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【例1】(2024秋焦作期末)计算：
(1)$(-\dfrac{1}{2})×(-8)+(-6)^2$；
(2)$-1^4+(-2)÷(+\dfrac{1}{3})+|-9|$。
(1)$(-\dfrac{1}{2})×(-8)+(-6)^2$；
(2)$-1^4+(-2)÷(+\dfrac{1}{3})+|-9|$。
答案
(1)原式$=4+36=40$；
(2)原式$=-1-2×3+9=-1-6+9=2$。
(2)原式$=-1-2×3+9=-1-6+9=2$。
解析
【分析】
有理数混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序，计算时要注意符号的判定：同号相乘得正，异号相乘得负，负数的偶次幂为正，绝对值结果为非负数。(1)小题先分别计算乘法和乘方，再将两个结果相加即可；(2)小题先分别计算乘方、除法、绝对值，再按从左到右的顺序计算加减即可，注意区分$-1^4$是$1^4$的相反数，不是$(-1)$的4次方。
【解析】
(1) 先算乘法和乘方：
$(-\dfrac{1}{2})×(-8)=4$，$(-6)^2=36$
原式$=4+36=40$
(2) 先算乘方、除法、绝对值：
$-1^4=-1$，$(-2)÷(+\dfrac{1}{3})=-2×3=-6$，$|-9|=9$
原式$=-1-6+9=2$
【答案】
(1)$40$；(2)$2$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，绝对值的性质
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，重点考查运算顺序和符号判定规则，计算时注意易混淆的运算形式，比如$-1^4$和$(-1)^4$的差异，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
有理数混合运算遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序，计算时要注意符号的判定：同号相乘得正，异号相乘得负，负数的偶次幂为正，绝对值结果为非负数。(1)小题先分别计算乘法和乘方，再将两个结果相加即可；(2)小题先分别计算乘方、除法、绝对值，再按从左到右的顺序计算加减即可，注意区分$-1^4$是$1^4$的相反数，不是$(-1)$的4次方。
【解析】
(1) 先算乘法和乘方：
$(-\dfrac{1}{2})×(-8)=4$，$(-6)^2=36$
原式$=4+36=40$
(2) 先算乘方、除法、绝对值：
$-1^4=-1$，$(-2)÷(+\dfrac{1}{3})=-2×3=-6$，$|-9|=9$
原式$=-1-6+9=2$
【答案】
(1)$40$；(2)$2$
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，绝对值的性质
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，重点考查运算顺序和符号判定规则，计算时注意易混淆的运算形式，比如$-1^4$和$(-1)^4$的差异，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
【变式】数学活动课上，老师在黑板上出了一道有理数的混合运算题，则该题的运算结果为（
A.$-5$
B.$1$
C.$-1$
D.$5$
B
）A.$-5$
B.$1$
C.$-1$
D.$5$
答案
B
解析
【分析】
这道题是有理数的混合运算，解题时需遵循有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序依次计算。第一步先计算$(-2)$的平方，第二步按从左到右的顺序计算除法和乘法，最后计算加法即可得到结果。
【解析】
解：按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘方：$(-2)^2=4$，
原式可化为：$-2+36÷4×\frac{1}{3}$；
2. 再计算乘除（同级运算从左到右）：
$36÷4=9$，$9×\frac{1}{3}=3$，
原式可化为：$-2+3$；
3. 最后计算加减：$-2+3=1$。
【答案】
B
【知识点】
有理数混合运算顺序，乘方运算，有理数乘除运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题，核心是牢记运算顺序，计算时注意乘方的符号规则，不要误将$(-2)^2$算成$-4$，按照步骤逐步计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这道题是有理数的混合运算，解题时需遵循有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序依次计算。第一步先计算$(-2)$的平方，第二步按从左到右的顺序计算除法和乘法，最后计算加法即可得到结果。
【解析】
解：按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘方：$(-2)^2=4$，
原式可化为：$-2+36÷4×\frac{1}{3}$；
2. 再计算乘除（同级运算从左到右）：
$36÷4=9$，$9×\frac{1}{3}=3$，
原式可化为：$-2+3$；
3. 最后计算加减：$-2+3=1$。
【答案】
B
【知识点】
有理数混合运算顺序，乘方运算，有理数乘除运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题，核心是牢记运算顺序，计算时注意乘方的符号规则，不要误将$(-2)^2$算成$-4$，按照步骤逐步计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
【例2】观察下面三行数：
$-2,4,-8,16,-32,64,\dots$①
$-5,1,-11,13,-35,61,\dots$②
$-\dfrac{1}{2},1,-2,4,-8,16,\dots$③
(1)按第①行中数排列的规律,第①行中第$n$个数是________(用含$n$的式子表示);
(2)取每行数的第10个数,则这三个数的和为________.
