7.如图，$BD=CF$，$FD⊥ BC$于点$D$，$DE⊥ AB$于点$E$，$BE=CD$，若$∠ AFD=134°$，则$∠ EDF$的度数为（）

A.$44°$
B.$36°$
C.$46°$
D.$34°$
（第7题）

7.A

【分析】
首先观察已知条件，FD⊥BC、DE⊥AB，可得△BDE和△CFD均为直角三角形；题目给出BD=CF、BE=CD，符合HL判定直角三角形全等的条件，可先证两个直角三角形全等得到对应角相等；再结合∠AFD的度数求出∠CFD的度数，最后利用直角的关系即可计算出∠EDF的度数。
【解析】
∵ $FD⊥ BC$，$DE⊥ AB$
∴ $∠ DEB=∠ FDC=∠ FDB=90°$，即$△ BDE$和$△ CFD$都是直角三角形
在$Rt△ BDE$和$Rt△ CFD$中：
$\begin{cases} BD=CF \\ BE=CD \end{cases}$
∴ $Rt△ BDE≌ Rt△ CFD$（HL），得$∠ BDE=∠ CFD$
∵ $∠ AFD=134°$，且$∠ AFD+∠ CFD=180°$
∴ $∠ CFD=180°-134°=46°$，即$∠ BDE=46°$
又
∵ $∠ BDE+∠ EDF=∠ FDB=90°$
∴ $∠ EDF=90°-46°=44°$
【答案】
A
【知识点】
HL判定三角形全等，全等三角形的性质，角度计算
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题，解题核心是通过HL证明直角三角形全等得到对应角相等，再结合角度的和差关系求解，对全等判定的应用能力有一定考查。
【难度系数】
0.7

8. 分类讨论思想 如图，$∠ C=90°$，$AC=10$，$BC=5$，$AX⊥ AC$，点$P$和点$Q$从点$A$出发，分别在线段$AC$和射线$AX$上运动，且$AB=PQ$，当点$P$运动到$AP=$时，$△ ABC$与$△ APQ$全等。

8.5或10

【分析】
本题是直角三角形全等的判定问题，首先可证△ABC和△APQ均为直角三角形，已知斜边AB=PQ，根据HL判定定理，只需一组直角边对应相等即可判定两三角形全等，需分两种情况讨论对应边：①AP与BC对应相等；②AP与AC对应相等，分别计算AP的长度即可。
【解析】
解：
∵∠C=90°，AX⊥AC，
∴∠C=∠PAQ=90°，即△ABC和△APQ都是直角三角形。
已知AB=PQ，分两种情况讨论：
1. 当AP=BC=5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
$\{\begin{array}{l}AB=PQ\\ BC=AP\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
2. 当AP=AC=10时，
在Rt△ABC和Rt△PQA中，
$\{\begin{array}{l}AB=PQ\\ AC=AP\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）。
综上，当AP为5或10时，△ABC与△APQ全等。
【答案】
5或10
【知识点】
HL判定直角三角形全等；分类讨论思想；全等三角形的性质
【点评】
本题解题的关键是明确直角三角形HL判定的条件，注意分类讨论两个直角三角形直角边的对应关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6

9. [2026合肥期末]如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,CF=AE,BC=DA.求证:Rt△ABE≌Rt△CDF.

证明：
∵ ∠ABC=∠ADC=90°，
∴ Rt△ABC和Rt△CDA都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
$\{\begin{array}{l} BC=DA \\ AC=CA \end{array} $
∴ Rt△ABC≌Rt△CDA(HL)，
∴ AB=CD。
∵ BE⊥AC，DF⊥AC，
∴ ∠AEB=∠CFD=90°，
∴ △ABE和△CDF都是直角三角形。
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} AB=CD \\ AE=CF \end{array} $
∴ Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)。

