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6. 如图, 在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, 且 $AC = AD$.
(1)作$∠ BAC$的平分线,交$BC$于点$E$;(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接$DE$,求证$AB ⊥ DE$.
(1)作$∠ BAC$的平分线,交$BC$于点$E$;(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,连接$DE$,求证$AB ⊥ DE$.
答案
6. (1)如图,AE 即为所求.
(2)如图,连接 DE. 由(1)知∠CAE=∠DAE.
在△ACE 和△ADE 中，
$\begin{cases} AC=AD, \\ ∠CAE=∠DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴ △ACE ≌△ADE( SAS ).
∴ ∠ACE=∠ADE.
又 ∠ACB=90°,
∴ ∠ADE=90°.
∴ AB⊥DE.
解析
【分析】
(1)第一问为尺规作已知角的平分线，按照角平分线的标准尺规作图步骤操作，保留作图痕迹即可。
(2)第二问要证明AB⊥DE，即需证明∠ADE=90°。已知∠ACB=90°，因此可通过证明△ACE与△ADE全等，将∠ADE转化为和∠ACB相等的角。结合已知条件AC=AD，AE是公共边，且AE是角平分线可得∠CAE=∠DAE，满足SAS全等判定的条件，证得全等后即可推出∠ADE=∠ACB=90°，从而得到垂直结论。
【解析】
(1)按照角平分线的尺规作图方法作图：以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点N、M；再分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于点Q；作射线AQ，交BC于点E，AE即为所求的角平分线。
(2)连接DE，
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠CAE=∠DAE，
在$△ ACE$和$△ ADE$中：
$\begin{cases} AC=AD（已知）, \\ ∠CAE=∠DAE（已证）, \\ AE=AE（公共边）, \end{cases}$
∴ $△ ACE ≌ △ ADE(\mathrm{SAS})$，
∴ ∠ACE=∠ADE（全等三角形对应角相等），
∵ ∠ACB=90°，即∠ACE=90°，
∴ ∠ADE=90°，
∴ $AB ⊥ DE$（垂直的定义）。
【答案】
(1)如图,AE 即为所求.
(2)证明：连接 DE. 由(1)知∠CAE=∠DAE.
在△ACE 和△ADE 中，
$\begin{cases} AC=AD, \\ ∠CAE=∠DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴ △ACE ≌△ADE( SAS ).
∴ ∠ACE=∠ADE.
又 ∠ACB=90°,
∴ ∠ADE=90°.
∴ AB⊥DE.
【知识点】
尺规作角平分线；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，同时考查了尺规作图的基本技能和全等三角形相关知识的应用，难度较低，只要熟练掌握角平分线的作图方法和全等三角形的判定、性质，就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
(1)第一问为尺规作已知角的平分线，按照角平分线的标准尺规作图步骤操作，保留作图痕迹即可。
(2)第二问要证明AB⊥DE，即需证明∠ADE=90°。已知∠ACB=90°，因此可通过证明△ACE与△ADE全等，将∠ADE转化为和∠ACB相等的角。结合已知条件AC=AD，AE是公共边，且AE是角平分线可得∠CAE=∠DAE，满足SAS全等判定的条件，证得全等后即可推出∠ADE=∠ACB=90°，从而得到垂直结论。
【解析】
(1)按照角平分线的尺规作图方法作图：以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点N、M；再分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于点Q；作射线AQ，交BC于点E，AE即为所求的角平分线。
(2)连接DE，
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠CAE=∠DAE，
在$△ ACE$和$△ ADE$中：
$\begin{cases} AC=AD（已知）, \\ ∠CAE=∠DAE（已证）, \\ AE=AE（公共边）, \end{cases}$
∴ $△ ACE ≌ △ ADE(\mathrm{SAS})$，
∴ ∠ACE=∠ADE（全等三角形对应角相等），
∵ ∠ACB=90°，即∠ACE=90°，
∴ ∠ADE=90°，
∴ $AB ⊥ DE$（垂直的定义）。
【答案】
(1)如图,AE 即为所求.
(2)证明：连接 DE. 由(1)知∠CAE=∠DAE.