$-2,4,-8,16,-32,64,\dots$①
$-5,1,-11,13,-35,61,\dots$②
$-\dfrac{1}{2},1,-2,4,-8,16,\dots$③
(1)按第①行中数排列的规律,第①行中第$n$个数是________(用含$n$的式子表示);
(2)取每行数的第10个数,则这三个数的和为________.
答案
(1)$(-2)^n$
(2)$2\ 301$
(2)$2\ 301$
解析
【分析】
(1) 分析第①行的数的特征：先看符号，奇数项为负、偶数项为正，可用负因数的次数体现符号变化；再看绝对值，每个数的绝对值都是2的n次方，结合符号即可推出第n个数的表达式。
(2) 对比第②、③行和第①行同位置的数，可发现第②行每个数比第①行对应数小3，第③行每个数是第①行对应数的$\frac{1}{4}$。先根据规律分别求出三行的第10个数，再相加得到最终结果。
【解析】
(1) 观察第①行的数：
第1个数：$-2=(-2)^1$
第2个数：$4=(-2)^2$
第3个数：$-8=(-2)^3$
第4个数：$16=(-2)^4$
……
以此类推，第n个数是$(-2)^n$。
(2) 对比三行同位置的数找规律：
第②行：$-5=-2-3$，$1=4-3$，$-11=-8-3$……可知第②行第n个数为$(-2)^n - 3$；
第③行：$-\frac{1}{2}=-2÷4$，$1=4÷4$，$-2=-8÷4$……可知第③行第n个数为$(-2)^n ÷ 4$。
当$n=10$时：
第①行第10个数：$(-2)^{10}=1024$
第②行第10个数：$1024 - 3=1021$
第③行第10个数：$1024 ÷ 4=256$
三个数的和为：$1024 + 1021 + 256=2301$
【答案】
(1)$(-2)^n$；(2)$2301$
【知识点】
数字规律探究，有理数的乘方，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的数字规律类题目，解题核心是先找到基准行（第①行）的数字规律，再通过比对得到其余行和基准行的数量关系，最后按要求代入计算即可。
【难度系数】
0.7
(1) 分析第①行的数的特征：先看符号，奇数项为负、偶数项为正，可用负因数的次数体现符号变化；再看绝对值，每个数的绝对值都是2的n次方，结合符号即可推出第n个数的表达式。
(2) 对比第②、③行和第①行同位置的数，可发现第②行每个数比第①行对应数小3，第③行每个数是第①行对应数的$\frac{1}{4}$。先根据规律分别求出三行的第10个数，再相加得到最终结果。
【解析】
(1) 观察第①行的数：
第1个数：$-2=(-2)^1$
第2个数：$4=(-2)^2$
第3个数：$-8=(-2)^3$
第4个数：$16=(-2)^4$
……
以此类推，第n个数是$(-2)^n$。
(2) 对比三行同位置的数找规律：
第②行：$-5=-2-3$，$1=4-3$，$-11=-8-3$……可知第②行第n个数为$(-2)^n - 3$；
第③行：$-\frac{1}{2}=-2÷4$，$1=4÷4$，$-2=-8÷4$……可知第③行第n个数为$(-2)^n ÷ 4$。
当$n=10$时：
第①行第10个数：$(-2)^{10}=1024$
第②行第10个数：$1024 - 3=1021$
第③行第10个数：$1024 ÷ 4=256$
三个数的和为：$1024 + 1021 + 256=2301$
【答案】
(1)$(-2)^n$；(2)$2301$
【知识点】
数字规律探究，有理数的乘方，有理数混合运算
【点评】
本题是典型的数字规律类题目，解题核心是先找到基准行（第①行）的数字规律，再通过比对得到其余行和基准行的数量关系，最后按要求代入计算即可。
【难度系数】
0.7
【变式】观察下列各式：
$1^3=1^2$；
$1^3+2^3=3^2$；
$1^3+2^3+3^3=6^2$；
$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$；
……
猜想：$1^3+2^3+3^3+\dots+10^3=$
$1^3=1^2$；
$1^3+2^3=3^2$；
$1^3+2^3+3^3=6^2$；
$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$；
……
猜想：$1^3+2^3+3^3+\dots+10^3=$
$55^2$ 或 $3\ 025$
。答案
$55^2$ 或 $3\ 025$
解析
【分析】
我们先观察给出的已知等式，对比每个等式左右两部分的特征：左边都是从1开始的连续正整数的立方和，右边是某个数的平方。接下来重点找右边平方的底数和左边立方底数的关系：第一个等式右边底数1等于左边唯一的立方底数1；第二个等式右边底数3等于左边两个立方底数1、2的和；第三个等式右边底数6等于左边三个立方底数1、2、3的和，以此类推总结出通用规律，再把n=10代入规律计算即可。
【解析】
观察已知等式：
$1^3=1^2$，其中右边的底数$1=1$；
$1^3+2^3=3^2$，其中右边的底数$3=1+2$；
$1^3+2^3+3^3=6^2$，其中右边的底数$6=1+2+3$；
$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$，其中右边的底数$10=1+2+3+4$；
由此归纳规律：从1到n的连续正整数的立方和，等于这n个正整数的和的平方，即：
$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2$
当n=10时，计算1到10的和：$1+2+3+\dots+10=(1+10)×10÷2=55$
因此$1^3+2^3+\dots+10^3=55^2=3025$
【答案】
$55^2$（或3025）
【知识点】
数字规律探究；有理数乘方运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察已知等式的共同特征，归纳出通用的运算规律，再代入具体数值计算，能有效锻炼观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
