5. 甲、乙两人在玩转盘游戏时,把两个转盘 $A,B$ 都分成了 $3$ 等份的扇形区域,并在每一小区域内标上数字(如图所示),游戏规则：同时转动两个转盘,当转盘停止后,若指针所指两个区域的数字之和为 $3$ 的倍数,则甲获胜；若指针所指两个区域的数字之和为 $4$ 的倍数,则乙获胜；如果指针落在分割线上,则需要重新转动转盘。请问这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由。

不公平,理由略

转盘A的数字为1,2,3；转盘B的数字为2,3,4。所有可能的数字之和如下：
$1+2=3$，$1+3=4$，$1+4=5$
$2+2=4$，$2+3=5$，$2+4=6$
$3+2=5$，$3+3=6$，$3+4=7$
共有9种等可能结果。其中：
数字之和为3的倍数（3,6）的结果有3种：(1,2),(2,4),(3,3)，甲获胜概率$P_甲=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
数字之和为4的倍数（4）的结果有2种：(1,3),(2,2)，乙获胜概率$P_乙=\frac{2}{9}$
因为$\frac{1}{3}\neq\frac{2}{9}$，所以游戏不公平。

6. 在甲、乙两个不透明的口袋中,分别有大小、材质完全相同的小球,其中甲口袋中的小球上分别标有数字 $1,2,3$,乙口袋中的小球上分别标有数字 $2,3,4$,先从甲袋中任意摸出一个小球,记下数字为 $m$,再从乙袋中任意摸出一个小球,记下数字为 $n$。
(1) 请用列表或画树状图的方法表示出所有可能的结果；
(2) 小明和小利玩游戏,若 $m,n$ 都是方程 $x^{2}-5x + 6 = 0$ 的解,则小明获胜；若 $m,n$ 都不是方程 $x^{2}-5x + 6 = 0$ 的解,则小利获胜。这个游戏对双方公平吗？为什么？

解:
(1)画树状图为:

(2)这个游戏对双方不公平。理由如下:
若m,n都是方程$x^{2}-5x+6=0$的解,
则m=2,n=3或m=3,n=2。
由树状图可知:共有9个等可能的结果,
m,n都是方程$x^{2}-5x+6=0$的解的结果有2个,
m,n都不是方程$x^{2}-5x+6=0$的解的结果有1个,
所以小明获胜的概率为$\frac{2}{9}$,小利获胜的概率为$\frac{1}{9}$。所以游戏对双方不公平。

7. 嘉嘉和琪琪相约玩一种“造数”游戏,游戏规则如下：同时抛掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子,硬币的正、反面分别表示“新数”的性质符号(约定硬币正面向上记为“$+$”号,反面向上记为“$-$”号),其与骰子投出面朝上的数字组合成一个“新数”。如抛掷结果为“硬币反面向上,骰子面朝上的数字是 $4$”,记为“$-4$”。
(1) 利用画树状图或列表的方法表示出游戏可能出现的所有结果；
(2) 写出组合成的所有“新数”；
(3) 若约定组合成的“新数”是 $3$ 的倍数,则嘉嘉获胜；若是 $4$ 或 $5$ 的倍数,则琪琪获胜。你觉得他们的约定公平吗？为什么？

解:
(1)列表如下:

(2)组合成的“新数”为1,2,3,4,5,6,-1,-2,-3,-4,-5,-6。
(3)所有组合成的“新数”中,是3的倍数的数有3,6,-3,-6,共4个,
∴P(是3的倍数)=$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
是4或5的倍数的数有4,5,-4,-5,共4个,
∴P(是4或5的倍数)=$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
∵$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$,
∴他们的约定公平。