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7.今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄比儿子的年龄的4倍还大1岁，设今年儿子x岁，则可列方程（
A.$4x + 1 + 5 = 3(x + 5)$
B.$3x - 5 = 4(x - 5) + 1$
C.$3x + 5 = 4(x + 5) + 1$
D.$4x - 5 = 3(x - 5) + 1$
B
）A.$4x + 1 + 5 = 3(x + 5)$
B.$3x - 5 = 4(x - 5) + 1$
C.$3x + 5 = 4(x + 5) + 1$
D.$4x - 5 = 3(x - 5) + 1$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先根据题干给出的设元，先表示出今年父亲的年龄，再分别推导5年前父子两人的年龄，最后抓住“5年前父亲的年龄比儿子的年龄的4倍还大1岁”这个等量关系列方程即可。具体思路：①已知今年儿子x岁，今年父亲年龄是儿子的3倍，可直接得到今年父亲的年龄；②年龄是同增同减的，5年前两人的年龄都比今年小5岁，分别写出两人5年前的年龄表达式；③根据5年前两人年龄的数量关系列出等式，对应选项即可。
【解析】
解：已知设今年儿子x岁。
第一步：表示今年父亲的年龄：今年父亲年龄是儿子的3倍，因此今年父亲年龄为3x岁。
第二步：表示5年前两人的年龄：
5年前儿子的年龄为$(x - 5)$岁，
5年前父亲的年龄为$(3x - 5)$岁。
第三步：根据等量关系列方程
题干条件“5年前父亲的年龄比儿子的年龄的4倍还大1岁”，即：
5年前父亲年龄 = 4×5年前儿子年龄 + 1
代入表达式得：$3x - 5 = 4(x - 5) + 1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程；年龄问题求解
【点评】
本题是一元一次方程应用中年龄问题的基础题型，解题核心是抓住年龄同增同减的特点，准确表示不同时间节点的对应年龄，再结合题干给出的等量关系列方程即可，解题时注意不要混淆不同时间点的年龄。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题干给出的设元，先表示出今年父亲的年龄，再分别推导5年前父子两人的年龄，最后抓住“5年前父亲的年龄比儿子的年龄的4倍还大1岁”这个等量关系列方程即可。具体思路：①已知今年儿子x岁，今年父亲年龄是儿子的3倍，可直接得到今年父亲的年龄；②年龄是同增同减的，5年前两人的年龄都比今年小5岁，分别写出两人5年前的年龄表达式；③根据5年前两人年龄的数量关系列出等式，对应选项即可。
【解析】
解：已知设今年儿子x岁。
第一步：表示今年父亲的年龄：今年父亲年龄是儿子的3倍，因此今年父亲年龄为3x岁。
第二步：表示5年前两人的年龄：
5年前儿子的年龄为$(x - 5)$岁，
5年前父亲的年龄为$(3x - 5)$岁。
第三步：根据等量关系列方程
题干条件“5年前父亲的年龄比儿子的年龄的4倍还大1岁”，即：
5年前父亲年龄 = 4×5年前儿子年龄 + 1
代入表达式得：$3x - 5 = 4(x - 5) + 1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列一元一次方程；年龄问题求解
【点评】
本题是一元一次方程应用中年龄问题的基础题型，解题核心是抓住年龄同增同减的特点，准确表示不同时间节点的对应年龄，再结合题干给出的等量关系列方程即可，解题时注意不要混淆不同时间点的年龄。
【难度系数】
0.8
8.小红一家假期外出旅游5天，已知这5天的日期之和为40，则他们出发的日期是（
A.5号
B.6号
C.7号
D.8号
B
）A.5号
B.6号
C.7号
D.8号
答案
8. B
解析
【分析】
本题是一元一次方程在日期场景的应用题，解题关键是明确连续5天的日期依次相差1。首先设出发日期为未知数，依次表示出剩余4天的日期，再根据“5天日期之和为40”的等量关系列方程，最后解方程即可得到出发日期。
【解析】
设他们出发的日期是$ x $号，则其余4天的日期依次为$ (x+1) $号、$ (x+2) $号、$ (x+3) $号、$ (x+4) $号。
根据题意列方程：
$ x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) = 40 $
合并同类项得：$ 5x + 10 = 40 $
移项计算得：$ 5x = 30 $
系数化为1得：$ x = 6 $
即出发日期为6号。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；日期问题计算
【点评】
本题属于生活类基础应用题，核心是抓住连续日期相差1的特点设未知数，结合日期和的条件建立等量关系列方程求解，掌握方法后可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次方程在日期场景的应用题，解题关键是明确连续5天的日期依次相差1。首先设出发日期为未知数，依次表示出剩余4天的日期，再根据“5天日期之和为40”的等量关系列方程，最后解方程即可得到出发日期。
【解析】
设他们出发的日期是$ x $号，则其余4天的日期依次为$ (x+1) $号、$ (x+2) $号、$ (x+3) $号、$ (x+4) $号。
根据题意列方程：
$ x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) = 40 $
合并同类项得：$ 5x + 10 = 40 $
移项计算得：$ 5x = 30 $
系数化为1得：$ x = 6 $
即出发日期为6号。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；日期问题计算
【点评】
本题属于生活类基础应用题，核心是抓住连续日期相差1的特点设未知数，结合日期和的条件建立等量关系列方程求解，掌握方法后可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9.某工厂原计划用26天生产一批零件,工作2天后,因改进了操作方法,每天比原计划多生产5个零件,结果提前了4天完成任务。原来每天生产多少个零件?这批零件共有多少个?