在△ACE 和△ADE 中，
$\begin{cases} AC=AD, \\ ∠CAE=∠DAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴ △ACE ≌△ADE( SAS ).
∴ ∠ACE=∠ADE.
又 ∠ACB=90°,
∴ ∠ADE=90°.
∴ AB⊥DE.
【知识点】
尺规作角平分线；SAS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何题，同时考查了尺规作图的基本技能和全等三角形相关知识的应用，难度较低，只要熟练掌握角平分线的作图方法和全等三角形的判定、性质，就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
7. 证明:命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于$360°$”是真命题.
答案
7. 已知:如图,∠1,∠2,∠3 是△ABC 的三个外角.
求证∠1+∠2+∠3=360°.
证明:
∵ ∠1 = ∠ABC + ∠ACB, ∠2 = ∠BAC+∠ACB,∠3 = ∠BAC+∠ABC,
∴ ∠1+∠2+∠3 = 2( ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB).
∵ ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴ ∠1+∠2+∠3=360°.
即命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于 360°”是真命题.
解析
【分析】
要证明该命题，首先需根据命题内容明确已知条件和待证结论：已知∠1、∠2、∠3是△ABC不共顶点的三个外角，求证三者之和为360°。解题时先运用三角形外角的性质，把三个外角分别用对应的不相邻内角表示，再将三个式子相加，可得到外角和与三角形内角和的倍数关系，最后结合三角形内角和为180°的定理，即可推导出三个外角的和。
【解析】
首先明确已知、求证，再逐步推导：
已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个不共顶点的外角。
求证：∠1+∠2+∠3=360°。
证明：
根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
∠1 = ∠ABC + ∠ACB，∠2 = ∠BAC+∠ACB，∠3 = ∠BAC+∠ABC，
将三个等式左右两边分别相加，得：
∠1+∠2+∠3 = 2(∠BAC + ∠ABC + ∠ACB)，
又因为三角形内角和为180°，即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
代入上式计算得：∠1+∠2+∠3=2×180°=360°，
因此命题成立。
【答案】
7. 已知:如图,∠1,∠2,∠3 是△ABC 的三个外角.
求证∠1+∠2+∠3=360°.
证明:
∵ ∠1 = ∠ABC + ∠ACB, ∠2 = ∠BAC+∠ACB,∠3 = ∠BAC+∠ABC,
∴ ∠1+∠2+∠3 = 2( ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB).
∵ ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴ ∠1+∠2+∠3=360°.
即命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于 360°”是真命题.
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，命题证明
【点评】
本题是三角形外角和定理的基础证明题，解题核心是通过外角性质将外角和转化为内角和的倍数进行计算，能够帮助学生掌握命题证明的基本步骤，加深对三角形内外角数量关系的理解。
【难度系数】
0.8
要证明该命题，首先需根据命题内容明确已知条件和待证结论：已知∠1、∠2、∠3是△ABC不共顶点的三个外角，求证三者之和为360°。解题时先运用三角形外角的性质，把三个外角分别用对应的不相邻内角表示，再将三个式子相加，可得到外角和与三角形内角和的倍数关系，最后结合三角形内角和为180°的定理，即可推导出三个外角的和。
【解析】
首先明确已知、求证，再逐步推导：
已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个不共顶点的外角。
求证：∠1+∠2+∠3=360°。
证明：
根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
∠1 = ∠ABC + ∠ACB，∠2 = ∠BAC+∠ACB，∠3 = ∠BAC+∠ABC，
将三个等式左右两边分别相加，得：
∠1+∠2+∠3 = 2(∠BAC + ∠ABC + ∠ACB)，
又因为三角形内角和为180°，即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
代入上式计算得：∠1+∠2+∠3=2×180°=360°，
因此命题成立。
【答案】
7. 已知:如图,∠1,∠2,∠3 是△ABC 的三个外角.
求证∠1+∠2+∠3=360°.
证明:
∵ ∠1 = ∠ABC + ∠ACB, ∠2 = ∠BAC+∠ACB,∠3 = ∠BAC+∠ABC,
∴ ∠1+∠2+∠3 = 2( ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB).
