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1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A＝56°$，$∠ B＝36°$，则$∠ C$的度数为 （
）
A.$87°$
B.$88°$
C.$89°$
D.$90°$
）A.$87°$
B.$88°$
C.$89°$
D.$90°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题思路：解决本题首先要回忆三角形内角和的相关性质，三角形的三个内角之和为180°。本题中已知△ABC的两个内角∠A和∠B的度数，要求第三个角∠C，只需用三角形内角和180°减去已知两个角的度数，计算出结果后对应选项即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和为180°，因此在△ABC中：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A=56°$，$∠ B=36°$，代入得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 56° - 36° = 88°$
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角形内角和定理的理解与简单应用，计算时注意角度的减法运算不要出错即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
解题思路：解决本题首先要回忆三角形内角和的相关性质，三角形的三个内角之和为180°。本题中已知△ABC的两个内角∠A和∠B的度数，要求第三个角∠C，只需用三角形内角和180°减去已知两个角的度数，计算出结果后对应选项即可。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和为180°，因此在△ABC中：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A=56°$，$∠ B=36°$，代入得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 56° - 36° = 88°$
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对三角形内角和定理的理解与简单应用，计算时注意角度的减法运算不要出错即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
2. 小亮有两根长度分别为5 cm和9 cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，则他应该选择的木棒长度为（
A.3 cm
B.4 cm
C.9 cm
D.16 cm
C
）A.3 cm
B.4 cm
C.9 cm
D.16 cm
答案
2.C
解析
【分析】
要选出能组成三角形的木棒，需用到三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们先设第三根木棒的长度为x cm，根据已知的两根木棒长度算出x的取值范围，再对照选项筛选出在取值范围内的长度即可。
【解析】
设第三根木棒的长度为x cm，根据三角形三边关系可得：
$9 - 5 ＜ x ＜ 9 + 5$
计算得：$4 ＜ x ＜ 14$
逐一核对选项：
A.3cm ＜ 4cm，不符合要求；
B.4cm = 4cm，不符合要求；
C.4cm ＜ 9cm ＜ 14cm，符合要求；
D.16cm ＞ 14cm，不符合要求。
因此应选择长度为9cm的木棒。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的实际应用，解题的关键是先求出第三边的取值范围，注意范围不含端点，避免误选边界值的错误选项。
【难度系数】
0.8
要选出能组成三角形的木棒，需用到三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。我们先设第三根木棒的长度为x cm，根据已知的两根木棒长度算出x的取值范围，再对照选项筛选出在取值范围内的长度即可。
【解析】
设第三根木棒的长度为x cm，根据三角形三边关系可得：
$9 - 5 ＜ x ＜ 9 + 5$
计算得：$4 ＜ x ＜ 14$
逐一核对选项：
A.3cm ＜ 4cm，不符合要求；
B.4cm = 4cm，不符合要求；
C.4cm ＜ 9cm ＜ 14cm，符合要求；
D.16cm ＞ 14cm，不符合要求。
因此应选择长度为9cm的木棒。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的实际应用，解题的关键是先求出第三边的取值范围，注意范围不含端点，避免误选边界值的错误选项。
【难度系数】
0.8
3. 已知一个三角形的三边长分别为5，x，8，则化简|x - 2| + |x - 13|的结果为
11
。答案
3. 11
解析
【分析】
要化简含绝对值的式子，首先需要确定x的取值范围。已知三角形的三边长，可先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再根据绝对值的性质判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后合并同类项即可得到结果。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系求x的取值范围
