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三、解答题
14.一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(-1,2)$和点$(1,-4)$.
(1)求这个一次函数的表达式.
(2)若点$A(2m,y_1),B(m-1,y_2)$在该一次函数的图象上，且$y_1＜y_2$，求实数$m$的取值范围.
14.一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(-1,2)$和点$(1,-4)$.
(1)求这个一次函数的表达式.
(2)若点$A(2m,y_1),B(m-1,y_2)$在该一次函数的图象上，且$y_1＜y_2$，求实数$m$的取值范围.
答案
14.解:(1)
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(-1,2)$和点$(1,-4).\therefore \begin{cases}-k+b=2,\\k+b=-4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-3,\\b=-1.\end{cases}$
∴该一次函数的表达式为$y=-3x-1$.
(2)
∵$y=-3x-1,k=-3＜0$,
∴$y$随$x$的增大而减小.
∵点$A(2m,y_1),B(m-1,y_2)$在该一次函数的图象上,且$y_1＜y_2$,
∴$2m＞m-1$,解得$m＞-1$.
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(-1,2)$和点$(1,-4).\therefore \begin{cases}-k+b=2,\\k+b=-4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-3,\\b=-1.\end{cases}$
∴该一次函数的表达式为$y=-3x-1$.
(2)
∵$y=-3x-1,k=-3＜0$,
∴$y$随$x$的增大而减小.
∵点$A(2m,y_1),B(m-1,y_2)$在该一次函数的图象上,且$y_1＜y_2$,
∴$2m＞m-1$,解得$m＞-1$.
15.如图,直线a经过点A(1,6)和点B(-3,-2).
(1)求直线a的函数表达式.
(2)求△ABO的面积.
(1)求直线a的函数表达式.
(2)求△ABO的面积.
答案
15.解:(1)设直线a的函数表达式为$y=kx+b$,把点$A(1,6)$和点$B(-3,-2)$代入,得$\begin{cases}k+b=6,\\-3k+b=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=4,\end{cases}$
∴直线a的函数表达为$y=2x+4$.
(2)设直线a与y轴交于点C,令$x=0$,得$y=4$.
∴$C(0,4)$,
∴$S_{△ ABO}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×4×1+\frac{1}{2}×4×3=8$.
∴直线a的函数表达为$y=2x+4$.
(2)设直线a与y轴交于点C,令$x=0$,得$y=4$.
∴$C(0,4)$,
∴$S_{△ ABO}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×4×1+\frac{1}{2}×4×3=8$.
16.沈白高速铁路是东北东部快速铁路通道的重要组成部分,已于2025年9月正式开通运营.在沈白高速铁路修建过程中,甲、乙两个工程组同时挖一段隧道,两组每天挖的长度均保持不变.合作一段时间后,乙组因维修设备故障而停工,甲组单独完成了剩下的任务.甲、乙两组挖的长度之和y(单位:m)与甲组挖的时间x(单位:天)之间的关系如图所示.
(1)甲组比乙组多挖了
(2)求乙组停工后y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(3)当甲组挖的总长度与乙组挖的总长度相等时,直接写出乙组已停工的天数.
(1)甲组比乙组多挖了
30
天.(2)求乙组停工后y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(3)当甲组挖的总长度与乙组挖的总长度相等时,直接写出乙组已停工的天数.
答案
16.(1)30
(2)解:设乙组停工后y关于x的函数表达式为$y=kx+b$,点$(30,210),(60,300)$在该函数图象上,
∴$\begin{cases}30k+b=210,\\60k+b=300,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 3,\\b = 120,\end{cases}$
∴$y=3x+120(30≤x≤60)$.
(3)10天 【解析】由图象可知,甲组单独挖了30天,挖的长度是300-210=90(m),甲组的工作效率是每天3 m.前30天,甲、乙两组合作共挖了210 m,则乙组挖的长度是210-90=120(m).当甲组挖的长度是120 m时,工作天数是120÷3=40(天),乙组已停工的天数为40-30=10(天).
(2)解:设乙组停工后y关于x的函数表达式为$y=kx+b$,点$(30,210),(60,300)$在该函数图象上,
∴$\begin{cases}30k+b=210,\\60k+b=300,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 3,\\b = 120,\end{cases}$
∴$y=3x+120(30≤x≤60)$.
(3)10天 【解析】由图象可知,甲组单独挖了30天,挖的长度是300-210=90(m),甲组的工作效率是每天3 m.前30天,甲、乙两组合作共挖了210 m,则乙组挖的长度是210-90=120(m).当甲组挖的长度是120 m时,工作天数是120÷3=40(天),乙组已停工的天数为40-30=10(天).
