思考 画二次函数 $ y = ax^2 + k $ 的图象应怎样取点？在什么条件下它的图象与 $ x $ 轴一定有交点？如何求它的图象与坐标轴的交点？

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画图象取点：先确定顶点(0,k)，再在对称轴x=0两侧对称取x值（如-2,-1,1,2等），计算对应y值；与x轴有交点条件：ak≤0（a≠0）；求与坐标轴交点：与y轴交点，令x=0得(0,k)；与x轴交点，令y=0解方程ax²+k=0，得x=±√(-k/a)（ak＜0时）或x=0（k=0时），坐标为(±√(-k/a),0)或(0,0)。

练习 抛物线 $ y = -2x^2 + 8 $ 的顶点坐标是,与 $ y $ 轴的交点坐标是,与 $ x $ 轴的交点坐标是。

顶点坐标是$(0,8)$；与 $y$ 轴的交点坐标是$(0,8)$；与 $x$ 轴的交点坐标是$(\pm2,0)（或 (-2,0),(2,0) ）$。

对于抛物线 $y = -2x^2 + 8$，这是一个标准的顶点式 $y = a(x - h)^2 + k$ 的形式，其中 $a = -2$，$h = 0$，$k = 8$，所以顶点坐标为 $(0, 8)$。
求与 $y$ 轴的交点坐标时，令$x = 0$，则$y = -2×0^2 + 8 = 8$，所以与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0, 8)$。
求与 $x$ 轴的交点坐标时，令$y = 0$，即$-2x^2 + 8 = 0$，化简可得$x^2 = 4$，解得$x = \pm2$，所以与 $x$ 轴的交点坐标为 $(-2, 0)$ 和 $(2, 0)$。

例 1 填空：抛物线 $ y = x^2 - 4 $ 的顶点坐标是,顶点是图象的最(“高”或“低”)点,当 $ x = $时,$ y $ 取最(“大”或“小”)值是,对称轴是。当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而。$ y = x^2 - 4 $ 的图象与 $ y $ 轴的交点坐标是,与 $ x $ 轴的交点坐标是。
名师导引抛物线顶点的横、纵坐标就是 $ y $ 取得最值时对应的 $ x $ 和 $ y $ 值,求它的图象与坐标轴的交点要充分利用方程思想,即分别令 $ x = 0 $ 和 $ y = 0 $,建立方程求解。

(0,-4);低;0;小;-4;y轴;减小;(0,-4);(2,0),(-2,0)

变式训练 (1)对于二次函数 $ y = -2x^2 + 3 $ 的图象,下列说法不正确的是()
A. 开口向下
B. 对称轴是直线 $ x = -3 $
C. 顶点坐标为 $ (0,3) $
D. $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
(2)已知 $ (-1,y_1) $,$ (2,y_2) $ 是函数 $ y = x^2 + 1 $ 的图象上的两点,则()
A. $ y_1 ＞ 1 ＞ y_2 $
B. $ y_2 ＞ 1 ＞ y_1 $
C. $ y_1 ＞ y_2 ＞ 1 $
D. $ y_2 ＞ y_1 ＞ 1 $
(3)(2024 西华一模)二次函数 $ y = ax^2 + b $ 的图象如图所示,则一次函数 $ y = ax + b $ 的图象一定不经过()
A. 第一象限

B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

(1)B；(2)D；(3)C

(1)二次函数$y=-2x^2 + 3$，$a=-2\lt0$开口向下，对称轴为$x=0$，顶点坐标$(0,3)$，$x\gt0$时$y$随$x$增大而减小，B错误。
(2)函数$y=x^2 + 1$，对称轴$x=0$，$x=-1$时$y_1=(-1)^2 + 1=2$；$x=2$时$y_2=2^2 + 1=5$，$y_2\gt y_1\gt1$，D正确。
(3)由图知二次函数开口向下$a\lt0$，顶点在$y$轴正半轴$b\gt0$，一次函数$y=ax + b$，$a\lt0$，$b\gt0$，过一、二、四象限，不经过第三象限，C正确。

例 2 (2024 钦州二模)将抛物线 $ y = 3x^2 $ 向上平移 2 个单位长度,所得抛物线的解析式为()
A.$ y = 3x^2 + 2 $
B.$ y = 3x^2 - 2 $
C.$ y = 3(x + 2)^2 $
D.$ y = 3(x - 2)^2 $
名师导引 平移不改变图象的形状和大小,只改变图象的位置,因此平移后抛物线的函数关系式中的 $ a $ 值保持不变,只需求出平移后抛物线的顶点坐标即可。

A

根据题意，原抛物线为 $y = 3x^2$，其顶点坐标为 $(0,0)$。将抛物线向上平移 2 个单位长度，顶点坐标变为 $(0, 2)$。平移不改变抛物线的形状和大小，因此 $a$ 值保持不变，仍为 3。平移后的抛物线解析式为 $y = 3x^2 + 2$。

变式训练 对于抛物线 $ y = -\frac{2}{3}x^2 $ 与抛物线 $ y = -\frac{2}{3}x^2 + 1 $ 的图象,下列说法错误的是()
A.开口方向相同
B.对称轴相同
C.抛物线 $ y = -\frac{2}{3}x^2 + 1 $ 是由抛物线 $ y = -\frac{2}{3}x^2 $ 向上平移 1 个单位长度得到的
D.最大值相同

D

A. 对于抛物线 $y = -\frac{2}{3}x^2$ 和 $y = -\frac{2}{3}x^2 + 1$，它们的二次项系数都是 $-\frac{2}{3}$，因此开口方向都是向下，所以A选项正确。
B. 抛物线 $y = -\frac{2}{3}x^2$ 和 $y = -\frac{2}{3}x^2 + 1$ 的对称轴都是 $x = 0$（即y轴），所以B选项正确。
C. 抛物线 $y = -\frac{2}{3}x^2 + 1$ 可以看作是由抛物线 $y = -\frac{2}{3}x^2$ 向上平移1个单位长度得到的，所以C选项正确。
D. 抛物线 $y = -\frac{2}{3}x^2$ 的最大值为0（在x=0处取得），而抛物线 $y = -\frac{2}{3}x^2 + 1$ 的最大值为1（在x=0处取得），所以它们的最大值不同，D选项错误。