1. 在$△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$\sin A=\dfrac{4}{5}$，则$\tan B$的值为（$\quad\quad$）

A.$\dfrac{4}{3}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$

B

在Rt△ABC中，∠C=90°，由$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，设$BC=4k$（$k＞0$），则$AB=5k$。根据勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=3k$。由正切的定义，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}$。

2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ C=90°$，$AB=6$，$BC=5$，则$\cos A=$.

$\dfrac{\sqrt{11}}{6}$

解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{6^2-5^2}=\sqrt{11}$
由余弦的定义可得：
$\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\sqrt{11}}{6}$

3.在$△ ABC$中，若$∠ A$，$∠ B$都是锐角，且$\sin A = \cos B$，则$△ ABC$一定是三角形。

直角

解：
∵ $\sin A = \cos B$，且$\cos B = \sin(90° - B)$
∴ $\sin A = \sin(90° - B)$
又∵ $∠ A$，$∠ B$都是锐角，即$0°＜∠ A＜90°$，$0°＜∠ B＜90°$
∴ $0°＜90°-∠ B＜90°$
在$0°∼90°$范围内，正弦值相等的两个锐角相等，
∴ $∠ A = 90° - ∠ B$
∴ $∠ A + ∠ B = 90°$
∴ $∠ C = 180° - (∠ A + ∠ B) = 90°$
∴ $△ ABC$一定是直角三角形。

4.如图,在网格图中,小正方形的边长均为1.若点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是.

$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$

解：连接AC，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
$\because AC^2+AB^2=(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=2+8=10=BC^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，且$∠ BAC=90°$。
$\therefore \tan∠ ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
最终

5.在$△ ABC$中，若$AC=\sqrt{3}AB$，$∠ C=30°$，则$∠ ABC=$

解：过点A作AD⊥直线BC于点D，
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴ $AD = AC·\sin30° = \frac{1}{2}AC$，
∵ $AC=\sqrt{3}AB$，
∴ $AD = \frac{1}{2} × \sqrt{3}AB = \frac{\sqrt{3}}{2}AB$。
在Rt△ABD中，$\sin∠ ABD = \frac{AD}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}$：
1. 当垂足D落在线段BC上时，∠ABD为锐角，$∠ ABD=60°$，即$∠ ABC=60°$；
2. 当垂足D落在线段CB的延长线上时，∠ABD为锐角，$∠ ABD=60°$，此时$∠ ABC=180°-60°=120°$。
综上，$∠ ABC=60°$或$120°$。

6.计算：
(1)$\tan 30° · \sin 60° + \cos^2 30°$；
(2)$(π - 3.14)^0 + |1 - \sqrt{2}| - 2\cos 45° + \sqrt{8} + (-\dfrac{1}{3})^{-2}$。

解：
(1) 原式$=\frac{\sqrt{3}}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2$
$=\frac{1}{2} + \frac{3}{4}$
$=\frac{5}{4}$
(2) 原式$=1 + (\sqrt{2}-1) - 2×\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{2} + 9$
$=1 + \sqrt{2} -1 - \sqrt{2} + 2\sqrt{2} +9$
$=9 + 2\sqrt{2}$

7.如图,在矩形$ABCD$中,$CD=10$,$BC=8$,$E$为$AD$边上一点,沿$CE$将$△ CDE$对折,使点$D$正好落在$AB$边上的点$F$处,求$\tan∠ AFE$的值.

解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB=CD=10$，$BC=AD=8$，$∠ A=∠ B=90°$。
由折叠的性质可知：$CF=CD=10$，$∠ CFE=∠ D=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{CF^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6,$
$\because ∠ AFE + ∠ BFC = 180° - ∠ CFE = 90°$，
又$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BCF$中，$∠ BCF + ∠ BFC = 90°$，
$\therefore ∠ AFE = ∠ BCF$，
$\therefore \tan∠ AFE = \tan∠ BCF = \frac{BF}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$。
答：$\tan∠ AFE$的值为$\frac{3}{4}$。