答案
9. 每天生产25个 共650个零件
解析
【分析】
这是一道典型的一元一次方程工程类应用题，解题核心是抓住“零件总数量不变”这一等量关系。首先我们设原来每天生产的零件数为未知数，分别表示出原计划的总零件数、实际生产的总零件数即可：实际生产分为两部分，前2天按原效率生产，剩余天数按改进后的效率生产，改进后生产的天数可通过原计划天数减去已生产天数、再减去提前的天数得到，最后根据总零件数相等列方程求解即可。
【解析】
解：设原来每天生产$x$个零件。
根据零件总数量不变列方程：
$2x + (26 - 2 - 4)(x + 5) = 26x$
化简得：
$2x + 20(x + 5) = 26x$
展开括号：
$2x + 20x + 100 = 26x$
移项合并同类项：
$4x = 100$
解得：$x = 25$
这批零件总数量为：$26 × 25 = 650$（个）
【答案】
原来每天生产25个零件，这批零件共有650个。
【知识点】
一元一次方程应用；工程问题；总量相等关系
【点评】
本题主要考察利用等量关系列方程解决实际问题的能力，解题关键是准确找到不变量（总零件数），同时要正确计算改进操作方法后的实际生产天数，避免天数计算错误导致解题失误。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的一元一次方程工程类应用题，解题核心是抓住“零件总数量不变”这一等量关系。首先我们设原来每天生产的零件数为未知数，分别表示出原计划的总零件数、实际生产的总零件数即可：实际生产分为两部分，前2天按原效率生产，剩余天数按改进后的效率生产，改进后生产的天数可通过原计划天数减去已生产天数、再减去提前的天数得到，最后根据总零件数相等列方程求解即可。
【解析】
解：设原来每天生产$x$个零件。
根据零件总数量不变列方程：
$2x + (26 - 2 - 4)(x + 5) = 26x$
化简得：
$2x + 20(x + 5) = 26x$
展开括号：
$2x + 20x + 100 = 26x$
移项合并同类项：
$4x = 100$
解得：$x = 25$
这批零件总数量为：$26 × 25 = 650$（个）
【答案】
原来每天生产25个零件，这批零件共有650个。
【知识点】
一元一次方程应用；工程问题；总量相等关系
【点评】
本题主要考察利用等量关系列方程解决实际问题的能力，解题关键是准确找到不变量（总零件数），同时要正确计算改进操作方法后的实际生产天数，避免天数计算错误导致解题失误。
【难度系数】
0.7
10.如图的数阵是由50个偶数排成的，若在数阵中任意作一个类似于图中的框。
(1)若框出的四个数的和是172，请求出这四个数。
(2)框出的四个数的和能否为322？若能，请求出这四个数；若不能，说明理由。
92 94 96 98 100
(1)若框出的四个数的和是172，请求出这四个数。
(2)框出的四个数的和能否为322？若能，请求出这四个数；若不能，说明理由。
92 94 96 98 100
答案
10. (1)36,38,48,50 (2)不能
解析
【分析】
首先观察数阵规律：数阵由连续偶数组成，每行有5个数，同一行相邻两个数相差2，上下两行同列的数相差10；观察框内四个数的关系可得：右上角数比左上角数大2，左下角数比左上角数大12，右下角数比左上角数大14。解题时先设左上角的数为x，将四个数用含x的代数式表示，再根据四个数的和列一元一次方程求解，最后验证解是否符合数阵的实际要求即可。
【解析】
(1) 设框中左上角的数为$ x $，则其余三个数分别为$ x+2 $，$ x+12 $，$ x+14 $。
根据四个数的和是172，列方程：
$ x + (x+2) + (x+12) + (x+14) = 172 $
合并同类项得：$ 4x + 28 = 172 $
移项计算得：$ 4x = 144 $
解得：$ x = 36 $
则四个数分别为：$ x=36 $，$ x+2=38 $，$ x+12=48 $，$ x+14=50 $，经验证符合数阵位置要求。
(2) 假设框出的四个数的和能为322，列方程：