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，因此：
$8 - 5 ＜ x ＜ 8 + 5$
解得$3 ＜ x ＜ 13$
第二步：判断绝对值内式子的正负
∵ $x ＞ 3$，
∴ $x - 2 ＞ 3 - 2 = 1 ＞ 0$
∵ $x ＜ 13$，
∴ $x - 13 ＜ 0$
第三步：根据绝对值的性质去绝对值并计算
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此：
$|x - 2| = x - 2$，$|x - 13| = 13 - x$
原式 $= (x - 2) + (13 - x) = x - 2 + 13 - x = 11$
【答案】
11
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题是基础常考题，综合了几何的三边关系和代数的绝对值化简知识，解题核心是先确定未知数的取值范围，再结合绝对值性质化简计算。
【难度系数】
0.7
要化简含绝对值的式子，首先需要确定x的取值范围。已知三角形的三边长，可先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再根据绝对值的性质判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后合并同类项即可得到结果。
【解析】
第一步：根据三角形三边关系求x的取值范围
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，因此：
$8 - 5 ＜ x ＜ 8 + 5$
解得$3 ＜ x ＜ 13$
第二步：判断绝对值内式子的正负
∵ $x ＞ 3$，
∴ $x - 2 ＞ 3 - 2 = 1 ＞ 0$
∵ $x ＜ 13$，
∴ $x - 13 ＜ 0$
第三步：根据绝对值的性质去绝对值并计算
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，因此：
$|x - 2| = x - 2$，$|x - 13| = 13 - x$
原式 $= (x - 2) + (13 - x) = x - 2 + 13 - x = 11$
【答案】
11
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题是基础常考题，综合了几何的三边关系和代数的绝对值化简知识，解题核心是先确定未知数的取值范围，再结合绝对值性质化简计算。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AD，AE，AF分别是$△ ABC$的中线、角平分线、高，下列各式错误的是（
A.$BC=2CD$
B.$∠ BAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC$
C.$∠ AFB=90°$
D.$AE=CE$
D
）A.$BC=2CD$
B.$∠ BAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC$
C.$∠ AFB=90°$
D.$AE=CE$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线、角平分线、高的定义与性质，再逐一验证每个选项是否符合对应线段的性质，即可找到错误的选项。
【解析】
我们根据三种线段的定义逐一分析：
1. 分析A选项：AD是$△ ABC$的中线，说明D是BC边的中点，因此$BC=2CD$，该式正确。
2. 分析B选项：AE是$△ ABC$的角平分线，说明AE平分$∠ BAC$，因此$∠ BAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC$，该式正确。
3. 分析C选项：AF是$△ ABC$的高，说明$AF⊥ BC$，因此$∠ AFB=90°$，该式正确。
4. 分析D选项：AE是角平分线，仅具有平分$∠ BAC$的性质，没有额外条件能推出$AE=CE$，该式错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对三角形三类重要线段定义和性质的理解，准确掌握各线段的特征即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中线、角平分线、高的定义与性质，再逐一验证每个选项是否符合对应线段的性质，即可找到错误的选项。
【解析】
我们根据三种线段的定义逐一分析：
1. 分析A选项：AD是$△ ABC$的中线，说明D是BC边的中点，因此$BC=2CD$，该式正确。
2. 分析B选项：AE是$△ ABC$的角平分线，说明AE平分$∠ BAC$，因此$∠ BAE=\dfrac{1}{2}∠ BAC$，该式正确。
3. 分析C选项：AF是$△ ABC$的高，说明$AF⊥ BC$，因此$∠ AFB=90°$，该式正确。
4. 分析D选项：AE是角平分线，仅具有平分$∠ BAC$的性质，没有额外条件能推出$AE=CE$，该式错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线；三角形的角平分线；三角形的高
