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三、解答题
7. 如图，$∠ 1 = ∠ 2$，$∠ C = ∠ E$，$AB = AD$.求证：$BC = DE$.
7. 如图，$∠ 1 = ∠ 2$，$∠ C = ∠ E$，$AB = AD$.求证：$BC = DE$.
答案
7. 提示：证明$△ABC ≌ △ADE$
解析
【分析】
要证明BC=DE，可通过证明BC、DE所在的△ABC和△ADE全等来实现。已知条件已经给出∠C=∠E、AB=AD，还缺少一组对应角相等的条件；由已知∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠DAC，即可得到∠BAC=∠DAE，满足AAS全等判定的条件，证得三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ 1 + ∠ DAC = ∠ 2 + ∠ DAC$，即$∠ BAC = ∠ DAE$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ DAE \\∠ C = ∠ E \\AB = AD\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ ADE \ (\mathrm{AAS})$。
根据全等三角形对应边相等，可得$BC = DE$。
【答案】
$BC=DE$得证
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 全等三角形的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，解题的关键是先通过角的和差关系推导得到全等所需的对应角，再结合已知条件判定三角形全等，最终利用全等的性质得到对应边相等，属于全等章节的常考基础题。
【难度系数】
0.85
要证明BC=DE，可通过证明BC、DE所在的△ABC和△ADE全等来实现。已知条件已经给出∠C=∠E、AB=AD，还缺少一组对应角相等的条件；由已知∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠DAC，即可得到∠BAC=∠DAE，满足AAS全等判定的条件，证得三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到结论。
【解析】
证明：
∵ $∠ 1 = ∠ 2$，
∴ $∠ 1 + ∠ DAC = ∠ 2 + ∠ DAC$，即$∠ BAC = ∠ DAE$。
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ DAE \\∠ C = ∠ E \\AB = AD\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ ADE \ (\mathrm{AAS})$。
根据全等三角形对应边相等，可得$BC = DE$。
【答案】
$BC=DE$得证
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 全等三角形的性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，解题的关键是先通过角的和差关系推导得到全等所需的对应角，再结合已知条件判定三角形全等，最终利用全等的性质得到对应边相等，属于全等章节的常考基础题。
【难度系数】
0.85
8. 如图，$AD=BC$，$AB // DE$，$∠ ABC=∠ DAE$，且点C在AE上.求证：$AE=DE+CE$.
答案
提示：用“AAS”证明$△DAE ≌ △CBA$，得到$AC=DE$即可
解析
【分析】
要证明$AE=DE+CE$，观察图形可知线段$AE$由$AC$和$CE$两部分组成，即$AE=AC+CE$，因此只需证明$DE=AC$即可。证明线段相等可通过证明对应三角形全等实现：由$AB// DE$可得到一组内错角相等，结合已知的$∠ ABC=∠ DAE$和$AD=BC$，可通过“AAS”判定$△ DAE$与$△ CBA$全等，根据全等三角形对应边相等得到$DE=AC$，代入线段和的关系即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠ E=∠ CAB$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ DAE$和$△ CBA$中：
$\begin{cases}∠ E=∠ CAB \\∠ DAE=∠ ABC \\AD=BC\end{cases}$
$\therefore △ DAE≌△ CBA\ (\mathrm{AAS})$。
$\therefore DE=AC$（全等三角形的对应边相等）。
又$\because AE=AC+CE$，
$\therefore AE=DE+CE$（等量代换）。
【答案】
$AE=DE+CE$得证。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查线段和差问题的转化思路，以及全等三角形判定与性质的综合应用，解题关键是将待证结论转化为证明两条线段相等，再结合已知条件寻找全等的判定条件。
【难度系数】
0.7
要证明$AE=DE+CE$，观察图形可知线段$AE$由$AC$和$CE$两部分组成，即$AE=AC+CE$，因此只需证明$DE=AC$即可。证明线段相等可通过证明对应三角形全等实现：由$AB// DE$可得到一组内错角相等，结合已知的$∠ ABC=∠ DAE$和$AD=BC$，可通过“AAS”判定$△ DAE$与$△ CBA$全等，根据全等三角形对应边相等得到$DE=AC$，代入线段和的关系即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠ E=∠ CAB$（两直线平行，内错角相等）。
在$△ DAE$和$△ CBA$中：
$\begin{cases}∠ E=∠ CAB \\∠ DAE=∠ ABC \\AD=BC\end{cases}$
$\therefore △ DAE≌△ CBA\ (\mathrm{AAS})$。
$\therefore DE=AC$（全等三角形的对应边相等）。
又$\because AE=AC+CE$，
$\therefore AE=DE+CE$（等量代换）。
【答案】
$AE=DE+CE$得证。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查线段和差问题的转化思路，以及全等三角形判定与性质的综合应用，解题关键是将待证结论转化为证明两条线段相等，再结合已知条件寻找全等的判定条件。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$CE ⊥ AB$于点E，$BD ⊥ AC$于点D，BD，CE交于点O，且AO平分$∠ BAC$.求证：$BE=CD$.
