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9. [2026石家庄桥西区期中]在线段MN上，分别以点M,N为圆心，c为半径画弧，交线段MN于点E,F，如图所示，则线段MF与NE的大小关系是（
A.$MF＞NE$
B.$MF＜NE$
C.$MF=NE$
D.不能确定
C
）A.$MF＞NE$
B.$MF＜NE$
C.$MF=NE$
D.不能确定
答案
9.C 由题意,得$ME = NF$,因为$MF = ME + EF$,$NE = NF + EF$,所以$MF = NE$。
变式 [2025 秦皇岛期末] 如图，C，B 是线段 AD 上的两点，若 $AB = CD$，$BC = 2AC$，则 AC 与 CD 的关系为（
A.$CD=2AC$
B.$CD=3AC$
C.$CD=4AC$
D.$CD=5AC$
B
）A.$CD=2AC$
B.$CD=3AC$
C.$CD=4AC$
D.$CD=5AC$
答案
B 因为$AB = CD$,所以$AB - BC = CD - BC$,即$AC = BD$。因为$BC = 2AC$,所以$CD = 3AC$。
10. [2025厦门期末]已知M,N,P三点在同一条直线上，MN=3，NP=1，点A是MP的中点，则AN的长为
1或2
。答案
1或2 当P在线段MN的延长线上时,如图1,因为$MN=3$,$NP=1$,所以$MP=4$,因为点A是MP的中点,所以$AP = \frac{1}{2}MP = 2$,所以$AN = AP - NP = 1$;当P在线段MN上时,如图2,因为$MN=3$,$NP=1$,所以$MP=2$,所以$AP = \frac{1}{2}MP = 1$,所以$AN = AP + NP = 2$。
变式[2026平顶山期末]有公共端点P的两条线段MP,NP组成一条折线M—P—N,若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分,则把这个点Q叫做这条折线的“折中点”。已知D是折线A—C—B的“折中点”,E为线段AC的中点,CD=1,CE=3,则线段BC的长为
8或4
。答案
8或4 分两种情况:①如图1,若点D在BC上,因为E为线段AC的中点,$CE=3$,所以$AC=2CE=6$,因为D是折线A—C—B的“折中点”,所以$BD = AC + CD = 6 + 1 = 7$,所以$BC = BD + CD = 7 + 1 = 8$;②如图2,若点D在AC上,由①可知$AC=2CE=6$,所以$AD = AC - CD = 6 - 1 = 5$,因为D是折线A—C—B的“折中点”,所以$BC + CD = AD = 5$,所以$BC = 5 - CD = 5 - 1 = 4$。综上,线段BC的长为8或4。
11. [2025驻马店期末]如图,在四边形ABCD内找一点O,使它到四边形四个顶点的距离之和(OA + OB + OC + OD)最小。(画出即可,不写作法)
答案
解:如图,点O即为所求。
12. 教材P117T4变式 如图，已知线段$a,b$,用尺规作线段$AB=3a-b$。
答案
解:如图所示,作射线AF;用圆规在射线AF上顺次截取$AC = CD = DE = a$;在线段AE上截取$EB = b$。则线段AB就是所要作的线段。
13. 推理能力 [2026运城期末]【问题背景】
已知点D为线段AB的中点,点C在线段AB上(不与点A,B重合)。
【初步探究】
(1)如图1,若$AC=8$,$BC=6$,则线段CD的长为
(2)如图1,若$AB=18$,$BC=2CD$,则线段BC的长为
【拓展提升】
(3)如图2,若$BC=2CD$,点E为BD的中点,$CE=2$,则线段AB的长为
已知点D为线段AB的中点,点C在线段AB上(不与点A,B重合)。
【初步探究】
(1)如图1,若$AC=8$,$BC=6$,则线段CD的长为
1
;(2)如图1,若$AB=18$,$BC=2CD$,则线段BC的长为
6
;【拓展提升】
(3)如图2,若$BC=2CD$,点E为BD的中点,$CE=2$,则线段AB的长为
24
。答案
(1)1
由条件可知$AD = BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AC + BC) = 7$,所以$CD = BD - BC = 7 - 6 = 1$。
(2)6
由条件可知$AD = BD = \frac{1}{2}AB = 9$,因为$BC = 2CD$,所以$BC = \frac{2}{3}BD = \frac{2}{3} × 9 = 6$。
(3)24
