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4. 某品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3 200元降到了2 500元. 设平均每月降低的百分率为x，根据题意列出的方程是
$3\ 200(1-x)^2=2\ 500$
.答案
4. 3 200(1-x)²=2 500
解析
【分析】
这是一道平均降低率的实际应用题，解题思路如下：首先明确平均变化率问题的核心规律：每次价格调整都是在上一次调整后的价格基础上进行计算。第一步先算第一次降价后的价格：原价为3200元，每月降低百分率为x，因此第一次降价后价格为原价乘(1-x)；第二步算第二次降价后的价格：第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此第二次降价后价格为第一次降价后的价格再乘(1-x)，也就是原价乘(1-x)的平方；最后结合两次降价后售价为2500元，即可列出对应方程。
【解析】
解：已知手机原价为3200元，平均每月降低的百分率为x。
1. 第一次降价后的售价：$3200(1-x)$
2. 第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再次降低x，因此第二次降价后的售价为：$3200(1-x) × (1-x) = 3200(1-x)^2$
3. 已知两次降价后售价为2500元，因此可列方程：$3200(1-x)^2 = 2500$
【答案】
$3200(1-x)^2=2500$
【知识点】
降低率问题、列一元二次方程
【点评】
本题是平均变化率类的基础题型，解题关键是明确每次变化的基准量是上一次调整后的数值，熟记平均变化率的公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这是一道平均降低率的实际应用题，解题思路如下：首先明确平均变化率问题的核心规律：每次价格调整都是在上一次调整后的价格基础上进行计算。第一步先算第一次降价后的价格：原价为3200元，每月降低百分率为x，因此第一次降价后价格为原价乘(1-x)；第二步算第二次降价后的价格：第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降x，因此第二次降价后价格为第一次降价后的价格再乘(1-x)，也就是原价乘(1-x)的平方；最后结合两次降价后售价为2500元，即可列出对应方程。
【解析】
解：已知手机原价为3200元，平均每月降低的百分率为x。
1. 第一次降价后的售价：$3200(1-x)$
2. 第二次降价是在第一次降价后的售价基础上再次降低x，因此第二次降价后的售价为：$3200(1-x) × (1-x) = 3200(1-x)^2$
3. 已知两次降价后售价为2500元，因此可列方程：$3200(1-x)^2 = 2500$
【答案】
$3200(1-x)^2=2500$
【知识点】
降低率问题、列一元二次方程
【点评】
本题是平均变化率类的基础题型，解题关键是明确每次变化的基准量是上一次调整后的数值，熟记平均变化率的公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 某种植物的主干长出若干个支干，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241. 设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为
$1+x+x^2=241$
.答案
5. $1+x+x^2=241$
解析
【分析】
解决本题的核心是分层次梳理各部分的数量：首先明确主干只有1个；题目设每个支干长出x个小分支，说明主干长出的支干总数就是x个；每个支干再长出x个小分支，因此小分支的总数是支干数量乘每个支干长出的小分支数，即$x · x = x^2$个。最后根据三类结构的总数为241，将三者数量相加即可列出方程。
【解析】
1. 确定各部分数量：
主干的数量为1；
主干长出的支干总数量为$x$；
每个支干长出$x$个小分支，因此小分支的总数量为$x × x = x^2$。
2. 根据总数为241列方程：
将主干、支干、小分支的数量相加，可得$1 + x + x^2 = 241$。
【答案】
$1+x+x^2=241$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 列代数式
【点评】
本题是分支类列方程的基础题型，解题关键是清晰区分不同层级的数量，避免漏算主干或者重复计算分支数量，掌握对应数量关系后很容易求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是分层次梳理各部分的数量：首先明确主干只有1个；题目设每个支干长出x个小分支，说明主干长出的支干总数就是x个；每个支干再长出x个小分支，因此小分支的总数是支干数量乘每个支干长出的小分支数，即$x · x = x^2$个。最后根据三类结构的总数为241，将三者数量相加即可列出方程。
【解析】
1. 确定各部分数量：
主干的数量为1；
主干长出的支干总数量为$x$；
每个支干长出$x$个小分支，因此小分支的总数量为$x × x = x^2$。
2. 根据总数为241列方程：
将主干、支干、小分支的数量相加，可得$1 + x + x^2 = 241$。
【答案】
$1+x+x^2=241$
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 列代数式
【点评】
本题是分支类列方程的基础题型，解题关键是清晰区分不同层级的数量，避免漏算主干或者重复计算分支数量，掌握对应数量关系后很容易求解。
【难度系数】
0.8
6. 小华在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验. 之后的第一节化学实验课，他教会了同一个学习小组的x名同学做该实验. 第二节化学实验课，小华因家中有事请假，这x名会做该实验的同学每人又分别教会了x名同学做该实验，这样全班43名同学恰好都学会做该实验. 求x的值.
答案
6. 解：由题意，得 $1+x+x^2=43$.
解方程，得 $x_1=6$，$x_2=-7$（不合题意，舍去）. 因此，$x$ 的值为 6.
