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2.在平面直角坐标系中，将抛物线 $y = x^2 + bx + c$ 先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线 $y = x^2 - 2x + 1$。
(1)试确定 $b$ 和 $c$ 的值.
(2)设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 是抛物线 $y = x^2 - 2x + 1$ 上的两点，且 $0＜x_1＜1,x_2＞2$，试判断 $y_1$ 和 $y_2$ 的大小关系.
知识建构
(1)试确定 $b$ 和 $c$ 的值.
(2)设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 是抛物线 $y = x^2 - 2x + 1$ 上的两点，且 $0＜x_1＜1,x_2＞2$，试判断 $y_1$ 和 $y_2$ 的大小关系.
知识建构
答案
(1)$b=-6,c=6$.
(2)$y_2＞y_1$.
(2)$y_2＞y_1$.
解析
【分析】
(1) 本题已知平移后的抛物线解析式求原抛物线系数，可采用逆向平移思路：将平移后的抛物线按相反方向平移（先向下平移3个单位，再向右平移2个单位）得到原抛物线，展开后对比系数即可求出b、c的值；也可先将原抛物线配方，按平移规则写出平移后的解析式，和已知解析式对比系数求解。
(2) 比较抛物线上两点函数值大小，先将抛物线化为顶点式确定开口方向和对称轴，根据二次函数性质：开口向上时，点到对称轴距离越远，函数值越大，分别计算两点到对称轴的距离即可判断$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
(1) 先将平移后的抛物线整理为顶点式：
$y = x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$
根据平移的可逆性，将该抛物线先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，即可得到原抛物线$y=x^2+bx+c$：
① 向下平移3个单位：$y=(x-1)^2 -3$
② 向右平移2个单位（遵循“左加右减”规则，自变量$x$减2）：
$y=(x-1-2)^2 -3 = (x-3)^2 -3$
展开得：$y=x^2 -6x +9 -3 = x^2 -6x +6$
与原抛物线$y=x^2+bx+c$对比系数，可得$b=-6$，$c=6$。
(2) 抛物线$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$，开口向上，对称轴为直线$x=1$。
开口向上的抛物线中，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大：
已知$0＜x_1＜1$，则点A到对称轴$x=1$的距离为$1-x_1$，可得$0＜1-x_1＜1$；
已知$x_2＞2$，则点B到对称轴$x=1$的距离为$x_2 -1$，可得$x_2 -1 ＞ 2-1=1$。
因此点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，故$y_2＞y_1$。
【答案】
(1)$b=-6,c=6$；(2)$y_2＞y_1$
【知识点】
1.二次函数平移规律
2.二次函数顶点式
3.二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数基础应用题，第一问用逆向平移思路可简化计算，要注意“左加右减、上加下减”平移规则的正确使用；第二问通过开口方向和点到对称轴的距离比较函数值是二次函数性质的常见考法，熟练掌握顶点式的应用是解题关键。
【难度系数】
0.7
(1) 本题已知平移后的抛物线解析式求原抛物线系数，可采用逆向平移思路：将平移后的抛物线按相反方向平移（先向下平移3个单位，再向右平移2个单位）得到原抛物线，展开后对比系数即可求出b、c的值；也可先将原抛物线配方，按平移规则写出平移后的解析式，和已知解析式对比系数求解。
(2) 比较抛物线上两点函数值大小，先将抛物线化为顶点式确定开口方向和对称轴，根据二次函数性质：开口向上时，点到对称轴距离越远，函数值越大，分别计算两点到对称轴的距离即可判断$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
(1) 先将平移后的抛物线整理为顶点式：
$y = x^2 - 2x +1 = (x-1)^2$
根据平移的可逆性，将该抛物线先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，即可得到原抛物线$y=x^2+bx+c$：
① 向下平移3个单位：$y=(x-1)^2 -3$
② 向右平移2个单位（遵循“左加右减”规则，自变量$x$减2）：
$y=(x-1-2)^2 -3 = (x-3)^2 -3$
展开得：$y=x^2 -6x +9 -3 = x^2 -6x +6$
与原抛物线$y=x^2+bx+c$对比系数，可得$b=-6$，$c=6$。
(2) 抛物线$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$，开口向上，对称轴为直线$x=1$。
开口向上的抛物线中，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大：
已知$0＜x_1＜1$，则点A到对称轴$x=1$的距离为$1-x_1$，可得$0＜1-x_1＜1$；
已知$x_2＞2$，则点B到对称轴$x=1$的距离为$x_2 -1$，可得$x_2 -1 ＞ 2-1=1$。
因此点B到对称轴的距离大于点A到对称轴的距离，故$y_2＞y_1$。