∵ ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴ ∠1+∠2+∠3=360°.
即命题“三角形不共顶点的三个外角的和等于 360°”是真命题.
【知识点】
三角形外角性质，三角形内角和定理，命题证明
【点评】
本题是三角形外角和定理的基础证明题，解题核心是通过外角性质将外角和转化为内角和的倍数进行计算，能够帮助学生掌握命题证明的基本步骤，加深对三角形内外角数量关系的理解。
【难度系数】
0.8
8. 如图，已知$AD// BC$，$P$是$∠ BAD$与$∠ ABC$的平分线的交点，$PE⊥ AB$于点$E$，且$PE=3$，求$AD$与$BC$之间的距离.
答案
8. AD 与 BC 之间的距离为 6.
解析
【分析】
要计算平行线AD与BC之间的距离，首先明确平行线间的距离是两条平行线的公垂线段的长度。已知P是∠BAD和∠ABC的角平分线交点，结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，我们可以过P分别作AD、BC的垂线，得到的两条垂线段长度都等于PE的长度，再根据AD//BC可判断两条垂线段与公垂线段共线，将两条垂线段求和就能得到公垂线段的长度，即两平行线的距离。
【解析】
过点P作$PM ⊥ AD$于点M，$PN ⊥ BC$于点N。
$\because AD // BC$，$\therefore$点M、P、N在同一条直线上，线段MN的长度就是AD与BC之间的距离。
$\because$AP平分$∠ BAD$，$PE ⊥ AB$，$PM ⊥ AD$，根据角平分线的性质，可得$PM=PE=3$。
$\because$BP平分$∠ ABC$，$PE ⊥ AB$，$PN ⊥ BC$，同理可得$PN=PE=3$。
$\therefore MN=PM+PN=3+3=6$，即AD与BC之间的距离为6。
【答案】
AD与BC之间的距离为6。
【知识点】
角平分线的性质；平行线间的距离；平行线的性质
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的核心是合理作辅助线，借助角平分线的性质把已知线段长度和所求的平行线距离建立关联，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7
要计算平行线AD与BC之间的距离，首先明确平行线间的距离是两条平行线的公垂线段的长度。已知P是∠BAD和∠ABC的角平分线交点，结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，我们可以过P分别作AD、BC的垂线，得到的两条垂线段长度都等于PE的长度，再根据AD//BC可判断两条垂线段与公垂线段共线，将两条垂线段求和就能得到公垂线段的长度，即两平行线的距离。
【解析】
过点P作$PM ⊥ AD$于点M，$PN ⊥ BC$于点N。
$\because AD // BC$，$\therefore$点M、P、N在同一条直线上，线段MN的长度就是AD与BC之间的距离。
$\because$AP平分$∠ BAD$，$PE ⊥ AB$，$PM ⊥ AD$，根据角平分线的性质，可得$PM=PE=3$。
$\because$BP平分$∠ ABC$，$PE ⊥ AB$，$PN ⊥ BC$，同理可得$PN=PE=3$。
$\therefore MN=PM+PN=3+3=6$，即AD与BC之间的距离为6。
【答案】
AD与BC之间的距离为6。
【知识点】
角平分线的性质；平行线间的距离；平行线的性质
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的核心是合理作辅助线，借助角平分线的性质把已知线段长度和所求的平行线距离建立关联，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$△ ABC$中,AD是它的角平分线.求证$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC.$
(1)在图①中完成上面的证明过程；
(2)在图②中,如果$AB=3,AC=2,BC=4$,求CD的长.
(1)在图①中完成上面的证明过程；
(2)在图②中,如果$AB=3,AC=2,BC=4$,求CD的长.
答案
9. (1)如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E, DF⊥AC 于点 F.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ DE=DF.
∵ $S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB · DE,S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC · DF$,
∴ $\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB · DE}{\frac{1}{2}AC · DF}=\frac{AB}{AC}$,
即 $S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC$.
(2)如图,过点 A 作 AE⊥BC 于点 E.