我们先观察给出的已知等式，对比每个等式左右两部分的特征：左边都是从1开始的连续正整数的立方和，右边是某个数的平方。接下来重点找右边平方的底数和左边立方底数的关系：第一个等式右边底数1等于左边唯一的立方底数1；第二个等式右边底数3等于左边两个立方底数1、2的和；第三个等式右边底数6等于左边三个立方底数1、2、3的和，以此类推总结出通用规律，再把n=10代入规律计算即可。
【解析】
观察已知等式：
$1^3=1^2$，其中右边的底数$1=1$；
$1^3+2^3=3^2$，其中右边的底数$3=1+2$；
$1^3+2^3+3^3=6^2$，其中右边的底数$6=1+2+3$；
$1^3+2^3+3^3+4^3=10^2$，其中右边的底数$10=1+2+3+4$；
由此归纳规律：从1到n的连续正整数的立方和，等于这n个正整数的和的平方，即：
$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=(1+2+3+\dots+n)^2$
当n=10时，计算1到10的和：$1+2+3+\dots+10=(1+10)×10÷2=55$
因此$1^3+2^3+\dots+10^3=55^2=3025$
【答案】
$55^2$（或3025）
【知识点】
数字规律探究；有理数乘方运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察已知等式的共同特征，归纳出通用的运算规律，再代入具体数值计算，能有效锻炼观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.8
1. 下列运算结果是正数的是 （
A.$1+(-2)^3$
B.$-3^2 - (-2)^2$
C.$(-2)^3 ÷ (-3)^2$
D.$-2^2 × (1 - 2^2)$
D
）A.$1+(-2)^3$
B.$-3^2 - (-2)^2$
C.$(-2)^3 ÷ (-3)^2$
D.$-2^2 × (1 - 2^2)$
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个选项的运算结果是正数，需按照有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算），逐个计算四个选项的结果，同时要注意区分负号在乘方括号内和括号外的运算差异，最后根据结果的正负选出正确答案。
【解析】
我们逐一计算各选项的结果：
A选项：先算乘方，$(-2)^3=-8$，再算加法：$1+(-8)=-7$，结果为负数，不符合要求；
B选项：先算乘方，$-3^2=-9$，$(-2)^2=4$，再算减法：$-9-4=-13$，结果为负数，不符合要求；
C选项：先算乘方，$(-2)^3=-8$，$(-3)^2=9$，再算除法：$-8÷9=-\frac{8}{9}$，结果为负数，不符合要求；
D选项：先算乘方，$2^2=4$，先计算括号内的式子：$1-4=-3$，再算乘方$-2^2=-4$，最后算乘法：$-4×(-3)=12$，结果为正数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；正负数判定
【点评】
本题核心考查有理数混合运算中的符号处理，做题时尤其要注意区分$-a^2$和$(-a)^2$的运算差异，熟练掌握运算顺序、准确处理符号是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断哪个选项的运算结果是正数，需按照有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的运算），逐个计算四个选项的结果，同时要注意区分负号在乘方括号内和括号外的运算差异，最后根据结果的正负选出正确答案。
【解析】
我们逐一计算各选项的结果：
A选项：先算乘方，$(-2)^3=-8$，再算加法：$1+(-8)=-7$，结果为负数，不符合要求；
B选项：先算乘方，$-3^2=-9$，$(-2)^2=4$，再算减法：$-9-4=-13$，结果为负数，不符合要求；
C选项：先算乘方，$(-2)^3=-8$，$(-3)^2=9$，再算除法：$-8÷9=-\frac{8}{9}$，结果为负数，不符合要求；
D选项：先算乘方，$2^2=4$，先计算括号内的式子：$1-4=-3$，再算乘方$-2^2=-4$，最后算乘法：$-4×(-3)=12$，结果为正数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；正负数判定
【点评】
本题核心考查有理数混合运算中的符号处理，做题时尤其要注意区分$-a^2$和$(-a)^2$的运算差异，熟练掌握运算顺序、准确处理符号是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
2. 计算：$(-1)^3 - \frac{1}{4} × [2 - (-3)^2] = (\quad)$
A.0
B.$-\frac{11}{4}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$-\frac{3}{4}$
A.0
B.$-\frac{11}{4}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$-\frac{3}{4}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题时需严格遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算。首先先计算两个乘方项的值，注意负数乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；再计算中括号内的减法，接着计算乘法运算，最后计算加减即可得到结果。
【解析】
