例 关于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＜0)$，下列结论正确的是（）
A.图象位于第一、三象限
B.图象与坐标轴有交点
C.若图象经过点$(1,-2)$，则必经过点$(2,-1)$
D.图象上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，若$x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$
答案:C
方法点拨 (1)反比例函数的增减性必须强调“在每一象限内”，即当$x$增大时，$y$的大小变化规律既要考虑$k$的正负，也要考虑$x$的正负是否发生变化.
(2)反比例函数中，$k$的正负、图象的位置、函数的增减性，三者知一推二.

C

【分析】
解题时先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的核心性质，结合题目给出的$k＜0$的前提，逐一分析每个选项：先判断象限分布是否正确，再判断图象与坐标轴的交点情况，接着验证图象上点的坐标是否满足$k=xy$的特征，最后判断增减性时注意是否满足“在同一象限内”的前提，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A. 当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限，而非第一、三象限，故A错误；
B. 反比例函数中自变量$x≠0$，函数值$y≠0$，因此图象与x轴、y轴都没有交点，故B错误；
C. 若图象经过点$(1,-2)$，代入函数解析式得$k=1×(-2)=-2$，即函数为$y=\frac{-2}{x}$；当$x=2$时，$y=\frac{-2}{2}=-1$，因此点$(2,-1)$也在函数图象上，故C正确；
D. 反比例函数的增减性需强调“在每一象限内”：当$k＜0$时，仅在同一象限内$y$随$x$的增大而增大。若$x_1＜0＜x_2$，此时$y_1＞0$，$y_2＜0$，会出现$y_1＞y_2$的情况，不满足$y_1＜y_2$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，易错点是判断增减性时忽略“在同一象限内”的前提，同时要熟练掌握反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于$k$这一核心规律，可快速验证点是否在函数图象上。
【难度系数】
0.8

已知反比例函数$y=\frac{1-2m}{x}$（$m$为常数）的图象在第一、第三象限.
(1)求$m$的取值范围；
(2)如图，若该反比例函数的图象经过$□ ABOD$的顶点$D$，点$A,B$的坐标分别为$(0,3),(-2,0)$，求此函数的解析式；
(3)如果点$E(x_1,y_1),F(x_2,y_2)$都在该反比例函数的图象上，且$x_1＞x_2＞0$，那么$y_1$和$y_2$有怎样的大小关系？

(1)根据题意,得 1-2m＞0. 解得 $m＜\dfrac{1}{2}$.
(2)
∵ 四边形$ABOD$为平行四边形,点$B$的坐标为$(-2,0)$,
∴ $AD// OB,AD=OB=2$.
∵ 点$A$的坐标为$(0,3)$,
∴ 点$D$的坐标为$(2,3)$.
∵ 点$D(2,3)$在反比例函数$y=\dfrac{1-2m}{x}$的图象上,
∴ $1-2m=2× 3=6$.
∴ 此反比例函数的解析式为$y=\dfrac{6}{x}$.
(3)$y_1＜y_2$.

【分析】
(1) 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一、第三象限时，比例系数$k＞0$，本题中$k=1-2m$，据此列不等式即可求解$m$的取值范围。
(2) 求反比例函数解析式需先得到图象上点$D$的坐标：根据平行四边形对边平行且相等的性质，可得$AD$与$OB$平行且长度相等，结合$A$、$B$的坐标可推出$D$点坐标，再将$D$点坐标代入函数表达式求出$1-2m$的值，即可得到解析式。
(3) 当反比例函数$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，已知$x_1＞x_2＞0$说明$E$、$F$都在第一象限，结合增减性即可判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
(1) 解：
∵ 反比例函数$y=\frac{1-2m}{x}$的图象在第一、第三象限，
∴ $1-2m＞0$，
解得：$m＜\frac{1}{2}$。
(2) 解：
∵ 四边形$ABOD$是平行四边形，点$B$坐标为$(-2,0)$，
∴ $AD// OB$，且$AD=OB=2$，
∵ 点$A$坐标为$(0,3)$，$AD$平行于$x$轴，
∴ 点$D$的纵坐标为3，横坐标为$0+2=2$，即$D(2,3)$，
将$D(2,3)$代入$y=\frac{1-2m}{x}$，得：
$1-2m=2×3=6$，
∴ 此反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(3) 解：
∵ 反比例函数$y=\frac{6}{x}$中$k=6＞0$，
∴ 在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小，
又
∵ $x_1＞x_2＞0$，即$E$、$F$均在第一象限的图象上，
∴ $y_1＜y_2$。
【答案】
(1) $m＜\frac{1}{2}$
(2) $y=\frac{6}{x}$
(3) $y_1＜y_2$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；平行四边形的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数基础综合题，考查了反比例函数的象限分布、增减性、待定系数法求解析式，同时结合平行四边形性质求解点坐标，解题核心是熟练掌握反比例函数中$k$的相关性质，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8

1. 反比例函数 $y=-\dfrac{2}{x}$ 的图象必在 ()

A.第一、二象限
B.第二、三象限
C.第二、四象限
D.第一、三象限

1. C

【分析】
要判断反比例函数图象所在的象限，首先回忆反比例函数的图象分布规律：对于反比例函数$ y = \frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k ≠ 0 $），图象所在象限由$ k $的符号决定，$ k＞0 $时图象在第一、三象限，$ k＜0 $时图象在第二、四象限。解题时先确定给定函数的$ k $值，判断其符号，再对应规律即可得出结论。
【解析】
给定反比例函数为$ y = -\frac{2}{x} $，对照反比例函数的一般形式$ y = \frac{k}{x}(k ≠ 0) $，可得该函数的$ k = -2 $。
因为$ k = -2 ＜ 0 $，根据反比例函数的图象性质，当$ k＜0 $时，函数图象分布在第二、四象限。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数图象的分布规律，熟练掌握$ k $的符号与图象所在象限的对应关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9

2. 函数$y=\dfrac{1}{x}$的图象大致是 （）

2. D

【分析】
解题时可按以下步骤思考：第一步先识别函数类型，函数$y=\dfrac{1}{x}$符合反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，属于反比例函数，反比例函数的图象是双曲线，可先排除图象为直线的错误选项；第二步判断比例系数$k$的符号，本题中$k=1＞0$，根据反比例函数性质，$k＞0$时双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，据此即可匹配到正确选项。
【解析】
函数$y=\dfrac{1}{x}$是反比例函数，比例系数$k=1＞0$：
1. 反比例函数的图象为双曲线，因此先排除所有图象为直线的错误选项；
2. 根据反比例函数的图象性质：当$k＞0$时，双曲线的两个分支分别位于第一象限和第三象限，符合该特征的是选项D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查反比例函数图象的识别，只要牢记反比例函数的图象形状、$k$的符号与图象所在象限的对应关系，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9