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1. [2026扬州江都区期中]以下列数组为边长，能构成直角三角形的是（
A.0.2,0.3,0.5
B.1,1,$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,$\sqrt{5}$
D.$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{5}$
C
）A.0.2,0.3,0.5
B.1,1,$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,$\sqrt{5}$
D.$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{4}$,$\frac{1}{5}$
答案
∵ $(0.2)^2 + (0.3)^2 = 0.13,(0.5)^2 = 0.25,\therefore (0.2)^2 + (0.3)^2 ≠ (0.5)^2$,选项 A 不正确; $\because 1^2 + 1^2 = 2,(\sqrt{3})^2 = 3$,$\therefore 1^2 + 1^2 ≠ (\sqrt{3})^2$,选项 B 不正确; $\because (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = 5$,$(\sqrt{5})^2 = 5,\therefore (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2$,选项 C 正确;$\because (\frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{5})^2 = \frac{41}{400} = \frac{369}{3600},(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} = \frac{400}{3600},\therefore (\frac{1}{4})^2 + (\frac{1}{5})^2 ≠ (\frac{1}{3})^2$,选项 D 不正确.
解析
【分析】要判断给定的三边长能否构成直角三角形，需运用勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时先找出每个选项中的最长边，再分别计算另外两边的平方和与最长边的平方，比较二者是否相等即可得出结论。
【解析】我们逐个验证选项：
A选项：三边长为0.2，0.3，0.5，最长边为0.5。计算得$0.2^2+0.3^2=0.04+0.09=0.13$，$0.5^2=0.25$，$0.13≠0.25$，故不能构成直角三角形，A错误；
B选项：三边长为1，1，$\sqrt{3}$，最长边为$\sqrt{3}$。计算得$1^2+1^2=1+1=2$，$(\sqrt{3})^2=3$，$2≠3$，故不能构成直角三角形，B错误；
C选项：三边长为$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$，最长边为$\sqrt{5}$。计算得$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=2+3=5$，$(\sqrt{5})^2=5$，二者相等，故能构成直角三角形，C正确；
D选项：三边长为$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，最长边为$\frac{1}{3}$。计算得$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}=\frac{369}{3600}$，$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}=\frac{400}{3600}$，$\frac{369}{3600}≠\frac{400}{3600}$，故不能构成直角三角形，D错误。
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理，实数的平方运算
【点评】本题属于基础题型，核心是对勾股定理逆定理的运用，计算时要注意分数、二次根式的平方运算规则，避免计算失误。
【难度系数】0.8
【解析】我们逐个验证选项：
A选项：三边长为0.2，0.3，0.5，最长边为0.5。计算得$0.2^2+0.3^2=0.04+0.09=0.13$，$0.5^2=0.25$，$0.13≠0.25$，故不能构成直角三角形，A错误；
B选项：三边长为1，1，$\sqrt{3}$，最长边为$\sqrt{3}$。计算得$1^2+1^2=1+1=2$，$(\sqrt{3})^2=3$，$2≠3$，故不能构成直角三角形，B错误；
C选项：三边长为$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$，最长边为$\sqrt{5}$。计算得$(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2=2+3=5$，$(\sqrt{5})^2=5$，二者相等，故能构成直角三角形，C正确；
D选项：三边长为$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，最长边为$\frac{1}{3}$。计算得$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}=\frac{369}{3600}$，$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}=\frac{400}{3600}$，$\frac{369}{3600}≠\frac{400}{3600}$，故不能构成直角三角形，D错误。
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理，实数的平方运算
【点评】本题属于基础题型，核心是对勾股定理逆定理的运用，计算时要注意分数、二次根式的平方运算规则，避免计算失误。
【难度系数】0.8
2. [2025石家庄藁城区期末] 如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,下列结论不正确的是 (
A.$BC=\sqrt{5}$
B.$AB=5$
C.$∠ ACB=90°$
D.$S_{△ ABC}=10$
D
)A.$BC=\sqrt{5}$
B.$AB=5$
C.$∠ ACB=90°$
D.$S_{△ ABC}=10$
答案
在正方形网格中,由勾股定理,得 $BC^2 = 1^2 + 2^2 = 5$,$AB^2 = 4^2 + 3^2 = 25$,$AC^2 = 4^2 + 2^2 = 20$,$\therefore BC = \sqrt{5},AB = 5,AC = 2\sqrt{5}$,$BC^2 + AC^2 = 25$,$\therefore BC^2 + AC^2 = AB^2$,$\therefore △ ABC$ 是直角三角形,且 $∠ ACB = 90°$,$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AC = 5$.