$ 4x + 28 = 322 $
移项计算得：$ 4x = 294 $
解得：$ x = 73.5 $
由于数阵中的数都是偶数（整数），$ 73.5 $不是整数，不符合数阵的数字特征，因此框出的四个数的和不能为322。
【答案】
(1) 36，38，48，50；(2) 不能
【知识点】
一元一次方程的应用；数字规律探究；一元一次方程求解
【点评】
本题结合数阵规律考查一元一次方程的实际应用，解题的核心是准确找到框内四个数的数量关系，列方程求解后要注意验证解是否符合数阵的实际特点，避免出现不符合规律的解。
【难度系数】
0.7
首先观察数阵规律：数阵由连续偶数组成，每行有5个数，同一行相邻两个数相差2，上下两行同列的数相差10；观察框内四个数的关系可得：右上角数比左上角数大2，左下角数比左上角数大12，右下角数比左上角数大14。解题时先设左上角的数为x，将四个数用含x的代数式表示，再根据四个数的和列一元一次方程求解，最后验证解是否符合数阵的实际要求即可。
【解析】
(1) 设框中左上角的数为$ x $，则其余三个数分别为$ x+2 $，$ x+12 $，$ x+14 $。
根据四个数的和是172，列方程：
$ x + (x+2) + (x+12) + (x+14) = 172 $
合并同类项得：$ 4x + 28 = 172 $
移项计算得：$ 4x = 144 $
解得：$ x = 36 $
则四个数分别为：$ x=36 $，$ x+2=38 $，$ x+12=48 $，$ x+14=50 $，经验证符合数阵位置要求。
(2) 假设框出的四个数的和能为322，列方程：
$ 4x + 28 = 322 $
移项计算得：$ 4x = 294 $
解得：$ x = 73.5 $
由于数阵中的数都是偶数（整数），$ 73.5 $不是整数，不符合数阵的数字特征，因此框出的四个数的和不能为322。
【答案】
(1) 36，38，48，50；(2) 不能
【知识点】
一元一次方程的应用；数字规律探究；一元一次方程求解
【点评】
本题结合数阵规律考查一元一次方程的实际应用，解题的核心是准确找到框内四个数的数量关系，列方程求解后要注意验证解是否符合数阵的实际特点，避免出现不符合规律的解。
【难度系数】
0.7
11. 按下面的程序计算：
若最后输出的结果为22，则开始输入的正整数x的值为
12. 某市近期公布的居民用天然气阶梯价格听证会方案如下：
例：若某户2024年使用天然气400立方米，按该方案计算，则需缴纳天然气费为：$2.5×360 + 2.8×(400 - 360) = 1012$(元)；依此方案请回答：
(1)若小明家2024年使用天然气450立方米，则需缴纳天然气费为
(2)依此方案计算，若王先生家2024年实际缴纳天然气费2622元，求该户2024年使用天然气多少立方米？
若最后输出的结果为22，则开始输入的正整数x的值为
2或7
。12. 某市近期公布的居民用天然气阶梯价格听证会方案如下：
例：若某户2024年使用天然气400立方米，按该方案计算，则需缴纳天然气费为：$2.5×360 + 2.8×(400 - 360) = 1012$(元)；依此方案请回答：
(1)若小明家2024年使用天然气450立方米，则需缴纳天然气费为
1152
元(直接写出结果)；(2)依此方案计算，若王先生家2024年实际缴纳天然气费2622元，求该户2024年使用天然气多少立方米？
答案
11. 2或7 12. (1)1152 (2)900立方米
解析
【分析】
第11题
本题是程序运算类问题，采用逆推思路求解：从输出结果22倒推输入值，分情况讨论运算次数，直到计算出的x不是正整数即可停止推导，注意不要漏解。
第12题
本题属于阶梯收费类应用题：
(1) 先判断450立方米对应的收费档位，按不同档位的单价分别计算费用后求和即可；
(2) 先计算各档位满额时的最高缴费金额，判断2622元对应的用气量档位，再根据总费用的等量关系列一元一次方程求解。
【解析】
第11题
设程序的运算规则为：输入x后计算$3x+1$，若结果大于10则输出，否则将结果返回重新计算。
1. 若运算1次就输出22：
$3x+1=22$，解得$x=7$，是正整数，符合要求；