【答案】
(1)$b=-6,c=6$；(2)$y_2＞y_1$
【知识点】
1.二次函数平移规律
2.二次函数顶点式
3.二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数基础应用题，第一问用逆向平移思路可简化计算，要注意“左加右减、上加下减”平移规则的正确使用；第二问通过开口方向和点到对称轴的距离比较函数值是二次函数性质的常见考法，熟练掌握顶点式的应用是解题关键。
【难度系数】
0.7
1.用配方法将二次函数$y=x^2 -4x -3$化成$y=a(x-h)^2 +k$的形式为（
A.$y=(x-2)^2 -7$
B.$y=(x-2)^2 -1$
C.$y=(x-2)^2 -3$
D.$y=(x-2)^2 -4$
A
）A.$y=(x-2)^2 -7$
B.$y=(x-2)^2 -1$
C.$y=(x-2)^2 -3$
D.$y=(x-2)^2 -4$
答案
A
解析
【分析】
要将二次函数一般式化成顶点式，核心是用配方法把含x的项凑成完全平方形式，解题思路如下：第一步先把式子中含x的二次项和一次项归为一组，本题二次项系数为1，无需额外提取系数；第二步计算一次项系数一半的平方，给归组的含x项补充这个常数凑完全平方，同时要减去同一个常数保证整个代数式的值不变；第三步将完全平方部分写成平方形式，合并剩余常数项即可得到顶点式。
【解析】
对二次函数$y=x^2 -4x -3$进行配方：
1. 先将含x的项组合：$y=(x^2 -4x) -3$
2. 一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\dfrac{-4}{2})^2=4$，给括号内加4同时整体减4保证值不变：
$y=(x^2 -4x +4) -4 -3$
3. 括号内化为完全平方形式，合并常数项：
$y=(x-2)^2 -7$
对比选项可知A符合结果。
【答案】
A
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，重点考查配方法的规范使用，解题时要注意凑完全平方时补充的常数要同步减去，避免出现只加不减导致代数式值变化的错误，熟练掌握配方法步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要将二次函数一般式化成顶点式，核心是用配方法把含x的项凑成完全平方形式，解题思路如下：第一步先把式子中含x的二次项和一次项归为一组，本题二次项系数为1，无需额外提取系数；第二步计算一次项系数一半的平方，给归组的含x项补充这个常数凑完全平方，同时要减去同一个常数保证整个代数式的值不变；第三步将完全平方部分写成平方形式，合并剩余常数项即可得到顶点式。
【解析】
对二次函数$y=x^2 -4x -3$进行配方：
1. 先将含x的项组合：$y=(x^2 -4x) -3$
2. 一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\dfrac{-4}{2})^2=4$，给括号内加4同时整体减4保证值不变：
$y=(x^2 -4x +4) -4 -3$
3. 括号内化为完全平方形式，合并常数项：
$y=(x-2)^2 -7$
对比选项可知A符合结果。
【答案】
A
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数相关的基础题型，重点考查配方法的规范使用，解题时要注意凑完全平方时补充的常数要同步减去，避免出现只加不减导致代数式值变化的错误，熟练掌握配方法步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.已知二次函数$y=x^2 - 2x - 3$，当自变量$x$满足$0≤ x≤4$时，$y$的取值范围是
$-4≤ y≤5$
。答案
$-4≤ y≤5$
解析
【分析】
要计算二次函数在指定区间内y的取值范围，可按以下思路推导：①首先判断二次函数的开口方向，明确函数增减性的规律；②求出函数的对称轴，确认对称轴是否落在给定区间$0≤x≤4$内；③结合开口方向可知，开口向上的二次函数在对称轴处取得最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较得到区间内的最大值，最终即可确定y的完整取值范围。
【解析】
对二次函数$y=x^2 - 2x - 3$，先将其配方得：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$
1. 判断开口方向：二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上。
2. 确定对称轴与顶点：函数的对称轴为$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$，且$1$在区间$0≤x≤4$内，因此当$x=1$时，$y$取得最小值$y_{\mathrm{min}}=-4$。
3. 计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=(0-1)^2-4=-3$；
当$x=4$时，$y=(4-1)^2-4=5$。
4. 比较得最大值：开口向上的二次函数在区间内离对称轴越远函数值越大，$x=4$离对称轴更远，因此$y$的最大值为$5$。
综上可得$y$的取值范围。
【答案】
$-4≤ y≤5$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值计算
【点评】
本题是二次函数取值范围的基础题型，解题关键是结合开口方向、对称轴位置判断最值的落点，不要直接代入区间端点计算，避免遗漏顶点处的最值。
【难度系数】
0.7
