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8. 据统计，某新建图书馆对外开放的第一个月进馆600人次. 进馆人次逐月增加，到第三个月月末，这三个月累计进馆2 850人次，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为
600+600(1+x)+600(1+x)²=2 850
.答案
8. 600+600(1+x)+600(1+x)²=2 850
解析
【分析】
本题属于平均增长率类的列方程问题，解题思路可分为三步：首先明确第一个月的进馆人次已知为600；其次根据月平均增长率x，依次推导出第二个月、第三个月的进馆人次；最后根据“三个月累计进馆2850人次”的条件，将三个月的进馆人次相加等于总人次，即可列出方程。
【解析】
解：已知第一个月进馆600人次，进馆人次的月平均增长率为x：
1. 第二个月的进馆人次是第一个月的(1+x)倍，即 $600(1+x)$ 人次；
2. 第三个月的进馆人次是第二个月的(1+x)倍，即 $600(1+x) × (1+x) = 600(1+x)^2$ 人次；
3. 题干给出三个月累计进馆2850人次，即三个月进馆人次之和为2850，因此列方程为：
$600 + 600(1+x) + 600(1+x)^2 = 2850$
【答案】
$600+600(1+x)+600(1+x)^2=2850$
【知识点】
1. 平均增长率计算
2. 列一元二次方程
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题核心是准确根据增长率表示出各阶段的对应数量，需特别注意题干中“累计”的表述，避免误将第三个月的进馆人次当作总人次列方程。
【难度系数】
0.7
本题属于平均增长率类的列方程问题，解题思路可分为三步：首先明确第一个月的进馆人次已知为600；其次根据月平均增长率x，依次推导出第二个月、第三个月的进馆人次；最后根据“三个月累计进馆2850人次”的条件，将三个月的进馆人次相加等于总人次，即可列出方程。
【解析】
解：已知第一个月进馆600人次，进馆人次的月平均增长率为x：
1. 第二个月的进馆人次是第一个月的(1+x)倍，即 $600(1+x)$ 人次；
2. 第三个月的进馆人次是第二个月的(1+x)倍，即 $600(1+x) × (1+x) = 600(1+x)^2$ 人次；
3. 题干给出三个月累计进馆2850人次，即三个月进馆人次之和为2850，因此列方程为：
$600 + 600(1+x) + 600(1+x)^2 = 2850$
【答案】
$600+600(1+x)+600(1+x)^2=2850$
【知识点】
1. 平均增长率计算
2. 列一元二次方程
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题核心是准确根据增长率表示出各阶段的对应数量，需特别注意题干中“累计”的表述，避免误将第三个月的进馆人次当作总人次列方程。
【难度系数】
0.7
9. 如图25.3-2，在宽12 m、长20 m的矩形地面上修建同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分铺设草坪，并使草坪的面积为150 m². 若设道路的宽为x m，则可列方程为
图25.3-2
(12-x)(20-x)=150
.图25.3-2
答案
9. (12-x)(20-x)=150
解析
【分析】
遇到这种含不规则道路的面积问题，我们可以用平移法简化计算：首先明确平移前后草坪的总面积不发生改变，将分散的阴影道路分别平移到矩形场地的边缘，那么余下的草坪就会拼接成一个规则的矩形，只需要表示出这个新矩形的长和宽，再结合矩形面积公式就能列出方程。
【解析】
利用平移的性质，把图中竖向的阴影道路向右平移，横向的阴影道路向下平移，平移后草坪部分刚好组成一个完整的矩形：
1. 新矩形的长 = 原矩形的长 - 道路宽度，即$(20 - x)\ \mathrm{m}$；
2. 新矩形的宽 = 原矩形的宽 - 道路宽度，即$(12 - x)\ \mathrm{m}$；
已知草坪面积为$150\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$(12 - x)(20 - x) = 150$
【答案】
$(12-x)(20-x)=150$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平移的性质
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是面积类方程应用的典型题型，核心解题技巧是利用平移将不规则的草坪区域转化为规则矩形，避免了拆分计算阴影面积的复杂步骤，解题关键是明确平移前后草坪的总面积保持不变。
【难度系数】
0.7
遇到这种含不规则道路的面积问题，我们可以用平移法简化计算：首先明确平移前后草坪的总面积不发生改变，将分散的阴影道路分别平移到矩形场地的边缘，那么余下的草坪就会拼接成一个规则的矩形，只需要表示出这个新矩形的长和宽，再结合矩形面积公式就能列出方程。
【解析】
利用平移的性质，把图中竖向的阴影道路向右平移，横向的阴影道路向下平移，平移后草坪部分刚好组成一个完整的矩形：
1. 新矩形的长 = 原矩形的长 - 道路宽度，即$(20 - x)\ \mathrm{m}$；
2. 新矩形的宽 = 原矩形的宽 - 道路宽度，即$(12 - x)\ \mathrm{m}$；
已知草坪面积为$150\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积=长×宽，可列方程：
$(12 - x)(20 - x) = 150$
【答案】
$(12-x)(20-x)=150$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平移的性质
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是面积类方程应用的典型题型，核心解题技巧是利用平移将不规则的草坪区域转化为规则矩形，避免了拆分计算阴影面积的复杂步骤，解题关键是明确平移前后草坪的总面积保持不变。
【难度系数】
0.7
10. 用一条长 40 cm 的绳子围成一个矩形.
（1）若围成的矩形面积为 75 cm²，求这个矩形的长和宽.
