1. 用一条长为20 cm的细绳围成一个等腰三角形，使其一边的长度为5 cm，则另两边的长度分别是。

1. 7.5 cm 和 7.5 cm

【分析】
解决本题首先要明确细绳总长20cm就是等腰三角形的周长，结合等腰三角形两腰相等的性质，已知的5cm边长可能是腰，也可能是底边，因此需要分两种情况讨论。每种情况算出三边长后，必须用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，不符合的情况要舍去，最终得到正确的边长。
【解析】
已知等腰三角形的周长为20cm，分两种情况讨论：
1. 若长度为5cm的边是腰：
则底边长 = 周长 - 2×腰长 = 20 - 2×5 = 10cm，
此时三边长为5cm、5cm、10cm，
∵ 5 + 5 = 10，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，
∴ 该情况无法构成三角形，舍去。
2. 若长度为5cm的边是底边：
则腰长 = (周长 - 底边长)÷2 = (20 - 5)÷2 = 7.5cm，
此时三边长为7.5cm、7.5cm、5cm，
∵ 7.5 + 5 ＞ 7.5，7.5 + 7.5 ＞ 5，满足三角形三边关系，
∴ 该情况成立。
综上，等腰三角形另两边的长度为7.5cm和7.5cm。
【答案】
7.5 cm 和 7.5 cm
【知识点】
等腰三角形性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的典型易错题，解题的关键是对已知边长的身份进行分类讨论，同时不要忽略计算后验证三边是否满足构成三角形的条件，避免忽略隐含条件导致错解。
【难度系数】
0.6

2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=24\ \mathrm{cm}$，$BC=16\ \mathrm{cm}$，$D$为$AB$的中点，点$P$在线段$BC$上以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$B$向点$C$运动；同时，点$Q$在线段$CA$上由点$C$向点$A$运动。当点$Q$的运动速度为时，能够在某一时刻使$△ BPD$与$△ CQP$全等。

2. 4 cm/s 或 6 cm/s

【分析】
首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠B=∠C，确定两个三角形有一组相等的对应角。要使△BPD与△CQP全等，结合已有相等角的条件，对应边存在两种不同的对应关系，因此需要分类讨论：①BD与PC为对应边，BP与CQ为对应边；②BD与CQ为对应边，BP与PC为对应边。先设运动时间为t，点Q的运动速度为v，用含t、v的代数式表示出各线段的长度，再根据对应边相等列方程求解即可。
【解析】
解：设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，点Q的运动速度为$v\ \mathrm{cm/s}$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ C$。
$\because AB=24\ \mathrm{cm}$，D为AB的中点，$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$BP=4t\ \mathrm{cm}$，$PC=BC-BP=(16-4t)\ \mathrm{cm}$，$CQ=vt\ \mathrm{cm}$。
要使$△ BPD$与$△ CQP$全等，结合$∠ B=∠ C$，分两种情况讨论：
情况1：当$BD=PC$，$BP=CQ$时，
$\begin{cases}12=16-4t\\4t=vt\end{cases}$
解得$t=1$，代入得$v=4$，即点Q速度为$4\ \mathrm{cm/s}$。
情况2：当$BD=CQ$，$BP=PC$时，
$\begin{cases}4t=16-4t\\12=vt\end{cases}$
解得$t=2$，代入得$v=6$，即点Q速度为$6\ \mathrm{cm/s}$。
综上，点Q的运动速度为$4\ \mathrm{cm/s}$或$6\ \mathrm{cm/s}$。
【答案】
4 cm/s 或 6 cm/s
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定，分类讨论思想
【点评】
本题是动点与全等三角形结合的典型题，解题核心是明确全等三角形对应边不唯一时要分类讨论，避免漏解，同时要熟练运用等腰三角形和全等三角形的相关性质列式计算。
【难度系数】
0.6

3. 如图，点A，E，C，F在同一条直线上，BC = ED，AE = CF，∠ACB = ∠FED。
(1)试说明：AB // DF；
(2)若AF=18，EC=6，求AC的长。

3. 解：(1)因为 $AE=CF$，
所以 $AE+EC=EC+CF$。
所以 $AC=FE$。
在$△ ABC$ 和$△ FDE$ 中，
$\begin{cases}BC=DE,\\∠ ACB=∠ FED,\\AC=FE,\end{cases}$
所以 $△ ABC≌△ FDE(\mathrm{SAS})$。
所以 $∠ A=∠ F$。
所以 $AB// DF$。
(2)$AC=12$。