要计算二次函数在指定区间内y的取值范围，可按以下思路推导：①首先判断二次函数的开口方向，明确函数增减性的规律；②求出函数的对称轴，确认对称轴是否落在给定区间$0≤x≤4$内；③结合开口方向可知，开口向上的二次函数在对称轴处取得最小值，再计算区间两个端点的函数值，比较得到区间内的最大值，最终即可确定y的完整取值范围。
【解析】
对二次函数$y=x^2 - 2x - 3$，先将其配方得：
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$
1. 判断开口方向：二次项系数$a=1＞0$，因此函数图象开口向上。
2. 确定对称轴与顶点：函数的对称轴为$x=1$，顶点坐标为$(1,-4)$，且$1$在区间$0≤x≤4$内，因此当$x=1$时，$y$取得最小值$y_{\mathrm{min}}=-4$。
3. 计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=(0-1)^2-4=-3$；
当$x=4$时，$y=(4-1)^2-4=5$。
4. 比较得最大值：开口向上的二次函数在区间内离对称轴越远函数值越大，$x=4$离对称轴更远，因此$y$的最大值为$5$。
综上可得$y$的取值范围。
【答案】
$-4≤ y≤5$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数区间最值计算
【点评】
本题是二次函数取值范围的基础题型，解题关键是结合开口方向、对称轴位置判断最值的落点，不要直接代入区间端点计算，避免遗漏顶点处的最值。
【难度系数】
0.7
3.已知二次函数$y=ax^2 -4ax +3$（$a$为常数，且$a＞0$），当$1≤x≤4$时，函数的最大值与最小值的差为8，则$a$的值为
2
。答案
2
解析
【分析】
拿到这道题，首先要明确二次函数的最值由开口方向、对称轴和给定区间的位置共同决定，思考步骤如下：第一步，先利用对称轴公式求出该二次函数的对称轴；第二步，结合a＞0的条件判断抛物线开口向上，此时函数在对称轴处取最小值，在区间内离对称轴最远的端点处取最大值；第三步，分别代入对应x值求出最大值和最小值；第四步，根据“最大值与最小值的差为8”列方程求解a的值即可。
【解析】
解：对于二次函数$y=ax^2 -4ax +3$（$a＞0$）：
1. 求对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-4a$，得$x=\frac{4a}{2a}=2$；
2. 判断最值位置：因为$a＞0$，抛物线开口向上，所以函数在对称轴$x=2$处取得最小值；
区间$1≤x≤4$中，$x=1$到对称轴的距离为$|1-2|=1$，$x=4$到对称轴的距离为$|4-2|=2$，因此$x=4$处函数值最大；
3. 计算最值：
最小值：当$x=2$时，$y_{\mathrm{min}}=a×2^2 -4a×2 +3=-4a+3$；
最大值：当$x=4$时，$y_{\mathrm{max}}=a×4^2 -4a×4 +3=3$；
4. 列方程求解：由题意得$y_{\mathrm{max}} - y_{\mathrm{min}}=8$，代入得：
$3 - (-4a +3)=8$，化简得$4a=8$，解得$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数图象性质；二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，解题核心是结合开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值对应的自变量取值，掌握二次函数的增减性和最值规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
拿到这道题，首先要明确二次函数的最值由开口方向、对称轴和给定区间的位置共同决定，思考步骤如下：第一步，先利用对称轴公式求出该二次函数的对称轴；第二步，结合a＞0的条件判断抛物线开口向上，此时函数在对称轴处取最小值，在区间内离对称轴最远的端点处取最大值；第三步，分别代入对应x值求出最大值和最小值；第四步，根据“最大值与最小值的差为8”列方程求解a的值即可。
【解析】
解：对于二次函数$y=ax^2 -4ax +3$（$a＞0$）：
1. 求对称轴：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-4a$，得$x=\frac{4a}{2a}=2$；
2. 判断最值位置：因为$a＞0$，抛物线开口向上，所以函数在对称轴$x=2$处取得最小值；
区间$1≤x≤4$中，$x=1$到对称轴的距离为$|1-2|=1$，$x=4$到对称轴的距离为$|4-2|=2$，因此$x=4$处函数值最大；
3. 计算最值：
最小值：当$x=2$时，$y_{\mathrm{min}}=a×2^2 -4a×2 +3=-4a+3$；
最大值：当$x=4$时，$y_{\mathrm{max}}=a×4^2 -4a×4 +3=3$；
4. 列方程求解：由题意得$y_{\mathrm{max}} - y_{\mathrm{min}}=8$，代入得：
$3 - (-4a +3)=8$，化简得$4a=8$，解得$a=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数图象性质；二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用题型，解题核心是结合开口方向、对称轴与给定区间的位置关系判断最值对应的自变量取值，掌握二次函数的增减性和最值规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4.在平面直角坐标系内，二次函数的图象的顶点为A(3,-4)，且过点B(0,5).
(1)求该二次函数的解析式.
(2)当1＜x＜4时，求y的取值范围.