2. 若运算2次才输出22：即第一次运算结果为7，
$3x+1=7$，解得$x=2$，是正整数，符合要求；
3. 若运算3次才输出22：即第一次运算结果为2，
$3x+1=2$，解得$x=\frac{1}{3}$，不是正整数，舍去。
综上，x的值为2或7。
---
第12题
根据题意可知天然气收费规则：年用气量≤360立方米，单价2.5元/立方米；360立方米＜年用气量≤600立方米，超出360的部分单价2.8元/立方米；年用气量＞600立方米，超出600的部分单价3.5元/立方米。
(1)
450立方米属于第二档收费区间，总费用为：
$360×2.5 + (450-360)×2.8=900+252=1152$（元）
(2)
先计算各档位满额缴费金额：
第一档满额（360立方米）缴费：$360×2.5=900$元
第二档满额（600立方米）缴费：$900+(600-360)×2.8=1572$元
因为$2622＞1572$，所以王先生家年用气量超过600立方米，设用气量为x立方米，列方程：
$1572 + 3.5(x-600)=2622$
解得：
$3.5(x-600)=1050$
$x-600=300$
$x=900$
【答案】
11. $\boxed{2或7}$
12. (1) $\boxed{1152}$；(2) $\boxed{900}$立方米
【知识点】
逆推法应用，阶梯收费问题，一元一次方程的应用
【点评】
两道题都考查数学建模能力，第11题需要注意多解情况，避免遗漏仅运算一次的情况；第12题需要先准确判断收费档位再计算，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
第11题
本题是程序运算类问题，采用逆推思路求解：从输出结果22倒推输入值，分情况讨论运算次数，直到计算出的x不是正整数即可停止推导，注意不要漏解。
第12题
本题属于阶梯收费类应用题：
(1) 先判断450立方米对应的收费档位，按不同档位的单价分别计算费用后求和即可；
(2) 先计算各档位满额时的最高缴费金额，判断2622元对应的用气量档位，再根据总费用的等量关系列一元一次方程求解。
【解析】
第11题
设程序的运算规则为：输入x后计算$3x+1$，若结果大于10则输出，否则将结果返回重新计算。
1. 若运算1次就输出22：
$3x+1=22$，解得$x=7$，是正整数，符合要求；
2. 若运算2次才输出22：即第一次运算结果为7，
$3x+1=7$，解得$x=2$，是正整数，符合要求；
3. 若运算3次才输出22：即第一次运算结果为2，
$3x+1=2$，解得$x=\frac{1}{3}$，不是正整数，舍去。
综上，x的值为2或7。
---
第12题
根据题意可知天然气收费规则：年用气量≤360立方米，单价2.5元/立方米；360立方米＜年用气量≤600立方米，超出360的部分单价2.8元/立方米；年用气量＞600立方米，超出600的部分单价3.5元/立方米。
(1)
450立方米属于第二档收费区间，总费用为：
$360×2.5 + (450-360)×2.8=900+252=1152$（元）
(2)
先计算各档位满额缴费金额：
第一档满额（360立方米）缴费：$360×2.5=900$元
第二档满额（600立方米）缴费：$900+(600-360)×2.8=1572$元
因为$2622＞1572$，所以王先生家年用气量超过600立方米，设用气量为x立方米，列方程：
$1572 + 3.5(x-600)=2622$
解得：
$3.5(x-600)=1050$
$x-600=300$
$x=900$
【答案】
11. $\boxed{2或7}$
12. (1) $\boxed{1152}$；(2) $\boxed{900}$立方米
【知识点】
逆推法应用，阶梯收费问题，一元一次方程的应用
【点评】
两道题都考查数学建模能力，第11题需要注意多解情况，避免遗漏仅运算一次的情况；第12题需要先准确判断收费档位再计算，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