【分析】
(1) 要证明$AB// DF$，需先得到内错角相等，即$∠ A=∠ F$，可通过证明$△ ABC$和$△ FDE$全等实现。已知$AE=CF$，给等式两边同时加公共线段$EC$，即可得到全等需要的对应边$AC=FE$，结合题目给出的$BC=ED$、$∠ ACB=∠ FED$，用SAS判定两三角形全等，就能得到对应角相等，进而推出平行。
(2) 求$AC$的长时，先用$AF$的长度减去$EC$的长度得到$AE$与$CF$的和，再结合$AE=CF$求出$AE$的长度，最后根据$AC=AE+EC$计算即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because AE=CF$，
$\therefore AE+EC=EC+CF$，即$AC=FE$。
在$△ ABC$和$△ FDE$中，
$\begin{cases}BC=DE\\∠ ACB=∠ FED\\AC=FE\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ FDE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ A=∠ F$，
$\therefore AB// DF$（内错角相等，两直线平行）。
(2) 解：
$\because AF=AE+EC+CF=18$，$EC=6$，
$\therefore AE+CF=18-6=12$，
又$\because AE=CF$，
$\therefore AE=CF=12÷2=6$，
$\therefore AC=AE+EC=6+6=12$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $AC=12$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定；线段和差计算
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是利用线段和差关系得到三角形全等的对应边，再结合全等性质推导角的关系，是全等三角形和平行线判定结合的典型常规题型。
【难度系数】
0.8

4. 已知三角形的两边长分别为5，6，且这个三角形的周长是偶数，那么这个三角形的第三边的长可能是。（填一个符合条件的数即可）

4. 5(答案不唯一)

【分析】
解题时首先要依据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再计算已知两边的和，结合周长是偶数的条件判断第三边的奇偶性，最后从取值范围内选出符合奇偶性要求的数即可。
【解析】
设三角形的第三边长为$ x $，
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$ 6 - 5 ＜ x ＜ 6 + 5 $，即$ 1 ＜ x ＜ 11 $。
三角形的周长为$ 5 + 6 + x = 11 + x $，已知周长是偶数，
因为11是奇数，根据“奇数+奇数=偶数”，可知$ x $必须是奇数，
因此在$ 1 ＜ x ＜ 11 $范围内的奇数有3、5、7、9，任选一个即可，例如5。
【答案】
5(答案不唯一)
【知识点】
三角形三边关系；奇偶性应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形三边关系的应用，解题时要先确定未知边的取值范围，再结合附加条件筛选结果，注意取值不可超出三边关系限定的范围。
【难度系数】
0.8

5. 如图，△AEC的边AC和△DFB的边DB共线(即点A，B，C，D在同一条直线上)，且∠A=∠D，AB=DC。若只需添加一个条件就能使得△AEC≌△DFB，则这个条件可以是。(填写一个即可)

5. $∠ E=∠ F$(答案不唯一)

【分析】
要确定添加什么条件可使△AEC≌△DFB，首先梳理现有已知条件：已知∠A=∠D，AB=DC。首先根据线段和差关系，由AB=DC可推出AB+BC=DC+BC，即AC=DB，此时已经具备一组角相等、一组对应边相等的条件，结合全等三角形的判定定理（AAS、ASA、SAS等），补充对应缺少的条件即可：若用AAS判定，可添加∠E=∠F；若用ASA判定，可添加∠ACE=∠DBF；若用SAS判定，可添加AE=DF，任选其一即可。
【解析】
解：$\because AB=DC$，
$\therefore AB+BC=DC+BC$，即$AC=DB$，
已知$∠A=∠D$，若添加条件$∠E=∠F$，
在$△ AEC$和$△ DFB$中：
$\{\begin{array}{l}∠E=∠F \\∠A=∠D \\AC=DB\end{array} $
$\therefore △ AEC≌△ DFB(\mathrm{AAS})$。
（也可添加$AE=DF$用SAS判定、添加$∠ACE=∠DBF$用ASA判定，均符合要求）
【答案】
$∠E=∠F$（答案不唯一）
【知识点】
全等三角形的判定，线段的和差计算
【点评】
本题是全等三角形判定的开放型题目，解题的关键是先从已知条件推导出隐含的边相等关系，再结合全等判定定理补充缺失的条件，需要熟练掌握全等三角形的各类判定规则，避免添加不符合判定要求的条件。
【难度系数】
0.8