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对三角形三类重要线段定义和性质的理解，准确掌握各线段的特征即可快速判断正误。
【难度系数】
0.8
5. 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。此角平分仪的画图原理是 （
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
A
）A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
答案
5.A
解析
【分析】
要确定角平分仪的画图原理，我们先观察图形中的两个三角形△ABC和△ADC，首先梳理已知条件：题目给出AB=AD、BC=DC，同时AC是两个三角形的公共边，即AC=AC。由此可得两个三角形的三组对应边都相等，可根据SSS证明三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得到AE是角平分线，因此判定全等的依据就是本题的原理。
【解析】
在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD（已知）\\BC=DC（已知）\\AC=AC（公共边）\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BAC=∠DAC，即射线AE平分∠PRQ
因此该角平分仪的画图原理是SSS，故选A。
【答案】
A
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的工具设计问题，考查全等三角形的判定及性质应用，解题的关键是准确找到两个三角形的公共边，梳理出全等所需的边相等的条件，属于基础题，侧重对基础知识的理解和应用。
【难度系数】
0.8
要确定角平分仪的画图原理，我们先观察图形中的两个三角形△ABC和△ADC，首先梳理已知条件：题目给出AB=AD、BC=DC，同时AC是两个三角形的公共边，即AC=AC。由此可得两个三角形的三组对应边都相等，可根据SSS证明三角形全等，再利用全等三角形对应角相等即可得到AE是角平分线，因此判定全等的依据就是本题的原理。
【解析】
在△ABC和△ADC中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD（已知）\\BC=DC（已知）\\AC=AC（公共边）\end{array} $
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BAC=∠DAC，即射线AE平分∠PRQ
因此该角平分仪的画图原理是SSS，故选A。
【答案】
A
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的工具设计问题，考查全等三角形的判定及性质应用，解题的关键是准确找到两个三角形的公共边，梳理出全等所需的边相等的条件，属于基础题，侧重对基础知识的理解和应用。
【难度系数】
0.8
6. 已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数为
50°
。答案
6. $50°$
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。我们先观察两个三角形的已知边，找到第二个三角形中组成∠α的两条边是a和c，再找第一个三角形中边a和边c的夹角的度数，这个角和∠α是全等三角形的对应角，大小相等，即可求出∠α的度数。
【解析】
∵ 两个三角形全等，全等三角形的对应角相等
观察图形可知，∠α是边a与边c的夹角，第一个三角形中边a和边c的夹角度数为50°
∴ ∠α = 50°
【答案】
$50°$
【知识点】
全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题的核心是准确识别全等三角形的对应边和对应角，避免因对应关系找错出现错误。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。我们先观察两个三角形的已知边，找到第二个三角形中组成∠α的两条边是a和c，再找第一个三角形中边a和边c的夹角的度数，这个角和∠α是全等三角形的对应角，大小相等，即可求出∠α的度数。
【解析】
∵ 两个三角形全等，全等三角形的对应角相等
观察图形可知，∠α是边a与边c的夹角，第一个三角形中边a和边c的夹角度数为50°
∴ ∠α = 50°
【答案】
$50°$
【知识点】
全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形性质的基础应用题，解题的核心是准确识别全等三角形的对应边和对应角，避免因对应关系找错出现错误。
【难度系数】
0.85
7. 如图，点B，F，E，C在同一条直线上，AB//CD，AB=DC，BF=CE，试说明：△ABE≌△DCF。
答案
7. 解：因为$AB// CD$，
所以$∠ B=∠ C$。
因为$BF=CE$，
所以$BF+EF=CE+EF$，
即$BE=CF$。
在$△ ABE$ 和$△ DCF$ 中，
$\begin{cases}AB=DC,\\∠ B=∠ C,\\BE=CF,\end{cases}$
