1. 抛物线 $ y = x^2 - 2 $ 的顶点坐标是()
A.$ (-2,0) $
B.$ (2,0) $
C.$ (0,2) $
D.$ (0,-2) $

D

对于抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $，其顶点坐标为 $ (h, k) $。
将题目中的抛物线 $ y = x^2 - 2 $ 改写为 $ y = 1 \cdot (x - 0)^2 + (-2) $，可得 $ h = 0 $，$ k = -2 $，因此顶点坐标为 $ (0, -2) $。

2. 将抛物线 $ y = 2x^2 - 1 $ 向下平移 2 个单位,所得抛物线的解析式为()
A.$ y = 2(x - 2)^2 - 1 $
B.$ y = 2x^2 - 3 $
C.$ y = 2(x + 2)^2 - 1 $
D.$ y = 2x^2 + 1 $

B

抛物线$y=2x^2 - 1$向下平移2个单位，根据抛物线平移规律“上加下减”，在常数项$-1$上减去2，得$y=2x^2 - 1 - 2 = 2x^2 - 3$。

3. 抛物线 $ y = -\frac{1}{3}x^2 - 4 $ 的开口向,对称轴是,顶点坐标为。当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而；当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而。$ x = $时,$ y $ 取最(“大”或“小”)值是。

开口向下；
对称轴是$y$轴（或直线$x=0$）;
顶点坐标为$(0, -4)$;
当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而增大；
当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而减小；
$x = 0$时，$y$取最大值是$-4$。

1. 方程形式：函数形式为$y = -\frac{1}{3}x^2 - 4$，是二次函数的标准形式$y = a(x - h)^2 + k$，其中$a = -\frac{1}{3}$，$h = 0$，$k = -4$。
2. 开口方向：由于$a = -\frac{1}{3} ＜ 0$，所以抛物线开口向下。
3. 对称轴：对称轴为$x = h = 0$，即$y$轴。
4. 顶点坐标：顶点为$(h, k) = (0, -4)$。
5. 单调性：
当$x ＜ 0$时，由于抛物线开口向下，函数值$y$随$x$的增大而增大。
当$x ＞ 0$时，函数值$y$随$x$的增大而减小。
6. 最值：在顶点处$x = 0$时，$y$取得最大值，最大值为$k = -4$。

4. 对于二次函数 $ y = -\frac{1}{3}x^2 + 2 $,当 $ x $ 的值为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $ 时,对应的函数值 $ y $ 为 $ y_1 $ 和 $ y_2 $。若 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 0 $,则 $ y_1 $$ y_2 $。(“$ ＞ $”或“$ ＜ $”)

$ ＜ $

二次函数 $ y = -\frac{1}{3}x^2 + 2 $ 的二次项系数 $ a = -\frac{1}{3} ＜ 0 $，因此抛物线开口向下，对称轴为 $ x = 0 $。
当 $ x ＞ 0 $ 时，函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小。
已知 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 0 $，所以 $ y_1 ＜ y_2 $。

5. (1)如图为二次函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 的图象,请在该直角坐标系中画出 $ y = \frac{1}{4}x^2 + 2 $ 和 $ y = \frac{1}{4}x^2 - 2 $ 的图象。

(2)观察图象,二次函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 $ 向平移个单位长度得到二次函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 - 2 $。二次函数 $ y = \frac{1}{4}x^2 - 2 $ 的开口向,顶点坐标为,顶点是图象的最(“高”或“低”)点,$ x = $时,$ y $ 取最(“大”或“小”)值是,对称轴是；当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而,当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而。

(1) 图略（在给定坐标系中，将$y=\frac{1}{4}x^2$的图象向上平移2个单位得到$y=\frac{1}{4}x^2 + 2$，向下平移2个单位得到$y=\frac{1}{4}x^2 - 2$）
(2) 下；2；上；$(0,-2)$；低；0；小；$-2$；y轴；减小；增大

6. 将抛物线 $ y = ax^2 + k $ 向下平移 6 个单位长度,得到抛物线 $ y = -x^2 + 3 $,设原抛物线的顶点为 $ P $,且原抛物线与 $ x $ 轴相交于点 $ A $,$ B $。
(1)求原抛物线的表达式；
(2)求 $ \triangle PAB $ 的面积。

(1)
已知抛物线$y = ax^{2}+k$向下平移$6$个单位长度后得到抛物线$y=-x^{2}+3$。
根据抛物线平移规律“上加下减”（对于抛物线$y = a(x - h)^2+k$，上下平移时对$k$进行加减），则$y = ax^{2}+k - 6= -x^{2}+3$。
所以$a=-1$，$k-6 = 3$，解得$k = 9$。
原抛物线的表达式为$y=-x^{2}+9$。
(2)
对于抛物线$y=-x^{2}+9$，其顶点$P$的坐标为$(0,9)$。
令$y = 0$，则$-x^{2}+9 = 0$，即$x^{2}=9$，解得$x=\pm3$。
所以$A(-3,0)$，$B(3,0)$，那么$AB=3-(-3)=6$。
$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}× AB×|y_P|=\frac{1}{2}×6×9 = 27$。
综上，答案为：(1)原抛物线的表达式为$y = -x^{2}+9$；(2)$\triangle PAB$的面积为$27$。