【分析】
要证明Rt△ABE≌Rt△CDF，已知二者均为直角三角形，且给出了AE=CF，还缺少一组对应边相等的条件。首先结合已知∠ABC=∠ADC=90°、BC=DA，以及公共边AC=CA，可先通过HL证明Rt△ABC≌Rt△CDA，得到AB=CD，此时Rt△ABE和Rt△CDF满足斜边和一条直角边对应相等，即可用HL完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠ABC=∠ADC=90°，
∴ Rt△ABC和Rt△CDA都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
$\{\begin{array}{l} BC=DA \\ AC=CA \end{array} $
∴ Rt△ABC≌Rt△CDA(HL)，
∴ AB=CD。
∵ BE⊥AC，DF⊥AC，
∴ ∠AEB=∠CFD=90°，
∴ △ABE和△CDF都是直角三角形。
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} AB=CD \\ AE=CF \end{array} $
∴ Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)。
【答案】
∵ ∠ABC=∠ADC=90°，
∴ Rt△ABC和Rt△CDA都是直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
$\{\begin{array}{l} BC=DA \\ AC=CA \end{array} $
∴ Rt△ABC≌Rt△CDA(HL)，
∴ AB=CD。
∵ BE⊥AC，DF⊥AC，
∴ ∠AEB=∠CFD=90°，
∴ △ABE和△CDF都是直角三角形。
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l} AB=CD \\ AE=CF \end{array} $
∴ Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)。
【知识点】
HL判定全等、全等三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题属于全等三角形证明的常规题型，解题的关键是合理运用公共边这一隐含条件，先证大三角形全等得到待证三角形所需的边相等的条件，要注意HL判定定理的适用范围仅为直角三角形。
【难度系数】
0.7

10. 推理能力 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$DE$是过点$A$的直线，$BD ⊥ DE$于点$D$，$CE ⊥ DE$于点$E$。
(1)若$B$，$C$在$DE$的同侧(如图①所示)，且$AD=CE$。求证:$AB ⊥ AC$；
(2)若$B$，$C$在$DE$的两侧(如图②所示)，且$AD=CE$，其他条件不变，$AB$与$AC$仍垂直吗？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由。

10.(1)证明：略. (2)解：$AB$与$AC$仍垂直.证明：略.

【分析】
(1)要证明$AB⊥AC$，即证$∠ BAC=90°$。首先由$BD⊥DE$、$CE⊥DE$可得$∠ D=∠ E=90°$，结合已知$AB=AC$、$AD=CE$，可通过HL判定$Rt△ ABD≌Rt△ CAE$；再利用全等三角形对应角相等，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导得到$∠ DAB+∠ EAC=90°$，即可求出$∠ BAC=90°$。
(2)证明思路和(1)一致，仍先通过HL证明两个直角三角形全等，再利用全等的性质转化角的关系，推导得到$∠ BAC=90°$，即可判断$AB$与$AC$的位置关系。
【解析】
(1)证明：
$\because BD⊥ DE$，$CE⊥ DE$，
$\therefore ∠ ADB=∠ CEA=90°$，
在$Rt△ ABD$和$Rt△ CAE$中：
$\{\begin{array}{l}AB=CA\\ AD=CE\end{array} $
$\therefore Rt△ ABD≌Rt△ CAE(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ DAB=∠ ECA$，
$\because$在$Rt△ CAE$中，$∠ ECA+∠ EAC=90°$，
$\therefore ∠ DAB+∠ EAC=90°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-(∠ DAB+∠ EAC)=90°$，
$\therefore AB⊥ AC$。
(2)$AB$与$AC$仍垂直，证明如下：
$\because BD⊥ DE$，$CE⊥ DE$，
$\therefore ∠ ADB=∠ CEA=90°$，
在$Rt△ ABD$和$Rt△ CAE$中：
$\{\begin{array}{l}AB=CA\\ AD=CE\end{array} $
$\therefore Rt△ ABD≌Rt△ CAE(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ DAB=∠ ECA$，
$\because$在$Rt△ CAE$中，$∠ ECA+∠ EAC=90°$，
$\therefore ∠ DAB+∠ EAC=90°$，即$∠ BAC=90°$，
$\therefore AB⊥ AC$。
【答案】
(1)证明成立，$AB⊥ AC$；
(2)$AB$与$AC$仍垂直，证明成立。
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；垂直的判定
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的综合应用题，两种图形位置下的核心解题思路一致，均是通过全等转化角的关系来推导垂直，解题时需结合图形准确分析角的和差关系。
【难度系数】
0.7