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6. (★) 一个关于 $ x $ 的二次函数同时满足下列两个条件：①图象顶点在 $ x $ 轴上；②图象过点 $ (0, 3) $. 这个二次函数解析式为
$y = 3(x - 1)^2$
. (写出一个即可)答案
$y = 3(x - 1)^2$（或其他符合条件的解析式，如 $y = 3x^2$ 等，写出一个即可）
（由于题目要求写出一个即可，且格式为填解析式，故直接给出答案形式）
填如：$y = 3(x - 1)^2$
（由于题目要求写出一个即可，且格式为填解析式，故直接给出答案形式）
填如：$y = 3(x - 1)^2$
解析
根据题意，二次函数的图象顶点在 $x$ 轴上，因此顶点的纵坐标为 0，设顶点为 $(h, 0)$，则二次函数可表示为 $y = a(x - h)^2$。
又图象过点 $(0, 3)$，代入得 $3 = a(0 - h)^2$，即 $3 = ah^2$。
取 $h = 1$，则 $a = 3$，得到二次函数 $y = 3(x - 1)^2$（答案不唯一，其他合理的 $h$ 和 $a$ 组合也可）。
7. (★★) 若抛物线 $ y = 3(x - 2)^2 $ 的图象上有三点 $ A(\sqrt{2}, y_1) $,$ B(5, y_2) $,$ C(-\sqrt{5}, y_3) $,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系是
$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
.答案
$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$
解析
抛物线$y=3(x-2)^2$的对称轴为直线$x=2$，开口向上。
点$A(\sqrt{2}, y_1)$到对称轴的距离为$|2 - \sqrt{2}| \approx 2 - 1.414 = 0.586$；
点$B(5, y_2)$到对称轴的距离为$|5 - 2| = 3$；
点$C(-\sqrt{5}, y_3)$到对称轴的距离为$|2 - (-\sqrt{5})| = 2 + \sqrt{5} \approx 2 + 2.236 = 4.236$。
因为抛物线开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，所以$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$。
点$A(\sqrt{2}, y_1)$到对称轴的距离为$|2 - \sqrt{2}| \approx 2 - 1.414 = 0.586$；
点$B(5, y_2)$到对称轴的距离为$|5 - 2| = 3$；
点$C(-\sqrt{5}, y_3)$到对称轴的距离为$|2 - (-\sqrt{5})| = 2 + \sqrt{5} \approx 2 + 2.236 = 4.236$。
因为抛物线开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，所以$y_1 ＜ y_2 ＜ y_3$。
8. (★) 将抛物线 $ y = -3x^2 $ 向
左
平移2
个单位长度,可以得到抛物线 $ y = -3(x + 2)^2 $；将抛物线 $ y = -3x^2 $ 向右
平移3
个单位长度,可以得到抛物线 $ y = -3(x - 3)^2 $.答案
左，2，右，3
解析
对于抛物线 $y = -3x^2$ 和 $y = -3(x + 2)^2$，对比两者的表达式可知，后者是前者向左平移了2个单位长度得到的，因为将 $x$ 替换为 $x+2$ 相当于图像向左平移2个单位。
对于抛物线 $y = -3x^2$ 和 $y = -3(x - 3)^2$，对比两者的表达式可知，后者是前者向右平移了3个单位长度得到的，因为将 $x$ 替换为 $x-3$ 相当于图像向右平移3个单位。
对于抛物线 $y = -3x^2$ 和 $y = -3(x - 3)^2$，对比两者的表达式可知，后者是前者向右平移了3个单位长度得到的，因为将 $x$ 替换为 $x-3$ 相当于图像向右平移3个单位。
9. (★★) 抛物线 $ y = -4(x - n)^2 $ 向左平移 $ 2 $ 个单位长度得到的函数关系式是 $ y = m(x - 4)^2 $,则 $ m = $
-4
,$ n = $6
.答案
-4，6
解析
抛物线$y=-4(x-n)^2$向左平移2个单位长度，根据平移规律“左加右减”，得到$y=-4(x-n+2)^2$。已知平移后函数关系式为$y=m(x-4)^2$，所以$m=-4$，且$-n+2=-4$，解得$n=6$。
10. (★) 与函数 $ y = 2(x - 5)^2 $ 形状相同的抛物线的解析式是【
A.$ 1 + \frac{1}{2x^2} $
B.$ y = (2x + 1)^2 $
C.$ y = (x - 2)^2 $
D.$ y = 2x^2 $
D
】A.$ 1 + \frac{1}{2x^2} $
B.$ y = (2x + 1)^2 $
C.$ y = (x - 2)^2 $
D.$ y = 2x^2 $
答案
D
解析
抛物线形状由二次项系数的绝对值决定，$y=2(x-5)^2$的二次项系数为2。选项A不是二次函数；选项B展开后二次项系数为4；选项C二次项系数为1；选项D二次项系数为2。故与原函数形状相同的是D。
11. (★) 抛物线 $ y = (x - 1)^2 $ 的图象不经过【
A.第一、第二象限
B.第二、第四象限
C.第三、第四象限
D.第二、第三象限
C
】A.第一、第二象限
B.第二、第四象限
C.第三、第四象限
D.第二、第三象限
答案
C
解析
抛物线$y=(x-1)^2$的顶点坐标为$(1,0)$，开口向上。当$x=0$时，$y=(0-1)^2=1$，即抛物线与$y$轴交于点$(0,1)$。当$y=0$时，$(x-1)^2=0$，解得$x=1$，即抛物线与$x$轴交于点$(1,0)$。因为抛物线开口向上，顶点在$x$轴正半轴，与$y$轴交于正半轴，所以抛物线经过第一、第二象限，不经过第三、第四象限。
