9 (2025 扬州邗江月考)如图，已知∠AOC:∠BOC=1:3，OD平分∠AOB，且∠COD=36°，则∠AOB=。

9. $144°$

10 新趋势 新定义（2025连云港灌云月考）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M-P-N，若该折线M-P-N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”。已知D是折线A-C-B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD=3，CE=7，则线段BC的长为。

10. 8或20

三、解答题
11（2025常州期末）如图，P是∠AOB的边OB上一点.
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（3）点O到直线PC的距离是线段的长度；
（4）比较PH与CO的大小，并说明理由.

11. (1)(2)如图所示。
(3) OP
(4) $PH＜CO$,理由如下：
因为垂线段最短，所以$PH＜PO$,$PO＜CO$,
所以$PH＜CO$.

12 如图，直线AB,CD相交于点O，射线OE在∠DOB内部，且∠DOE=2∠BOE.过点O作OF⊥OE.（1）若∠COF=54°，求∠BOE的大小；（2）若∠COF=∠DOE，那么OB平分∠DOF吗？为什么？

12. （1）因为$OF⊥ OE$,所以$∠ EOF=90°$.
因为$∠ COF=54°$,
所以$∠ DOE=180°-∠ EOF-∠ COF=180°-90°-54°=36°$.
因为$∠ DOE=2∠ BOE$,
所以$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ DOE=\frac{1}{2}×36°=18°$.
（2）平分,理由如下：
因为$∠ COF=∠ DOE$,$∠ COF+∠ DOE=90°$,
所以$∠ COF=∠ DOE=45°$.
因为$∠ DOE=2∠ BOE$,
所以$∠ BOE=22.5°$,
所以$∠ DOB=∠ DOE+∠ BOE=67.5°$.
因为$∠ BOF=∠ EOF-∠ BOE=90°-22.5°=67.5°$,
所以$∠ DOB=∠ BOF$,
所以$OB$平分$∠ DOF$.

13（2025淮安期末）如图，线段AB=10，动点C在线段AB上，D是线段AC的中点，E是线段AB上一点。
（1）如图1，当E是线段BC的中点时，
①若AD=3，则BE=；
②点C在线段AB上运动的过程中，线段DE的长度是否是一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（2）如图2，当E是线段BD的中点时，在点C运动的过程中，是否存在和点E重合的可能？如果存在，求出重合时线段AC的长度；如果不存在，请说明理由。

13. （1）①2
②$DE$的长度是定值,$DE=5$,理由如下：
因为$D$是线段$AC$的中点,
所以$AD=CD=\frac{1}{2}AC$.
因为$E$是线段$BC$的中点,
所以$BE=CE=\frac{1}{2}BC$,
所以$DE=CD+CE=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB=5$.
（2）存在点$C$与点$E$重合的情况,此时$AC=\frac{20}{3}$,理由如下：
如图,当点$C$与点$E$重合时,
因为$D$是线段$AC$的中点,
所以$AD=CD=\frac{1}{2}AC$.
因为$E$是线段$BD$的中点,
所以$BE=DE=\frac{1}{2}BD$.
因为$DC=DE$,所以$AD=CD=BC$,
所以$AC=\frac{2}{3}AB=\frac{20}{3}$.