因为点D是AB的中点,所以$AD = BD = \frac{1}{2}AB$,因为点E为BD的中点,所以$BE = DE = \frac{1}{2}BD$,因为$BC = 2CD$,所以$BC = \frac{2}{3}BD$,所以$CE = BC - BE = \frac{2}{3}BD - \frac{1}{2}BD = \frac{1}{6}BD = \frac{1}{12}AB$,因为$CE=2$,所以$AB=24$。
由条件可知$AD = BD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(AC + BC) = 7$,所以$CD = BD - BC = 7 - 6 = 1$。
(2)6
由条件可知$AD = BD = \frac{1}{2}AB = 9$,因为$BC = 2CD$,所以$BC = \frac{2}{3}BD = \frac{2}{3} × 9 = 6$。
(3)24
因为点D是AB的中点,所以$AD = BD = \frac{1}{2}AB$,因为点E为BD的中点,所以$BE = DE = \frac{1}{2}BD$,因为$BC = 2CD$,所以$BC = \frac{2}{3}BD$,所以$CE = BC - BE = \frac{2}{3}BD - \frac{1}{2}BD = \frac{1}{6}BD = \frac{1}{12}AB$,因为$CE=2$,所以$AB=24$。
如图,点M,N是线段AB上的点,点E为线段AN的中点。点C在线段AB的延长线上,且$BC=3MN$。
A E M N B
(1)求作点C。(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)若$AB=13\ \mathrm{cm}$,$NB=3\ \mathrm{cm}$,$EM=\frac{3}{2}MN$,则线段AC的长是
(3)若$AC=2EB+MN$,试说明:点B是线段MC的中点。
(4)若$AB=10\ \mathrm{cm}$,D是AB上一动点,沿$A→B→A$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动1次,当点D不
与点A,B重合时,点P是线段BD的中点,点Q是线段AD的中点。设点D的运动时间为$t\ \mathrm{s}$,则在运动过程中,PQ的长是否发生变化?若不变,求出PQ的长;若发生变化,请说明理由。
A E M N B
(1)求作点C。(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)若$AB=13\ \mathrm{cm}$,$NB=3\ \mathrm{cm}$,$EM=\frac{3}{2}MN$,则线段AC的长是
19 cm
。(3)若$AC=2EB+MN$,试说明:点B是线段MC的中点。
(4)若$AB=10\ \mathrm{cm}$,D是AB上一动点,沿$A→B→A$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度运动1次,当点D不
与点A,B重合时,点P是线段BD的中点,点Q是线段AD的中点。设点D的运动时间为$t\ \mathrm{s}$,则在运动过程中,PQ的长是否发生变化?若不变,求出PQ的长;若发生变化,请说明理由。
答案
(1)
(2) 19 cm
因为AB = 13 cm, NB = 3 cm, 所以AN = AB - NB = 10 cm。因为点E为线段AN的中点,所以AE = EN = $\frac{1}{2}$AN = 5 cm。设MN = 2x cm,则EM = 3x cm,所以EN = EM + MN = 5x cm,所以5x = 5,可得x = 1,所以MN = 2x = 2 × 1 = 2( cm ), EM = 3x = 3 × 1 = 3( cm ),所以BC = 3MN = 6 cm,所以AC = AB + BC = 13 + 6 = 19( cm )。
(3) 因为AC = 2EB + MN = 2( EN + NB ) + MN = 2EN + 2NB + MN = AN + NB + MB,
所以AC - AN = NB + MB,
所以NB + BC = NB + MB,所以BC = MB,
所以点B是线段MC的中点。
(4) 不变。
因为点P是线段BD的中点,点Q是线段AD的中点,
所以PQ = $\frac{1}{2}(AD + BD) = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5$(cm)。