所以$△ ABE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$。
所以$∠ B=∠ C$。
因为$BF=CE$，
所以$BF+EF=CE+EF$，
即$BE=CF$。
在$△ ABE$ 和$△ DCF$ 中，
$\begin{cases}AB=DC,\\∠ B=∠ C,\\BE=CF,\end{cases}$
所以$△ ABE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$。
解析
【分析】
要证明△ABE≌△DCF，先梳理全等判定需要的条件：首先已知AB=DC，是一组对应边相等；由AB//CD，根据平行线的性质可得内错角∠B=∠C，得到一组对应角相等；还需要一组夹这组等角的对应边相等，已知BF=CE，观察图形可知BE=BF+EF，CF=CE+EF，根据等式的性质，给BF和CE同时加EF，就能得到BE=CF，此时满足SAS的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
解：因为$AB// CD$，
所以$∠ B=∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
因为$BF=CE$，
所以$BF+EF=CE+EF$，
即$BE=CF$。
在$△ ABE$ 和$△ DCF$ 中，
$\begin{cases}AB=DC,\\∠ B=∠ C,\\BE=CF,\end{cases}$
所以$△ ABE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$。
【答案】
$△ ABE≌△ DCF$，证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质；SAS判定三角形全等；线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，解题关键是结合已知条件和图形特征，推导得到全等判定所需的边角条件，熟练掌握平行线性质和全等三角形判定定理即可轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
要证明△ABE≌△DCF，先梳理全等判定需要的条件：首先已知AB=DC，是一组对应边相等；由AB//CD，根据平行线的性质可得内错角∠B=∠C，得到一组对应角相等；还需要一组夹这组等角的对应边相等，已知BF=CE，观察图形可知BE=BF+EF，CF=CE+EF，根据等式的性质，给BF和CE同时加EF，就能得到BE=CF，此时满足SAS的全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
解：因为$AB// CD$，
所以$∠ B=∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
因为$BF=CE$，
所以$BF+EF=CE+EF$，
即$BE=CF$。
在$△ ABE$ 和$△ DCF$ 中，
$\begin{cases}AB=DC,\\∠ B=∠ C,\\BE=CF,\end{cases}$
所以$△ ABE≌△ DCF(\mathrm{SAS})$。
【答案】
$△ ABE≌△ DCF$，证明过程如上。
【知识点】
平行线的性质；SAS判定三角形全等；线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，解题关键是结合已知条件和图形特征，推导得到全等判定所需的边角条件，熟练掌握平行线性质和全等三角形判定定理即可轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
8. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带③去，理由是
ASA
。（填“SAS”“ASA”“AAS”或“SSS”）答案
8. ASA
解析
【分析】
要配出和原三角形完全一样的玻璃，本质是构造与原三角形全等的三角形，需要先找到能判定三角形全等的边、角条件。首先逐个分析三块碎玻璃的特征：①仅保留了原三角形的1个角和部分边，不满足全等判定的要求；②没有保留原三角形完整的边和角，无法确定全等三角形；③保留了原三角形两个完整的内角，同时保留了这两个角的公共夹边，刚好符合“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”的判定规则，因此带③去即可，对应判定定理为ASA。
【解析】
配完全相同的玻璃的本质是得到与原三角形全等的三角形：
1. ①号碎片仅保留原三角形的一个角和部分边，无法满足全等三角形的判定条件，不能确定全等三角形；
2. ②号碎片无完整的原三角形的边和角，无法判定三角形全等；
3. ③号碎片保留了原三角形的两个内角，以及这两个内角的夹边，根据全等三角形判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA），可唯一确定与原三角形全等的玻璃，因此依据为ASA。
【答案】
ASA
【知识点】
全等三角形判定；ASA判定
【点评】
本题结合生活场景考查全等三角形判定定理的应用，解题核心是将“配相同玻璃”的实际问题转化为“判定三角形全等”的数学问题，准确提取碎片对应的边角信息即可求解，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.85