(3)将该二次函数的图象向左平移$ m(m＞0) $个单位长度后恰好经过坐标原点，求$ m $的值.
(1)求该二次函数的解析式.
(2)当1＜x＜4时，求y的取值范围.
(3)将该二次函数的图象向左平移$ m(m＞0) $个单位长度后恰好经过坐标原点，求$ m $的值.
答案
(1)$y=(x-3)^2-4$.
(2)$-4≤ y＜0$.
(3)$m=5$或$m=1$.
(2)$-4≤ y＜0$.
(3)$m=5$或$m=1$.
解析
【分析】
(1) 已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，再将已知点B的坐标代入求解参数a即可得到解析式。
(2) 先根据二次函数的开口方向和对称轴确定函数在1＜x＜4范围内的最值点，再计算区间端点处的函数值，结合区间的开闭情况确定y的取值范围。
(3) 根据二次函数平移“左加右减”的规律写出平移后的解析式，再将原点坐标代入求解m，结合m＞0的条件筛选结果即可。
【解析】
(1) 设二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，已知顶点为$A(3,-4)$，则$h=3$，$k=-4$，解析式可写为$y=a(x-3)^2-4$。
将点$B(0,5)$代入解析式得：$5=a(0-3)^2-4$，即$9a-4=5$，解得$a=1$。
因此该二次函数的解析式为$y=(x-3)^2-4$。
(2) 由解析式可知二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=3$。
当$x=3$时，$y$取得最小值$-4$，且$x=3$在$1＜x＜4$范围内，故$y≥-4$。
分别计算区间端点处的函数值：当$x=1$时，$y=(1-3)^2-4=0$；当$x=4$时，$y=(4-3)^2-4=-3$。
因为$1＜x＜4$，$x$取不到1，故$y＜0$。
综上，$y$的取值范围是$-4≤ y＜0$。
(3) 根据二次函数平移“左加右减”的规律，向左平移$m(m＞0)$个单位后的解析式为$y=(x-3+m)^2-4$。
因为平移后的图象过原点$(0,0)$，将其代入解析式得：$0=(0-3+m)^2-4$，即$(m-3)^2=4$。
开方得$m-3=\pm2$，解得$m=3+2=5$或$m=3-2=1$，两个解均满足$m＞0$。
因此$m$的值为1或5。
【答案】
(1)$y=(x-3)^2-4$
(2)$-4≤ y＜0$
(3)$m=5$或$m=1$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的性质；二次函数图象平移
【点评】
本题综合考查二次函数的基础应用，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式的用法、增减性规律和平移的“左加右减”原则，求解取值范围时要注意区间端点是否可取，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知二次函数的顶点坐标，优先选用顶点式设解析式，再将已知点B的坐标代入求解参数a即可得到解析式。
(2) 先根据二次函数的开口方向和对称轴确定函数在1＜x＜4范围内的最值点，再计算区间端点处的函数值，结合区间的开闭情况确定y的取值范围。
(3) 根据二次函数平移“左加右减”的规律写出平移后的解析式，再将原点坐标代入求解m，结合m＞0的条件筛选结果即可。
【解析】
(1) 设二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，已知顶点为$A(3,-4)$，则$h=3$，$k=-4$，解析式可写为$y=a(x-3)^2-4$。
将点$B(0,5)$代入解析式得：$5=a(0-3)^2-4$，即$9a-4=5$，解得$a=1$。
因此该二次函数的解析式为$y=(x-3)^2-4$。
(2) 由解析式可知二次项系数$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=3$。
当$x=3$时，$y$取得最小值$-4$，且$x=3$在$1＜x＜4$范围内，故$y≥-4$。
分别计算区间端点处的函数值：当$x=1$时，$y=(1-3)^2-4=0$；当$x=4$时，$y=(4-3)^2-4=-3$。
因为$1＜x＜4$，$x$取不到1，故$y＜0$。
综上，$y$的取值范围是$-4≤ y＜0$。
(3) 根据二次函数平移“左加右减”的规律，向左平移$m(m＞0)$个单位后的解析式为$y=(x-3+m)^2-4$。
因为平移后的图象过原点$(0,0)$，将其代入解析式得：$0=(0-3+m)^2-4$，即$(m-3)^2=4$。
开方得$m-3=\pm2$，解得$m=3+2=5$或$m=3-2=1$，两个解均满足$m＞0$。
因此$m$的值为1或5。
【答案】
(1)$y=(x-3)^2-4$
(2)$-4≤ y＜0$
(3)$m=5$或$m=1$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的性质；二次函数图象平移
【点评】
本题综合考查二次函数的基础应用，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点式的用法、增减性规律和平移的“左加右减”原则，求解取值范围时要注意区间端点是否可取，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