解方程，得 $x_1=6$，$x_2=-7$（不合题意，舍去）. 因此，$x$ 的值为 6.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要梳理清楚每一轮学会实验的人数变化：最开始只有小华1人会做实验；第一轮小华教会x名同学后，会做实验的总人数为$1+x$；第二轮已经会的x名同学每人再教会x人，这一轮新学会的人数为$x· x=x^2$，此时全班43名同学都学会，因此可以根据总人数相等列一元二次方程求解，最后还要结合人数为正的实际意义对根进行取舍。
【解析】
解：由题意得，最开始会做实验的人数为1人，第一轮新增$x$名会做实验的同学，第二轮新增$x^2$名会做实验的同学，总人数为43，可列方程：
$1+x+x^2=43$
整理得$x^2+x-42=0$，因式分解得$(x+7)(x-6)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=-7$。
因为人数不能为负数，所以$x_2=-7$不符合实际意义，舍去。
【答案】
$x$的值为6
【知识点】
一元二次方程的应用；解一元二次方程；实际问题根的检验
【点评】
本题属于传播类实际应用题，解题关键是准确梳理每一轮传播后的总人数关系，求解方程后要结合实际问题的取值要求检验根的合理性，舍去不符合实际的解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要梳理清楚每一轮学会实验的人数变化：最开始只有小华1人会做实验；第一轮小华教会x名同学后，会做实验的总人数为$1+x$；第二轮已经会的x名同学每人再教会x人，这一轮新学会的人数为$x· x=x^2$，此时全班43名同学都学会，因此可以根据总人数相等列一元二次方程求解，最后还要结合人数为正的实际意义对根进行取舍。
【解析】
解：由题意得，最开始会做实验的人数为1人，第一轮新增$x$名会做实验的同学，第二轮新增$x^2$名会做实验的同学，总人数为43，可列方程：
$1+x+x^2=43$
整理得$x^2+x-42=0$，因式分解得$(x+7)(x-6)=0$，
解得$x_1=6$，$x_2=-7$。
因为人数不能为负数，所以$x_2=-7$不符合实际意义，舍去。
【答案】
$x$的值为6
【知识点】
一元二次方程的应用；解一元二次方程；实际问题根的检验
【点评】
本题属于传播类实际应用题，解题关键是准确梳理每一轮传播后的总人数关系，求解方程后要结合实际问题的取值要求检验根的合理性，舍去不符合实际的解。
【难度系数】
0.8
7. 某公园园区在长为10 m、宽为8 m的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植月季花，并使种植月季花的总面积为63 m²，修建方案如图25.3-1所示，求道路的宽度。
图25.3-1
图25.3-1
答案
7. 解：设道路的宽度为 $x$ m.
由题意，得 $(10-x)(8-x)=63$.
整理，得 $x^2-18x+17=0$.
解方程，得 $x_1=1$，$x_2=17$.
$\because$ 当 $x=17$ 时，$8-17＜0$,
$\therefore x=17$ 不符合题意，舍去. $\therefore x=1$.
答：道路的宽度为 1 m.
由题意，得 $(10-x)(8-x)=63$.
整理，得 $x^2-18x+17=0$.
解方程，得 $x_1=1$，$x_2=17$.
$\because$ 当 $x=17$ 时，$8-17＜0$,
$\therefore x=17$ 不符合题意，舍去. $\therefore x=1$.
答：道路的宽度为 1 m.
解析
【分析】
遇到这类矩形中修建垂直道路求宽度的问题，可通过平移拼接的方法简化计算：将4块种植月季花的区域拼接成一个新的矩形，新矩形的长等于原矩形的长减去道路宽度，新矩形的宽等于原矩形的宽减去道路宽度，再根据种植面积列出一元二次方程求解，最后要检验解是否符合实际意义（道路宽度不能超过原矩形的长和宽）。
【解析】
解：设道路的宽度为 $x$ m.
由题意，得 $(10-x)(8-x)=63$.
整理，得 $x^2-18x+17=0$.
因式分解得 $(x-1)(x-17)=0$，
解方程，得 $x_1=1$，$x_2=17$.
$\because$ 当 $x=17$ 时，$8-17＜0$，不符合实际情况，
$\therefore x=17$ 不符合题意，舍去. $\therefore x=1$.
【答案】
道路的宽度为 1 m.
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，核心解题技巧是通过平移将分散的种植区域转化为规则矩形，降低列式难度，解题时要注意对一元二次方程的根进行实际意义检验，避免增根导致结果错误。
【难度系数】
0.7
遇到这类矩形中修建垂直道路求宽度的问题，可通过平移拼接的方法简化计算：将4块种植月季花的区域拼接成一个新的矩形，新矩形的长等于原矩形的长减去道路宽度，新矩形的宽等于原矩形的宽减去道路宽度，再根据种植面积列出一元二次方程求解，最后要检验解是否符合实际意义（道路宽度不能超过原矩形的长和宽）。
【解析】
解：设道路的宽度为 $x$ m.
由题意，得 $(10-x)(8-x)=63$.
整理，得 $x^2-18x+17=0$.
因式分解得 $(x-1)(x-17)=0$，
解方程，得 $x_1=1$，$x_2=17$.
$\because$ 当 $x=17$ 时，$8-17＜0$，不符合实际情况，
$\therefore x=17$ 不符合题意，舍去. $\therefore x=1$.
【答案】
道路的宽度为 1 m.
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，实际问题验根
【点评】
本题是典型的面积类实际应用题，核心解题技巧是通过平移将分散的种植区域转化为规则矩形，降低列式难度，解题时要注意对一元二次方程的根进行实际意义检验，避免增根导致结果错误。
【难度系数】
0.7