答案
先证明$△AOE ≌ △AOD$，再证明$△BOE ≌ △COD$
解析
【分析】
要证明$BE=CD$，可通过证明$BE$和$CD$所在的$△ BOE≌△ COD$得到。首先利用已知的角平分线和垂直条件，先证明$△ AOE≌△ AOD$，得到$OE=OD$，再结合对顶角相等、直角相等的条件证明$△ BOE≌△ COD$，即可推出对应边$BE=CD$。
【解析】
证明：
$\because AO$平分$∠ BAC$，$CE⊥ AB$于点$E$，$BD⊥ AC$于点$D$
$\therefore ∠ AEO=∠ ADO=90°$，$∠ EAO=∠ DAO$
在$△ AOE$和$△ AOD$中：
$\begin{cases}∠ AEO=∠ ADO \\∠ EAO=∠ DAO \\AO=AO\end{cases}$
$\therefore △ AOE≌△ AOD(\mathrm{AAS})$
$\therefore OE=OD$
$\because CE⊥ AB$，$BD⊥ AC$
$\therefore ∠ BEO=∠ CDO=90°$
又$\because ∠ BOE$与$∠ COD$是对顶角
$\therefore ∠ BOE=∠ COD$
在$△ BOE$和$△ COD$中：
$\begin{cases}∠ BEO=∠ CDO \\OE=OD \\∠ BOE=∠ COD\end{cases}$
$\therefore △ BOE≌△ COD(\mathrm{ASA})$
$\therefore BE=CD$（全等三角形的对应边相等）
【答案】
$BE=CD$得证
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的常规题型，需要两次证明三角形全等，解题时要先结合已知条件找到可直接证明的第一组全等，得到后续证明需要的相等边，即可顺利推导出待证结论，考查了学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明$BE=CD$，可通过证明$BE$和$CD$所在的$△ BOE≌△ COD$得到。首先利用已知的角平分线和垂直条件，先证明$△ AOE≌△ AOD$，得到$OE=OD$，再结合对顶角相等、直角相等的条件证明$△ BOE≌△ COD$，即可推出对应边$BE=CD$。
【解析】
证明：
$\because AO$平分$∠ BAC$，$CE⊥ AB$于点$E$，$BD⊥ AC$于点$D$
$\therefore ∠ AEO=∠ ADO=90°$，$∠ EAO=∠ DAO$
在$△ AOE$和$△ AOD$中：
$\begin{cases}∠ AEO=∠ ADO \\∠ EAO=∠ DAO \\AO=AO\end{cases}$
$\therefore △ AOE≌△ AOD(\mathrm{AAS})$
$\therefore OE=OD$
$\because CE⊥ AB$，$BD⊥ AC$
$\therefore ∠ BEO=∠ CDO=90°$
又$\because ∠ BOE$与$∠ COD$是对顶角
$\therefore ∠ BOE=∠ COD$
在$△ BOE$和$△ COD$中：
$\begin{cases}∠ BEO=∠ CDO \\OE=OD \\∠ BOE=∠ COD\end{cases}$
$\therefore △ BOE≌△ COD(\mathrm{ASA})$
$\therefore BE=CD$（全等三角形的对应边相等）
【答案】
$BE=CD$得证
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的常规题型，需要两次证明三角形全等，解题时要先结合已知条件找到可直接证明的第一组全等，得到后续证明需要的相等边，即可顺利推导出待证结论，考查了学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
