1.如图，C是AB的中点，AD//CE，AD=CE，求证:CD//BE.

证明：
∵ C是AB的中点，
∴ AC = CB。
∵ AD // CE，
∴ ∠A = ∠BCE。
在△ACD和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}AD = CE \\∠A = ∠BCE \\AC = CB\end{array} $
∴ △ACD ≌ △CBE（SAS）。
∴ ∠ACD = ∠B。
∴ CD // BE（同位角相等，两直线平行）。

【分析】
要证明$CD// BE$，可根据平行线的判定定理，先证明同位角相等（即$∠ ACD=∠ B$）。结合已知条件分析：首先由$C$是$AB$中点可得$AC=CB$；再由$AD// CE$可推出同位角$∠ A=∠ BCE$；加上已知$AD=CE$，刚好满足全等三角形的SAS判定条件，可证$△ ACD≌△ CBE$，再利用全等三角形对应角相等即可得到$∠ ACD=∠ B$，最终推出$CD// BE$。
【解析】
证明：
∵ $C$是$AB$的中点，
∴ $AC = CB$。
∵ $AD // CE$，
∴ $∠ A = ∠ BCE$（两直线平行，同位角相等）。
在$△ ACD$和$△ CBE$中，
$\begin{cases}AD = CE \\∠ A = ∠ BCE \\AC = CB\end{cases}$
∴ $△ ACD ≌ △ CBE$（SAS）。
∴ $∠ ACD = ∠ B$（全等三角形的对应角相等）。
∴ $CD // BE$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
证明：
∵ C是AB的中点，
∴ AC = CB。
∵ AD // CE，
∴ ∠A = ∠BCE。
在△ACD和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}AD = CE \\∠A = ∠BCE \\AC = CB\end{array} $
∴ △ACD ≌ △CBE（SAS）。
∴ ∠ACD = ∠B。
∴ CD // BE（同位角相等，两直线平行）。
【知识点】
中点的定义；平行线的性质与判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将全等三角形和平行线的知识点结合考察，解题关键是先利用已知条件推导三角形全等，再通过全等的性质得到角的等量关系，最终完成平行线的判定，能很好地检验学生对基础几何定理的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.85

2. [2026 马鞍山期中]如图，已知$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，求证：$BE=DE$.

证明：
在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2,\\AC=AC,\\∠3=∠4,\end{array} $
∴$△ ABC≌△ ADC(\mathrm{ASA})$，
∴$BC=DC$。
在$△ BCE$和$△ DCE$中，
$\{\begin{array}{l}BC=DC,\\∠3=∠4,\\CE=CE,\end{array} $
∴$△ BCE≌△ DCE(\mathrm{SAS})$，
∴$BE=DE$。

【分析】
要证明$BE=DE$，可通过证明$BE$、$DE$所在的$△ BCE$和$△ DCE$全等来实现。观察已知条件，已有$∠ 3=∠ 4$和公共边$CE=CE$，缺少$BC=DC$这一条件。因此先利用$∠ 1=∠ 2$、$∠ 3=∠ 4$以及公共边$AC=AC$，通过ASA判定$△ ABC≌△ ADC$得到$BC=DC$，再以此为条件证明$△ BCE≌△ DCE$，即可推出$BE=DE$。
【解析】
证明：
在$△ ABC$和$△ ADC$中，
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2,\\AC=AC,\\∠3=∠4,\end{array} $
∴$△ ABC≌△ ADC(\mathrm{ASA})$，
∴$BC=DC$。
在$△ BCE$和$△ DCE$中，
$\{\begin{array}{l}BC=DC,\\∠3=∠4,\\CE=CE,\end{array} $
∴$△ BCE≌△ DCE(\mathrm{SAS})$，
∴$BE=DE$。
【答案】
已证得$BE=DE$，证明过程如上。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题是典型的通过两次全等证明线段相等的题型，解题时可从待证结论倒推所需条件，结合已知和图形中的公共边等隐含条件梳理证明逻辑，难度较低，是全等三角形的基础应用题目。
【难度系数】
0.75

3.如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC$,直线$MN$经过点$C$,且$AD⊥ MN$于点$D$,$BE⊥ MN$于点$E$.

(1)①当直线$MN$绕点$C$旋转到图①的位置时,求证:$DE=AD+BE$;
②当直线$MN$绕点$C$旋转到图②的位置时,直接写出线段$DE$,$AD$,$BE$的数量关系:.
(2)如图③,将条件改为:在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$,$A$,$E$三点都在直线$m$上,且有$∠ BDA=∠ AEC=∠ BAC=α$,其中$90°＜α＜180°$,请直接写出线段$DE$,$BD$,$CE$存在的数量关系:.

3.(1)①证明：略. ②$DE=AD-BE$ (2)$DE=BD+CE$

【分析】
本题考查全等三角形在一线三等角模型中的应用，解题思路如下：
(1)①图①中，已知∠ACB=90°，AD、BE都垂直于MN，可利用同角的余角相等推出一组角相等，结合AC=BC、两个直角相等，证明△ADC≌△CEB，得到对应边相等，再结合DE=DC+CE即可推导线段关系；
②图②中，同理先证△ADC≌△CEB，得到对应边AD=CE、CD=BE，此时DE=CE-CD，代入即可得到数量关系；
(2)图③中，利用∠BDA=∠BAC=α，可通过三角形内角和推出∠DBA=∠CAE，结合AB=AC、∠BDA=∠AEC证明△ADB≌△CEA，得到对应边相等，再结合DE=AD+AE推导即可。
【解析】
(1)①证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB
在△ADC和△CEB中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADC=∠ CEB\\ ∠ DAC=∠ ECB\\ AC=CB\end{array} $
∴△ADC≌△CEB（AAS）
∴AD=CE，DC=BE
∵DE=DC+CE
∴DE=AD+BE
②解：同①可证△ADC≌△CEB，得AD=CE，CD=BE
∵DE=CE-CD
∴DE=AD-BE
(2)解：
∵∠BDA=∠BAC=α
∴∠DBA+∠BAD=180°-α，∠BAD+∠CAE=180°-α
∴∠DBA=∠CAE
在△ADB和△CEA中：
$\{\begin{array}{l}∠ BDA=∠ AEC\\ ∠ DBA=∠ EAC\\ AB=AC\end{array} $
∴△ADB≌△CEA（AAS）
∴BD=AE，AD=CE
∵DE=AD+AE
∴DE=BD+CE
【答案】
(1)①证明见解析；②$\boldsymbol{DE=AD-BE}$
(2)$\boldsymbol{DE=BD+CE}$
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，一线三等角模型
【点评】
本题是全等三角形的典型应用题型，重点考察一线三等角全等模型的灵活运用，需要通过角的和差关系推导等角，进而证明全等得到对应边相等，解题时要注意直线位置变化时线段和差关系的区别。
【难度系数】
0.7