1.若函数$y=(a-2)x^{|a|-1}+4$是关于$x$的一次函数，则$a$的值为（）

A.$-2$
B.$\pm2$
C.$2$
D.$0$

A

根据一次函数的定义，需同时满足两个条件：
1. 自变量$x$的次数为$1$，即$|a|-1=1$，解得$|a|=2$，$a=\pm2$；
2. 一次项系数不为$0$，即$a-2≠0$，得$a≠2$。
综上，$a$的值为$-2$。

2. 在平面直角坐标系中，将直线$y=2x+b$沿$y$轴向下平移2个单位长度后恰好经过原点，则$b$的值为 （）

A.$-2$
B.$2$
C.$4$
D.$-4$

B

根据一次函数图象沿y轴平移“上加下减”的规律，将直线$y=2x+b$沿y轴向下平移2个单位长度后，所得直线的解析式为$y=2x + b - 2$。
已知平移后的直线经过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入平移后的解析式，得：
$0=2×0 + b - 2$，
解得$b=2$。

3.若直线$y=kx+b$经过第一、第二、第四象限，则直线$y=bx−k$的图象只能是图中的（）

B

解：
∵ 直线$y=kx+b$经过第一、第二、第四象限，
∴ $k＜0$，$b＞0$，
∴ $-k＞0$，
∴ 在直线$y=bx-k$中，斜率$b＞0$，直线与y轴交点的纵坐标为$-k＞0$，
即该直线经过第一、第二、第三象限，符合条件的是选项B。

4. 如图，一次函数$y_1=x+b$与一次函数$y_2=kx+4$的图象交于$P(1,3)$，则关于$x$的方程$x+b=kx+4$的解是。

解：∵ 一次函数$y_1=x+b$与$y_2=kx+4$的图象交于点$P(1,3)$，
∴ 当$x=1$时，$x+b=kx+4$成立，
即方程$x+b=kx+4$的解是$x=1$。

5. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴上,AO=4,CO=2,直线$y=x+1$以每秒1个单位长度向下移动,经过s该直线可将矩形OABC的面积平分.

$\boldsymbol{2}$

解：
矩形是中心对称图形，过其对称中心的直线可将矩形的面积平分。
由题意得矩形OABC的顶点坐标为：O(0,0)，A(4,0)，B(4,2)，C(0,2)，
因此矩形OABC的对称中心为对角线的中点，坐标为$(\dfrac{0+4}{2},\dfrac{0+2}{2})$，即$(2,1)$。
设经过$t$秒该直线可将矩形OABC的面积平分，直线每秒向下平移1个单位，平移后的直线解析式为$y=x+1-t$。
将对称中心$(2,1)$代入平移后的直线方程：
$1=2+1-t$
解得$t=2$。

6. 已知在平面直角坐标系$xOy$中，点$A(2,0)$，点$B$在$y$轴正半轴上，$AB=\sqrt{13}$，点$C$是$y$轴上一点，且$△ ABC$的面积为4，求直线$AC$的解析式。

解：
设点B的坐标为$(0, b)$，其中$b＞0$。
已知$A(2,0)$，则$OA=2$，由勾股定理得：
$OA^2 + OB^2 = AB^2$
代入$AB=\sqrt{13}$，得：
$2^2 + b^2 = (\sqrt{13})^2$
$4 + b^2 = 13$
解得$b=3$（$b=-3$舍去，因B在y轴正半轴），即$B(0,3)$。
设点C的坐标为$(0, c)$，则线段$BC$的长度为$|c-3|$。
$△ ABC$中，BC边上的高等于点A到y轴的距离，即$h=OA=2$。
由三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · h = 4$，代入得：
$\frac{1}{2} × |c-3| × 2 = 4$
化简得$|c-3|=4$，
解得$c=7$或$c=-1$，即点C的坐标为$(0,7)$或$(0,-1)$。
分两种情况求直线AC的解析式：
1. 当$C(0,7)$时，设直线AC解析式为$y=k_1 x +7$，将$A(2,0)$代入：
$0 = 2k_1 +7$，解得$k_1=-\frac{7}{2}$，
此时直线AC的解析式为$y=-\frac{7}{2}x +7$。
2. 当$C(0,-1)$时，设直线AC解析式为$y=k_2 x -1$，将$A(2,0)$代入：
$0 = 2k_2 -1$，解得$k_2=\frac{1}{2}$，
此时直线AC的解析式为$y=\frac{1}{2}x -1$。
综上，直线AC的解析式为$y=-\frac{7}{2}x+7$或$y=\frac{1}{2}x-1$。