7. 如图，$△ ADE ∽ △ ABC$，且$AD:DB=1:3$，则$△ ADE$与$△ ABC$的相似比为______。

$1:4$

8. 如图,将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折,如果得到的两个矩形都与原矩形相似,则原矩形长与宽的比是（ ）
A. $2:1$
B. $1:2$
C. $3:2$
D. $\sqrt{2}:1$

D

9. 一个多边形的边长分别为2、3、4、5、6，另一个和它相似的多边形的最长边的长为24，则这个多边形的最短边的长为$\underline{\hspace{3cm}}$．

$8$

10. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=2$,$BC=4$,剪去一个矩形$ABEF$后,余下的矩形$EFDC$与原矩形$ABCD$相似,求矩形$EFDC$的面积.

解：∵矩形​$EF DC$​与矩形​$ABCD$​相似，∴​$\frac {CD}{AD}=\frac {DF}{AB}$​​$ $​已知​$AB = 2，$​​$BC = 4，$​即​$AD = 4，$​​$CD = 2，$​代入​$\frac 24=\frac {DF}2$​​$ $​解得​$DF = 1，$​∴矩形​$EF DC$​的面积为​$CD×DF=2×1 = 2$​

11. 如图,一个矩形广场的长为 100 m,宽为 80 m,广场外围两条纵向小路的宽均为 1.5 m,如果两条横向小路的宽都为 $ x $ m,那么当小路内、外边缘所围成的两个矩形相似时,求 $ x $ 的值.

解：当小路内、外边缘所围成的两个矩形相似时，​$\frac {100 + 3}{100}=\frac {80 + 2x}{80}，$​​$ $​交叉相乘得​$80×(100 + 3)=100×(80 + 2x)$​​$ $​解得​$x = 1.2$​ 答：当​$x = 1.2$​时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似。

12. 如图，E是菱形ABCD的对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是$\sqrt{3}:2$，连接EB、GD.
(1)求证:$EB=GD$.
(2)若$∠ DAB=60°,AB=2$,求GD的长.

​$ (1)$​证明：∵菱形​$AEFG\sim $​菱形​$ABCD，$​∴​$∠EAG=∠BAD$​∴​$∠EAG+∠G AB=∠BAD+∠G AB，$​即​$∠EAB=∠G AD$​ 又∵​$AE = AG，$​​$AB = AD$​∴在​$\triangle AEB$​和​$\triangle AG D$​中​$ \begin {cases}AE = AG\\∠EAB=∠G AD\\AB = AD\end {cases}$​∴​$\triangle AEB≌\triangle AG D(S AS)$​∴​$EB = G D$​​$ (2)$​解：如图，连接​$BD$​交​$AC$​于点​$P，$​则​$BP\perp AC$​∵​$∠DAB = 60°，$​∴​$∠P AB = 30°$​∵菱形​$AEFG\sim $​菱形​$ABCD，$​相似比是​$\sqrt 3∶2，$​​$AB = 2$​∴​$AE=\sqrt 3，$​​$BP=\frac 12\ \mathrm {A}B = 1$​​$ $​在​$Rt\triangle ABP $​中，​$AP=\sqrt {AB^2-BP^2}=\sqrt {2^2-1^2}=\sqrt 3$​∴​$EP = AE + AP=\sqrt 3+\sqrt 3=2\sqrt 3$​​$ $​在​$Rt\triangle EBP $​中，​$EB=\sqrt {EP^2+BP^2}=\sqrt {(2\sqrt 3)^2+1^2}=\sqrt {12 + 1}=\sqrt {13}$​∵​$EB = G D，$​∴​$G D=\sqrt {13}$​ ;