解：按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘方：
$(-1)^3 = -1$，$(-3)^2 = 9$
2. 计算中括号内的运算：
$2 - (-3)^2 = 2 - 9 = -7$
3. 计算乘法运算：
$\frac{1}{4} × (-7) = -\frac{7}{4}$
4. 计算加减运算：
原式$= -1 - (-\frac{7}{4}) = -1 + \frac{7}{4} = \frac{3}{4}$
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算顺序；有理数四则运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，易错点为负数乘方的符号判断、运算顺序混乱以及乘法运算的符号变化，掌握运算顺序和符号法则即可正确求解。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数的混合运算，解题时需严格遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算。首先先计算两个乘方项的值，注意负数乘方的符号规律：负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；再计算中括号内的减法，接着计算乘法运算，最后计算加减即可得到结果。
【解析】
解：按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘方：
$(-1)^3 = -1$，$(-3)^2 = 9$
2. 计算中括号内的运算：
$2 - (-3)^2 = 2 - 9 = -7$
3. 计算乘法运算：
$\frac{1}{4} × (-7) = -\frac{7}{4}$
4. 计算加减运算：
原式$= -1 - (-\frac{7}{4}) = -1 + \frac{7}{4} = \frac{3}{4}$
【答案】
C
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算顺序；有理数四则运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础题型，易错点为负数乘方的符号判断、运算顺序混乱以及乘法运算的符号变化，掌握运算顺序和符号法则即可正确求解。
【难度系数】
0.7
3. 下列运算不正确的是 （
A.$-48÷ 2^3=-6$
B.$(4+5)^2=4^2+5^2$
C.$(-3)^2÷ (-4^3)=-\dfrac{9}{64}$
D.$-3× 2^2 - (-3× 2^2)=0$
B
）A.$-48÷ 2^3=-6$
B.$(4+5)^2=4^2+5^2$
C.$(-3)^2÷ (-4^3)=-\dfrac{9}{64}$
D.$-3× 2^2 - (-3× 2^2)=0$
答案
B
解析
【分析】
本题考查有理数混合运算的正误判断，解题思路为：牢记有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的），依次计算每个选项的运算结果，对比判断是否正确，最终选出运算不正确的选项即可。
【解析】
我们按照运算顺序逐一验证各选项：
A选项：先算乘方$2^3=8$，再算除法$-48÷8=-6$，运算正确，不符合题意；
B选项：先算括号内$4+5=9$，再算乘方$9^2=81$；而$4^2+5^2=16+25=41$，$81≠41$，运算错误，符合题意；
C选项：先算乘方$(-3)^2=9$，$4^3=64$，再算除法$9÷(-64)=-\dfrac{9}{64}$，运算正确，不符合题意；
D选项：先算乘方$2^2=4$，再依次计算乘法：$-3×4=-12$，$-3×2^2=-12$，最后算加减：$-12 - (-12)=-12+12=0$，运算正确，不符合题意。
综上，运算不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
有理数混合运算顺序，乘方运算，去括号法则
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心考查运算顺序的掌握，做题时要注意区分带负号的乘方底数（如$-4^3$和$(-4)^3$的差异），同时牢记有括号优先计算括号内内容的规则，避免因运算顺序错误丢分。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数混合运算的正误判断，解题思路为：牢记有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的），依次计算每个选项的运算结果，对比判断是否正确，最终选出运算不正确的选项即可。
【解析】
我们按照运算顺序逐一验证各选项：
A选项：先算乘方$2^3=8$，再算除法$-48÷8=-6$，运算正确，不符合题意；
B选项：先算括号内$4+5=9$，再算乘方$9^2=81$；而$4^2+5^2=16+25=41$，$81≠41$，运算错误，符合题意；
C选项：先算乘方$(-3)^2=9$，$4^3=64$，再算除法$9÷(-64)=-\dfrac{9}{64}$，运算正确，不符合题意；
D选项：先算乘方$2^2=4$，再依次计算乘法：$-3×4=-12$，$-3×2^2=-12$，最后算加减：$-12 - (-12)=-12+12=0$，运算正确，不符合题意。
综上，运算不正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
有理数混合运算顺序，乘方运算，去括号法则
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心考查运算顺序的掌握，做题时要注意区分带负号的乘方底数（如$-4^3$和$(-4)^3$的差异），同时牢记有括号优先计算括号内内容的规则，避免因运算顺序错误丢分。
【难度系数】
0.8
