2}x$。5. 求反比例函数解析式：将$A(-2,1)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=-2×1=-2$，即$y=-\frac{2}{x}$。6. 联立直线与反比例函数方程： $$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x\\y=-\frac{2}{x}\end{cases}$
消去$y$得$x^2=4$，解得$x_1=-2$（对应点$A$），$x_2=2$，代入得$y_2=-1$。
点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(2,-1)}$。