例 计算：$\frac{2x - 6}{4 - 4x + x^2} ÷ (x + 3) · \frac{(x + 3)(x - 2)}{3 - x}$。
分析：先将除法变为乘法，再根据分式的乘法法则进行运算。
解：$\frac{2x - 6}{4 - 4x + x^2} ÷ (x + 3) · \frac{(x + 3)(x - 2)}{3 - x}$
$=\frac{2x - 6}{4 - 4x + x^2} · \frac{1}{x + 3} · \frac{(x + 3)(x - 2)}{3 - x}$
（先把除法统一成乘法运算）
$=\frac{2(x - 3)}{(2 - x)^2} · \frac{1}{x + 3} · \frac{(x + 3)(x - 2)}{3 - x}$
（分子、分母中的多项式分解因式）
$=\frac{2(x - 3)}{(x - 2)^2} · \frac{1}{x + 3} · \frac{(x + 3)(x - 2)}{-(x - 3)}$
$=-\frac{2}{x - 2}$。
方法点拨 分式的乘除混合运算先统一成乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后要化成最简结果。

解：
$\frac{2x - 6}{4 - 4x + x^2} ÷ (x + 3) · \frac{(x + 3)(x - 2)}{3 - x}$
$=\frac{2x-6}{4-4x+x^2}·\frac{1}{x+3}·\frac{(x+3)(x-2)}{3-x}$
$=\frac{2(x-3)}{(x-2)^2}·\frac{1}{x+3}·\frac{(x+3)(x-2)}{-(x-3)}$
$=-\frac{2}{x-2}$

【分析】
这是分式乘除混合运算题，解题思路如下：第一步，根据分式除法法则，将除法运算统一转化为乘法运算，除以$(x+3)$等价于乘以$\frac{1}{x+3}$；第二步，对分子、分母中能因式分解的多项式进行因式分解：$2x-6$提取公因式2得$2(x-3)$，$4-4x+x^2$是完全平方式，分解为$(x-2)^2$，同时将$3-x$变形为$-(x-3)$，方便后续约分；第三步，确定符号后，约掉分子分母的公因式，最后将结果化为最简分式即可。
【解析】
$\frac{2x - 6}{4 - 4x + x^2} ÷ (x + 3) · \frac{(x + 3)(x - 2)}{3 - x}$
$=\frac{2x-6}{4-4x+x^2}·\frac{1}{x+3}·\frac{(x+3)(x-2)}{3-x}$
$=\frac{2(x-3)}{(x-2)^2}·\frac{1}{x+3}·\frac{(x+3)(x-2)}{-(x-3)}$
$=-\frac{2}{x-2}$
【答案】
$-\frac{2}{x-2}$
【知识点】
分式乘除混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是牢记分式乘除混合运算的运算顺序，先统一为乘法再计算，因式分解要准确，尤其要注意互为相反数的因式变形时的符号变化，约分要彻底，避免因跳步或符号处理不当出错。
【难度系数】
0.7

阅读理解:
材料1:已知$x+\frac{1}{x}=3$,求分式$\frac{x}{x^2 -4x +1}$的值.
解:∵ $x+\frac{1}{x}=3$,
∴ $\frac{x^2 -4x +1}{x}=x-4+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}-4=3-4=-1$,
∴ $\frac{x}{x^2 -4x +1}=\frac{1}{$$}=\frac{1}{-1}=-1$.
总结:这道题在解题过程中利用了倒数,所以可以将这种方法称为倒数法.
材料2:将分式$\frac{x^2 -2x +3}{x-1}$拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
解:$\frac{x^2 -2x +3}{x-1}=\frac{x(x-1)+x-2x+3}{x-1}=x+\frac{-(x-1)+2}{x-1}=x-1+\frac{2}{x-1}$.
总结:这种方法可以称为分离常数法.
根据材料,解答下面问题:
(1)已知$a+\frac{1}{a}=3$,则分式$\frac{a}{2a^2 +2}$的值为,分式$\frac{a^2}{a^4 -4a^2 +1}$的值为;
(2)若分式$\frac{2b^2 +7}{b^2 +1}$的值为整数,求整数$b$的值;
(3)已知$x+\frac{1}{x+2}=\frac{4}{3}$,则分式$\frac{x+2}{x^2 +3x +3}$的值为.