12. (★★) 关于二次函数 $ y = -2(x + 3)^2 $,下列说法正确的是【
A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x = 3 $
C.顶点坐标是 $ (0, 3) $
D.当 $ x ＞ -3 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D
】A.开口向上
B.对称轴是直线 $ x = 3 $
C.顶点坐标是 $ (0, 3) $
D.当 $ x ＞ -3 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
答案
D
解析
二次函数 $y = -2(x + 3)^2$ 的标准形式为 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $a = -2$，$h = -3$，$k = 0$。
开口方向：由于 $a = -2 ＜ 0$，所以开口向下，选项 A 错误。
对称轴：对称轴为直线 $x = -3$，选项 B 错误。
顶点坐标：顶点坐标为 $(-3, 0)$，选项 C 错误。
单调性：当 $a ＜ 0$ 时，在对称轴右侧（即 $x ＞ -3$），$y$ 随 $x$ 的增大而减小，选项 D 正确。
开口方向：由于 $a = -2 ＜ 0$，所以开口向下，选项 A 错误。
对称轴：对称轴为直线 $x = -3$，选项 B 错误。
顶点坐标：顶点坐标为 $(-3, 0)$，选项 C 错误。
单调性：当 $a ＜ 0$ 时，在对称轴右侧（即 $x ＞ -3$），$y$ 随 $x$ 的增大而减小，选项 D 正确。
13. (★★) 已知二次函数 $ y = 3(x - a)^2 $ 的图象上,当 $ x ＞ 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则 $ a $ 的取值范围是
$a\leq2$（或写成$a \le 2$）
.答案
$a\leq2$（或写成$a \le 2$）
解析
二次函数 $y = 3(x - a)^2$ 的开口向上，对称轴为 $x = a$。
由于二次函数的开口方向向上，当 $x \gt a$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
题目要求当 $x \gt 2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，因此必须有 $a \leq 2$。
这样才能保证在 $x \gt 2$ 的区间内，函数是增函数。
由于二次函数的开口方向向上，当 $x \gt a$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
题目要求当 $x \gt 2$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大，因此必须有 $a \leq 2$。
这样才能保证在 $x \gt 2$ 的区间内，函数是增函数。
14. (★★) 有三个二次函数,甲：$ y = x^2 - 1 $；乙：$ y = -x^2 + 1 $；丙：$ y = (x + 1)^2 $. 下列叙述正确的是【
A.甲的图象经过适当平移后,可以与乙的图象重合
B.乙的图象经过适当平移后,可以与丙的图象重合
C.甲的图象经过适当平移后,可以与丙的图象重合
D.甲、乙、丙的图象经过适当平移后,都可以重合
C
】A.甲的图象经过适当平移后,可以与乙的图象重合
B.乙的图象经过适当平移后,可以与丙的图象重合
C.甲的图象经过适当平移后,可以与丙的图象重合
D.甲、乙、丙的图象经过适当平移后,都可以重合
答案
C
解析
甲函数：$y = x^2 - 1$，开口向上，顶点为$(0, -1)$；
乙函数：$y = -x^2 + 1$，开口向下，顶点为$(0, 1)$；
丙函数：$y = (x + 1)^2$，开口向上，顶点为$(-1, 0)$。
A. 甲和乙的开口方向不同，平移不能改变开口方向，所以甲的图象不能通过平移与乙的图象重合。
B. 乙开口向下，丙开口向上，平移不能改变开口方向，所以乙的图象不能通过平移与丙的图象重合。
C. 甲和丙都是开口向上的二次函数，甲顶点$(0, -1)$，丙顶点$(-1, 0)$，甲可以通过向左平移1个单位，再向上平移1个单位与丙重合。
D. 由于开口方向不同，甲、乙、丙的图象不能都通过平移重合。
乙函数：$y = -x^2 + 1$，开口向下，顶点为$(0, 1)$；
丙函数：$y = (x + 1)^2$，开口向上，顶点为$(-1, 0)$。
A. 甲和乙的开口方向不同，平移不能改变开口方向，所以甲的图象不能通过平移与乙的图象重合。
B. 乙开口向下，丙开口向上，平移不能改变开口方向，所以乙的图象不能通过平移与丙的图象重合。
C. 甲和丙都是开口向上的二次函数，甲顶点$(0, -1)$，丙顶点$(-1, 0)$，甲可以通过向左平移1个单位，再向上平移1个单位与丙重合。
D. 由于开口方向不同，甲、乙、丙的图象不能都通过平移重合。
15. (★★) 如图 22.1 - 10,在同一直角坐标系中,函数 $ y = -\frac{3}{2}(x - 1)^2 $ 与 $ y = -x + 1 $ 的图象大致是【
D
】答案
D
解析
先分析二次函数$y = -\frac{3}{2}(x - 1)^2$：顶点式中$a=-\frac{3}{2}＜0$，开口向下；顶点坐标为$(1,0)$，对称轴为$x=1$。
再分析一次函数$y = -x + 1$：斜率$k=-1＜0$，直线从左到右下降；截距$b=1$，与$y$轴交于$(0,1)$；令$y=0$得$x=1$，与$x$轴交于$(1,0)$，即过二次函数顶点$(1,0)$。
结合特征：抛物线开口向下，顶点$(1,0)$；直线过$(0,1)$和$(1,0)$，斜率为负。符合选项D。
再分析一次函数$y = -x + 1$：斜率$k=-1＜0$，直线从左到右下降；截距$b=1$，与$y$轴交于$(0,1)$；令$y=0$得$x=1$，与$x$轴交于$(1,0)$，即过二次函数顶点$(1,0)$。
结合特征：抛物线开口向下，顶点$(1,0)$；直线过$(0,1)$和$(1,0)$，斜率为负。符合选项D。