（2）能围成一个面积为 101 cm² 的矩形吗？若能，求出它的长和宽. 若不能，请说明理由.
（1）若围成的矩形面积为 75 cm²，求这个矩形的长和宽.
（2）能围成一个面积为 101 cm² 的矩形吗？若能，求出它的长和宽. 若不能，请说明理由.
答案
（1） 设这个矩形的长为 x cm，则宽为(20−x)cm。
由围成的矩形面积为 75 cm²，得
x(20−x)=75。
解方程，得x₁=5，x₂=15。
当x=5时，20−x=15；
当x=15时，20−x=5。
∴这个矩形的长为 15 cm，宽为 5 cm。
（2） 不能围成一个面积为 101 cm² 的矩形。理由如下：
设矩形的长为 n cm，则宽为(20−n)cm。
由围成的矩形面积为 101 cm²，得
n(20−n)=101。
整理，得n²−20n+101=0。
∵Δ=b²−4ac=(−20)²−4×1×101=−4＜0，
∴n(20−n)=101 没有实数根。
∴不能围成一个面积为 101 cm² 的矩形。
由围成的矩形面积为 75 cm²，得
x(20−x)=75。
解方程，得x₁=5，x₂=15。
当x=5时，20−x=15；
当x=15时，20−x=5。
∴这个矩形的长为 15 cm，宽为 5 cm。
（2） 不能围成一个面积为 101 cm² 的矩形。理由如下：
设矩形的长为 n cm，则宽为(20−n)cm。
由围成的矩形面积为 101 cm²，得
n(20−n)=101。
整理，得n²−20n+101=0。
∵Δ=b²−4ac=(−20)²−4×1×101=−4＜0，
∴n(20−n)=101 没有实数根。
∴不能围成一个面积为 101 cm² 的矩形。
解析
【分析】
（1）已知绳子总长40cm即矩形周长为40cm，根据矩形周长公式可推出长+宽=20cm，设长为x cm，则宽可以表示为(20-x)cm，再结合矩形面积公式“面积=长×宽”，代入已知面积75cm²即可列出一元二次方程，求解后结合长大于宽的实际意义筛选结果即可得到长和宽。
（2）先假设能围成面积为101cm²的矩形，沿用第一问的思路列一元二次方程，再通过计算方程根的判别式Δ的取值判断方程是否有实数根，若Δ＜0说明方程无实根，即不存在符合条件的边长，不能围成对应矩形。
【解析】
（1）设这个矩形的长为x cm，则宽为(20−x)cm。
由围成的矩形面积为75 cm²，得
$x(20−x)=75$
整理得$x^2-20x+75=0$，解方程，得$x_1=5$，$x_2=15$。
因为矩形的长大于宽，所以$x=5$不符合题意，舍去。
当$x=15$时，$20−x=5$。
∴这个矩形的长为15 cm，宽为5 cm。
（2）不能围成一个面积为101 cm² 的矩形。理由如下：
设矩形的长为n cm，则宽为(20−n)cm。
由围成的矩形面积为101 cm²，得
$n(20−n)=101$
整理，得$n^2−20n+101=0$。
∵$\Delta=b^2−4ac=(-20)^2−4×1×101=−4＜0$，
∴该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的n值。
∴不能围成一个面积为101 cm² 的矩形。
【答案】
（1）长为15 cm，宽为5 cm；
（2）不能围成，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用；根的判别式；矩形周长与面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在几何图形问题中的典型应用，解题关键是利用周长公式表示出矩形相邻两边的长度，结合面积公式列方程，求解后要注意结合实际意义取舍根，第二问通过判别式判断方程解的存在性即可得到结论，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）已知绳子总长40cm即矩形周长为40cm，根据矩形周长公式可推出长+宽=20cm，设长为x cm，则宽可以表示为(20-x)cm，再结合矩形面积公式“面积=长×宽”，代入已知面积75cm²即可列出一元二次方程，求解后结合长大于宽的实际意义筛选结果即可得到长和宽。
（2）先假设能围成面积为101cm²的矩形，沿用第一问的思路列一元二次方程，再通过计算方程根的判别式Δ的取值判断方程是否有实数根，若Δ＜0说明方程无实根，即不存在符合条件的边长，不能围成对应矩形。
【解析】
（1）设这个矩形的长为x cm，则宽为(20−x)cm。
由围成的矩形面积为75 cm²，得
$x(20−x)=75$
整理得$x^2-20x+75=0$，解方程，得$x_1=5$，$x_2=15$。
因为矩形的长大于宽，所以$x=5$不符合题意，舍去。
当$x=15$时，$20−x=5$。
∴这个矩形的长为15 cm，宽为5 cm。
（2）不能围成一个面积为101 cm² 的矩形。理由如下：
设矩形的长为n cm，则宽为(20−n)cm。
由围成的矩形面积为101 cm²，得
$n(20−n)=101$
整理，得$n^2−20n+101=0$。
∵$\Delta=b^2−4ac=(-20)^2−4×1×101=−4＜0$，
∴该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的n值。
∴不能围成一个面积为101 cm² 的矩形。
【答案】
（1）长为15 cm，宽为5 cm；
（2）不能围成，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用；根的判别式；矩形周长与面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在几何图形问题中的典型应用，解题关键是利用周长公式表示出矩形相邻两边的长度，结合面积公式列方程，求解后要注意结合实际意义取舍根，第二问通过判别式判断方程解的存在性即可得到结论，侧重考查基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