6. 如图1，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从点B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过点D作DE//AB，使E，C，A三点在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，请说明理由。还有其他测量A，B之间距离的方法吗？请把设计方案画在图2上，并说明理由。

6. 解：因为 $DE// AB$，
所以 $∠ A=∠ E$。
又因为$∠ ACB=∠ ECD$，$BC=CD$，
所以 $△ ABC≌△ EDC(\mathrm{AAS})$。
所以 $AB=DE$，即 $DE$ 的长就是 A，B 之间的距离。
其他方法如下(答案不唯一)：
如图，过点 $A$ 作 $AE⊥ BF$ 于点 $E$，在 $BF$ 上截取 $DE=BE$，过点 $D$ 作 $DC// AB$ 交 $AE$ 的延长线于点 $C$，则 $CD$ 的长就是 A，B 之间的距离。

理由如下：
由作图可知，$∠ AEB=∠ CED=90°$，
因为 $CD// AB$，所以 $∠ A=∠ C$。
又因为 $BE=DE$，
所以 $△ AEB≌△ CED(\mathrm{AAS})$。
所以 $AB=CD$，即 $CD$ 的长就是 A，B 之间的距离。

【分析】
第一问要说明DE的长等于A、B间的距离，本质是证明AB=DE：观察发现AB、DE分别在△ABC和△EDC中，因此只需证明两个三角形全等即可。已知DE//AB，可由平行线性质得到一组内错角相等，结合对顶角相等、题目给出的BC=CD，刚好满足AAS全等判定条件，证得全等后对应边相等即可得出结论。
第二问设计其他测量方案，核心思路是构造包含AB的全等三角形，将不可直接测量的AB转化为河岸同侧可测量的线段，可借助垂直、平行线等条件构造全等需要的等角、等边要素，只要符合全等判定规则即可。
【解析】
第一问理由：
因为 $DE// AB$，根据两直线平行，内错角相等，所以 $∠ A=∠ E$。
又因为$∠ ACB$和$∠ ECD$是对顶角，所以$∠ ACB=∠ ECD$，结合已知$BC=CD$，
在$△ ABC$和$△ EDC$中：
$\begin{cases}∠A=∠E \\∠ACB=∠ECD \\BC=CD\end{cases}$
所以 $△ ABC≌△ EDC(\mathrm{AAS})$。
根据全等三角形对应边相等，所以 $AB=DE$，即 $DE$ 的长就是A，B 之间的距离。
第二问测量方案及理由：
方案：过点 $A$ 作 $AE⊥ BF$ 于点 $E$，在 $BF$ 上截取 $DE=BE$，过点 $D$ 作 $DC// AB$ 交 $AE$ 的延长线于点 $C$，则 $CD$ 的长就是 A，B 之间的距离。

理由：
由作图可知，$∠ AEB=∠ CED=90°$，
因为 $CD// AB$，根据两直线平行，内错角相等，所以 $∠ A=∠ C$。
又因为 $BE=DE$，
在$△ AEB$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠A=∠C \\∠AEB=∠CED \\BE=DE\end{cases}$
所以 $△ AEB≌△ CED(\mathrm{AAS})$。
根据全等三角形对应边相等，所以 $AB=CD$，即 $CD$ 的长就是 A，B 之间的距离。
（注：方案不唯一，合理即可）
【答案】
6. 解：因为 $DE// AB$，
所以 $∠ A=∠ E$。
又因为$∠ ACB=∠ ECD$，$BC=CD$，
所以 $△ ABC≌△ EDC(\mathrm{AAS})$。
所以 $AB=DE$，即 $DE$ 的长就是 A，B 之间的距离。
其他方法如下(答案不唯一)：
如图，过点 $A$ 作 $AE⊥ BF$ 于点 $E$，在 $BF$ 上截取 $DE=BE$，过点 $D$ 作 $DC// AB$ 交 $AE$ 的延长线于点 $C$，则 $CD$ 的长就是 A，B 之间的距离。

理由如下：
由作图可知，$∠ AEB=∠ CED=90°$，
因为 $CD// AB$，所以 $∠ A=∠ C$。
又因为 $BE=DE$，
所以 $△ AEB≌△ CED(\mathrm{AAS})$。
所以 $AB=CD$，即 $CD$ 的长就是 A，B 之间的距离。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量场景中的典型应用，解题核心是通过构造全等三角形，将无法直接测量的跨河线段长度，转化为河岸侧可直接测量的线段长度。方案设计类问题答案不唯一，只要构造的三角形满足全等判定条件即可，能有效锻炼学生的知识迁移能力和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7