17. (6分)直线l的表达式为$ y = -2x + 2 $,分别交x轴、y轴于点A,B。

(1) 写出A,B两点的坐标,并画出直线l的图象。
(2) 将直线l向上平移4个单位得到$ l_{1} $,$ l_{1} $交x轴于点C。作出$ l_{1} $的图象,并求$ l_{1} $的表达式。

（1）$A(1,0)$，$B(0,2)$。图略。（2）直线$l_{1}$表达式为$y = - 2x + 6$。图略。

(1) 对于直线$y = -2x + 2$，令$y = 0$，则$-2x + 2 = 0$，解得$x = 1$，所以$A(1,0)$；令$x = 0$，则$y = 2$，所以$B(0,2)$。图略。
(2) 直线$l$向上平移$4$个单位，根据平移规律“上加下减”，$l_{1}$的表达式为$y = -2x + 2 + 4 = -2x + 6$。图略。

18. (8分)已知一次函数$ y = \frac{1}{2}x + 4 $的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B,点C的坐标为$ (-2, 0) $。

(1) 求点A、点B的坐标；
(2) 过点C作直线CD,与AB交于点D,且$ S_{\triangle AOB} = 2S_{\triangle ACD} $,求点D的坐标。

（1）令$y=\frac{1}{2}x + 4 = 0$，得$x = - 8$；令$x = 0$，得$y = 4$，所以$A(-8,0)$，$B(0,4)$。（2）因为$C(-2,0)$，$A(-8,0)$，$B(0,4)$，所以$AC = - 2 - (-8)=6$，$OA = 8$，$OB = 4$。因为点$D$在直线$y=\frac{1}{2}x + 4$上，所以设点$D$的坐标为$(m,\frac{1}{2}m + 4)$。因为$S_{\triangle AOB}=2S_{\triangle ACD}$，所以$\frac{1}{2}OA·OB = 2×\frac{1}{2}AC·|\frac{1}{2}m + 4|$，即$\frac{1}{2}×8×4 = 2×\frac{1}{2}×6×|\frac{1}{2}m + 4|$，解得$m = -\frac{8}{3}$或$m = -\frac{40}{3}$。当$m = -\frac{8}{3}$时，$\frac{1}{2}m + 4=\frac{1}{2}×(-\frac{8}{3}) + 4=\frac{8}{3}$；当$m = -\frac{40}{3}$时，$\frac{1}{2}m + 4=\frac{1}{2}×(-\frac{40}{3}) + 4=-\frac{8}{3}$，所以点$D$的坐标为$(-\frac{8}{3},\frac{8}{3})$或$(-\frac{40}{3},-\frac{8}{3})$。

(1) 令$y = \frac{1}{2}x + 4 = 0$，解得$x = -8$，则点$A$的坐标为$(-8, 0)$；令$x = 0$，得$y = 4$，则点$B$的坐标为$(0, 4)$。
(2) 因为$A(-8, 0)$，$C(-2, 0)$，所以$AC = -2 - (-8) = 6$。$OA = 8$，$OB = 4$，$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} × OA × OB = \frac{1}{2} × 8 × 4 = 16$。设点$D$的坐标为$(m, \frac{1}{2}m + 4)$，则$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} × AC × |\frac{1}{2}m + 4| = \frac{1}{2} × 6 × |\frac{1}{2}m + 4| = 3|\frac{1}{2}m + 4|$。由$S_{\triangle AOB} = 2S_{\triangle ACD}$，得$16 = 2 × 3|\frac{1}{2}m + 4|$，即$8 = 3|\frac{1}{2}m + 4|$，解得$|\frac{1}{2}m + 4| = \frac{8}{3}$。当$\frac{1}{2}m + 4 = \frac{8}{3}$时，$m = -\frac{8}{3}$；当$\frac{1}{2}m + 4 = -\frac{8}{3}$时，$m = -\frac{40}{3}$。当$m = -\frac{8}{3}$时，$\frac{1}{2}m + 4 = \frac{8}{3}$；当$m = -\frac{40}{3}$时，$\frac{1}{2}m + 4 = -\frac{8}{3}$。所以点$D$的坐标为$(-\frac{8}{3}, \frac{8}{3})$或$(-\frac{40}{3}, -\frac{8}{3})$。

19. (8分)如图,直线$ y = \frac{2}{3}x + 4 $与x轴相交于点A,与y轴相交于点B。

(1) 求$ \triangle AOB $的面积；
(2) 过点B作直线BC,与x轴相交于点C,若$ \triangle ABC $的面积是16,求点C的坐标；
(3) 若点P是坐标轴上的一点,且$ PA = PB $,求点P的坐标。

（1）把$x = 0$代入$y=\frac{2}{3}x + 4$，得$y = 4$，即点$B$的坐标为$(0,4)$。把$y = 0$代入$y=\frac{2}{3}x + 4$，得$\frac{2}{3}x + 4 = 0$，解得$x = - 6$，即点$A$的坐标为$(-6,0)$。所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×6×4 = 12$，即$\triangle AOB$的面积为12。（2）根据题意，得点$B$到$AC$的距离为4，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×4AC = 16$，解得$AC = 8$，即点$C$到点$A$的距离为8，所以点$C$的坐标为$(-14,0)$或$(2,0)$。（3）当点$P$在$x$轴上时，设$P(x,0)$。由$PA = PB$，得$(x + 6)^{2}=x^{2}+4^{2}$，解得$x = -\frac{5}{3}$。当点$P$在$y$轴上时，设$P(0,y)$。由$PA = PB$，得$(y - 4)^{2}=y^{2}+6^{2}$，解得$y = -\frac{5}{2}$。综上，点$P$的坐标为$(-\frac{5}{3},0)$或$(0,-\frac{5}{2})$。

(1) 把$x = 0$代入$y=\frac{2}{3}x + 4$，得$y = 4$，则点$B$的坐标为$(0,4)$。把$y = 0$代入$y=\frac{2}{3}x + 4$，得$\frac{2}{3}x + 4 = 0$，解得$x=-6$，则点$A$的坐标为$(-6,0)$。$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×|-6|×4=\frac{1}{2}×6×4 = 12$。
(2) 点$B$到$AC$的距离为$4$，由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×4× AC = 16$，得$AC = 8$。点$A$坐标为$(-6,0)$，当点$C$在点$A$左侧时，$C$的横坐标为$-6 - 8=-14$；当点$C$在点$A$右侧时，$C$的横坐标为$-6 + 8=2$，则点$C$的坐标为$(-14,0)$或$(2,0)$。
(3) 当点$P$在$x$轴上时，设$P(x,0)$，由$PA = PB$，得$(x + 6)^{2}=x^{2}+4^{2}$，即$x^{2}+12x + 36=x^{2}+16$，解得$x=-\frac{5}{3}$，则$P(-\frac{5}{3},0)$。当点$P$在$y$轴上时，设$P(0,y)$，由$PA = PB$，得$(y - 4)^{2}=y^{2}+6^{2}$，即$y^{2}-8y + 16=y^{2}+36$，解得$y=-\frac{5}{2}$，则$P(0,-\frac{5}{2})$。综上，点$P$的坐标为$(-\frac{5}{3},0)$或$(0,-\frac{5}{2})$。