∵ $S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD · AE,S_{△ACD}=\frac{1}{2}CD · AE$,
∴ $\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}BD · AE}{\frac{1}{2}CD · AE}=\frac{BD}{CD}$.
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
∵ AB=3,AC=2,BC=4,
∴ $\frac{3}{2}=\frac{4-CD}{CD}$.
∴ $CD=\frac{8}{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证明$S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC$，可结合三角形面积公式分析：若将AB、AC分别作为两个三角形的底，只需证明两个底对应的高相等即可。已知AD是角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作AB、AC的垂线，得到的两条高相等，代入面积公式计算比值即可得证。
(2) 要求CD的长度，已知BC总长，只需推出BD与CD的比例关系。将BD、CD分别作为△ABD、△ACD的底，两个三角形共享BC边上的高，因此面积比等于BD:CD，结合(1)中得到的面积比等于AB:AC的结论，可建立线段比例方程，代入已知边长即可求解CD。
【解析】
(1) 证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB·DE}{\frac{1}{2}AC·DF}=\frac{AB}{AC}$，即$S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC$。
(2) 解：过点A作AE⊥BC于点E。
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD·AE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}CD·AE$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}BD·AE}{\frac{1}{2}CD·AE}=\frac{BD}{CD}$。
结合(1)的结论可得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
已知AB=3，AC=2，BC=4，且BD=BC-CD=4-CD，代入得：
$\frac{3}{2}=\frac{4-CD}{CD}$
交叉相乘得：$3CD=2(4-CD)$
解得$5CD=8$，即$CD=\frac{8}{5}$。
【答案】
(1)
过点 D 作 DE⊥AB 于点 E, DF⊥AC 于点 F.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ DE=DF.
∵ $S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB · DE,S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC · DF$,
∴ $\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB · DE}{\frac{1}{2}AC · DF}=\frac{AB}{AC}$,
即 $S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC$.
(2)
$CD=\frac{8}{5}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；比例的应用
【点评】
本题核心考察面积法在几何问题中的使用，通过将面积比转化为线段比，结合角平分线的性质推导结论，既巩固了基础性质的应用，也引导学生掌握面积法这一常用几何解题技巧，对后续学习角平分线分线段成比例的相关结论有铺垫作用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC$，可结合三角形面积公式分析：若将AB、AC分别作为两个三角形的底，只需证明两个底对应的高相等即可。已知AD是角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作AB、AC的垂线，得到的两条高相等，代入面积公式计算比值即可得证。
(2) 要求CD的长度，已知BC总长，只需推出BD与CD的比例关系。将BD、CD分别作为△ABD、△ACD的底，两个三角形共享BC边上的高，因此面积比等于BD:CD，结合(1)中得到的面积比等于AB:AC的结论，可建立线段比例方程，代入已知边长即可求解CD。
【解析】
(1) 证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB·DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·DF$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB·DE}{\frac{1}{2}AC·DF}=\frac{AB}{AC}$，即$S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC$。
(2) 解：过点A作AE⊥BC于点E。
∵$S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD·AE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}CD·AE$，
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}BD·AE}{\frac{1}{2}CD·AE}=\frac{BD}{CD}$。
结合(1)的结论可得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$。
已知AB=3，AC=2，BC=4，且BD=BC-CD=4-CD，代入得：
$\frac{3}{2}=\frac{4-CD}{CD}$
交叉相乘得：$3CD=2(4-CD)$
解得$5CD=8$，即$CD=\frac{8}{5}$。
【答案】
(1)
过点 D 作 DE⊥AB 于点 E, DF⊥AC 于点 F.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ DE=DF.
∵ $S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB · DE,S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC · DF$,
∴ $\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}AB · DE}{\frac{1}{2}AC · DF}=\frac{AB}{AC}$,
即 $S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC$.
(2)
$CD=\frac{8}{5}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；比例的应用
【点评】
本题核心考察面积法在几何问题中的使用，通过将面积比转化为线段比，结合角平分线的性质推导结论，既巩固了基础性质的应用，也引导学生掌握面积法这一常用几何解题技巧，对后续学习角平分线分线段成比例的相关结论有铺垫作用。
【难度系数】
0.7