(1) $\dfrac{1}{6}$，$\dfrac{1}{3}$
(2) 解：$\dfrac{2b^2+7}{b^2+1}=\dfrac{(2b^2+2)+5}{b^2+1}=\dfrac{2(b^2+1)+5}{b^2+1}=2+\dfrac{5}{b^2+1}$.
∵ 分式$\dfrac{2b^2+7}{b^2+1}$的值为整数，
∴ $2+\dfrac{5}{b^2+1}$为整数，即$\dfrac{5}{b^2+1}$为整数.
又 $b^2+1＞0$,
∴ $b^2+1=1$ 或 $b^2+1=5$.
∴ $b=0$ 或 $b=\pm2$.
∴ $b$ 的值为 $0,2$ 或 $-2$.
(3) $\dfrac{3}{7}$

【分析】
本题结合阅读材料考查分式的化简求值，解题思路如下：
(1) 两小问均采用材料1的倒数法：先求所求分式的倒数，利用已知条件$a+\frac{1}{a}=3$，结合完全平方公式化简计算，再取倒数得到原分式的值；
(2) 采用材料2的分离常数法：将分式拆分为整数加分子为常数的分式，根据分式值为整数的条件，确定分母的正因数取值，进而求解整数$b$；
(3) 同样使用倒数法：先求所求分式的倒数，将分子拆分变形，代入已知的$x+\frac{1}{x+2}=\frac{4}{3}$计算，再取倒数得到结果。
【解析】
(1) 求解两个分式的值
① 求$\frac{a}{2a^2 +2}$的值：
先计算其倒数：$\frac{2a^2 +2}{a}=2a+\frac{2}{a}=2(a+\frac{1}{a})$，
将$a+\frac{1}{a}=3$代入得：$2×3=6$，
因此$\frac{a}{2a^2 +2}=\frac{1}{6}$。
② 求$\frac{a^2}{a^4 -4a^2 +1}$的值：
先计算其倒数：$\frac{a^4 -4a^2 +1}{a^2}=a^2 -4 +\frac{1}{a^2}$，
由$a+\frac{1}{a}=3$，两边平方得：$(a+\frac{1}{a})^2=a^2+2+\frac{1}{a^2}=9$，即$a^2+\frac{1}{a^2}=7$，
代入得：$7-4=3$，
因此$\frac{a^2}{a^4 -4a^2 +1}=\frac{1}{3}$。
---
(2) 求整数$b$的值
用分离常数法拆分分式：
$\frac{2b^2 +7}{b^2 +1}=\frac{2(b^2+1)+5}{b^2 +1}=2+\frac{5}{b^2 +1}$，
∵ 分式的值为整数，
∴ $\frac{5}{b^2 +1}$为整数，
又
∵ $b^2≥0$，
∴ $b^2 +1≥1$且为正整数，是5的正因数，
则$b^2 +1=1$或$b^2 +1=5$，
当$b^2 +1=1$时，$b^2=0$，解得$b=0$；
当$b^2 +1=5$时，$b^2=4$，解得$b=\pm2$；
综上，整数$b$的值为$0,2,-2$。
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(3) 求$\frac{x+2}{x^2 +3x +3}$的值
先计算其倒数：$\frac{x^2 +3x +3}{x+2}$，
拆分分子：$x^2 +3x +3=x(x+2)+(x+2)+1$，
因此$\frac{x^2 +3x +3}{x+2}=\frac{x(x+2)+(x+2)+1}{x+2}=x +1 +\frac{1}{x+2}=(x+\frac{1}{x+2})+1$，
将$x+\frac{1}{x+2}=\frac{4}{3}$代入得：$\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}$，
因此$\frac{x+2}{x^2 +3x +3}=\frac{3}{7}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{6}$，$\dfrac{1}{3}$
(2) 整数$b$的值为$0,2,-2$
(3) $\dfrac{3}{7}$
【知识点】
分式化简求值，倒数法，分离常数法
【点评】
本题属于阅读类题型，重点考查对材料中解题方法的迁移应用能力，需要熟练掌握分式的变形技巧，根据所求式子的特征灵活选择合适的方法化简，能有效提升对新方法的理解和运用能力。
【难度系数】
0.65