要配出和原三角形完全一样的玻璃，本质是构造与原三角形全等的三角形，需要先找到能判定三角形全等的边、角条件。首先逐个分析三块碎玻璃的特征：①仅保留了原三角形的1个角和部分边，不满足全等判定的要求；②没有保留原三角形完整的边和角，无法确定全等三角形；③保留了原三角形两个完整的内角，同时保留了这两个角的公共夹边，刚好符合“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”的判定规则，因此带③去即可，对应判定定理为ASA。
【解析】
配完全相同的玻璃的本质是得到与原三角形全等的三角形：
1. ①号碎片仅保留原三角形的一个角和部分边，无法满足全等三角形的判定条件，不能确定全等三角形；
2. ②号碎片无完整的原三角形的边和角，无法判定三角形全等；
3. ③号碎片保留了原三角形的两个内角，以及这两个内角的夹边，根据全等三角形判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA），可唯一确定与原三角形全等的玻璃，因此依据为ASA。
【答案】
ASA
【知识点】
全等三角形判定；ASA判定
【点评】
本题结合生活场景考查全等三角形判定定理的应用，解题核心是将“配相同玻璃”的实际问题转化为“判定三角形全等”的数学问题，准确提取碎片对应的边角信息即可求解，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.85
9. 小明利用一根长 3 m 的竿子 CD 来测量路灯 AB 的高度。他的方法如下：如图，在路灯前选一点 P，使 $BP = 3 \ \mathrm{m}$，并测得 $∠ APB = 70°$，然后把竖直的竿子 CD 在 BP 的延长线上左右移动，使 $∠ CPD = 20°$，此时测得 $BD = 11.2 \ \mathrm{m}$。请根据这些数据，计算路灯 AB 的高度。
答案
9. 路灯 AB 的高度是 8.2 m。
解析
【分析】
首先观察图形，CD、AB均垂直于地面，因此∠CDP和∠ABP都是直角。先利用直角三角形两锐角互余，算出∠DCP=90°-∠CPD=70°，可得∠DCP与∠APB相等。再结合已知CD=3m、BP=3m，得到CD=BP，满足角边角的全等判定条件，可证明△CDP≌△PBA，根据全等三角形对应边相等可知AB=DP，只需计算DP的长度即可得到路灯AB的高度。
【解析】
解：
∵ $CD⊥ DB$，$AB⊥ DB$
∴ $∠ CDP=∠ PBA=90°$
在$Rt△ CDP$中，$∠ CPD=20°$
∴ $∠ DCP=90°-20°=70°$
∴ $∠ DCP=∠ APB=70°$
已知$CD=3\ \mathrm{m}$，$BP=3\ \mathrm{m}$，因此$CD=BP$
在$△ CDP$和$△ PBA$中：
$\begin{cases}∠ CDP=∠ PBA \\CD=BP \\∠ DCP=∠ APB\end{cases}$
∴ $△ CDP≌△ PBA$（ASA）
∴ $AB=DP$
∵ $BD=11.2\ \mathrm{m}$，$BP=3\ \mathrm{m}$
∴ $DP=BD-BP=11.2-3=8.2\ \mathrm{m}$
∴ $AB=8.2\ \mathrm{m}$
【答案】
路灯AB的高度是8.2 m。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的应用，解题关键是挖掘角度和边长的隐含条件，证明三角形全等，将待求的未知线段转化为易计算的已知相关线段，是全等三角形解决实际问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，CD、AB均垂直于地面，因此∠CDP和∠ABP都是直角。先利用直角三角形两锐角互余，算出∠DCP=90°-∠CPD=70°，可得∠DCP与∠APB相等。再结合已知CD=3m、BP=3m，得到CD=BP，满足角边角的全等判定条件，可证明△CDP≌△PBA，根据全等三角形对应边相等可知AB=DP，只需计算DP的长度即可得到路灯AB的高度。
【解析】
解：
∵ $CD⊥ DB$，$AB⊥ DB$
∴ $∠ CDP=∠ PBA=90°$
在$Rt△ CDP$中，$∠ CPD=20°$
∴ $∠ DCP=90°-20°=70°$
∴ $∠ DCP=∠ APB=70°$
已知$CD=3\ \mathrm{m}$，$BP=3\ \mathrm{m}$，因此$CD=BP$
在$△ CDP$和$△ PBA$中：
$\begin{cases}∠ CDP=∠ PBA \\CD=BP \\∠ DCP=∠ APB\end{cases}$
∴ $△ CDP≌△ PBA$（ASA）
∴ $AB=DP$
∵ $BD=11.2\ \mathrm{m}$，$BP=3\ \mathrm{m}$
∴ $DP=BD-BP=11.2-3=8.2\ \mathrm{m}$
∴ $AB=8.2\ \mathrm{m}$
【答案】
路灯AB的高度是8.2 m。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查全等三角形的应用，解题关键是挖掘角度和边长的隐含条件，证明三角形全等，将待求的未知线段转化为易计算的已知相关线段，是全等三角形解决实际问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