解析
【分析】要判断各选项的正误，我们可以分步验证：首先借助网格，用勾股定理分别计算△ABC三条边的长度，验证A、B选项；再利用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，验证C选项；最后根据三角形面积公式计算面积，验证D选项，即可找到错误结论。
【解析】设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度：
1. 计算BC：BC可看作直角边为1、2的直角三角形的斜边，故$BC^2=1^2+2^2=5$，即$BC=\sqrt{5}$，A选项结论正确；
2. 计算AB：AB可看作直角边为3、4的直角三角形的斜边，故$AB^2=3^2+4^2=25$，即$AB=5$，B选项结论正确；
3. 计算AC：AC可看作直角边为2、4的直角三角形的斜边，故$AC^2=2^2+4^2=20$，即$AC=2\sqrt{5}$；
4. 判断∠ACB是否为直角：因为$BC^2+AC^2=5+20=25=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，且斜边为AB，故∠ACB=90°，C选项结论正确；
5. 计算△ABC的面积：直角三角形面积为两直角边乘积的一半，故$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$，因此D选项结论错误。
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】本题是网格类几何题的常见考法，核心是利用勾股定理计算格点线段长度，结合逆定理判断直角三角形，解题时要注意数准格子避免算错边长，计算面积时不要漏乘$\frac{1}{2}$。
【难度系数】0.7
【解析】设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各边长度：
1. 计算BC：BC可看作直角边为1、2的直角三角形的斜边，故$BC^2=1^2+2^2=5$，即$BC=\sqrt{5}$，A选项结论正确；
2. 计算AB：AB可看作直角边为3、4的直角三角形的斜边，故$AB^2=3^2+4^2=25$，即$AB=5$，B选项结论正确；
3. 计算AC：AC可看作直角边为2、4的直角三角形的斜边，故$AC^2=2^2+4^2=20$，即$AC=2\sqrt{5}$；
4. 判断∠ACB是否为直角：因为$BC^2+AC^2=5+20=25=AB^2$，根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，且斜边为AB，故∠ACB=90°，C选项结论正确；
5. 计算△ABC的面积：直角三角形面积为两直角边乘积的一半，故$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$，因此D选项结论错误。
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】本题是网格类几何题的常见考法，核心是利用勾股定理计算格点线段长度，结合逆定理判断直角三角形，解题时要注意数准格子避免算错边长，计算面积时不要漏乘$\frac{1}{2}$。
【难度系数】0.7
3. [2025南京金陵中学河西分校期中]在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a,b,c$，给出下列条件：
①$(a+b)^2 - c^2 = 2ab$；②$(a+b)(a - b) = c^2$；
③$a = 3^2, b = 4^2, c = 5^2$. 其中可以判定$△ ABC$是直角三角形的是
①$(a+b)^2 - c^2 = 2ab$；②$(a+b)(a - b) = c^2$；
③$a = 3^2, b = 4^2, c = 5^2$. 其中可以判定$△ ABC$是直角三角形的是
①②
.(填序号)答案
①$\because (a + b)^2 - c^2 = 2ab$,$\therefore a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = 2ab$,$\therefore a^2 + b^2 = c^2$,$\therefore △ ABC$ 是直角三角形. ②$\because (a + b)(a - b) = c^2$,$\therefore a^2 - b^2 = c^2$, 即 $a^2 = c^2 + b^2$,$\therefore △ ABC$ 是直角三角形.③$\because a = 3^2 = 9,b = 4^2 = 16,c = 5^2 = 25$,$\therefore a^2 = 9^2 = 81,b^2 = 16^2 = 256,c^2 = 25^2 = 625$. $\because 81 + 256 ≠ 625$,$\therefore a^2 + b^2 ≠ c^2$,$\therefore △ ABC$不是直角三角形.
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，核心依据是勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时我们对每个给出的条件逐一化简变形，推导三边的平方关系，再对照逆定理判断即可。
【解析】
对三个条件分别分析：
① 已知$(a+b)^2 - c^2 = 2ab$，展开完全平方得：
$a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = 2ab$，
两边同时减去$2ab$得：$a^2 + b^2 = c^2$，符合勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形。
② 已知$(a+b)(a - b) = c^2$，利用平方差公式展开左边得：
$a^2 - b^2 = c^2$，移项得$a^2 = b^2 + c^2$，符合勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形。
③ 先计算三边的实际值：$a = 3^2 = 9$，$b = 4^2 = 16$，$c = 5^2 = 25$，
再计算各边的平方：$a^2 = 9^2 = 81$，$b^2 = 16^2 = 256$，$c^2 = 25^2 = 625$，
因为$81 + 256 = 337 ≠ 625$，即$a^2 + b^2 ≠ c^2$，不符合勾股定理逆定理，故△ABC不是直角三角形。
【答案】
①②
【知识点】
勾股定理的逆定理；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题时需要熟练运用整式乘法公式对条件变形，注意不要误将③中$3^2、4^2、5^2$当成3、4、5直接判断，需仔细计算验证三边平方关系，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC是否为直角三角形，核心依据是勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。解题时我们对每个给出的条件逐一化简变形，推导三边的平方关系，再对照逆定理判断即可。
【解析】
对三个条件分别分析：
① 已知$(a+b)^2 - c^2 = 2ab$，展开完全平方得：
$a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = 2ab$，
两边同时减去$2ab$得：$a^2 + b^2 = c^2$，符合勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形。
② 已知$(a+b)(a - b) = c^2$，利用平方差公式展开左边得：
$a^2 - b^2 = c^2$，移项得$a^2 = b^2 + c^2$，符合勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形。
③ 先计算三边的实际值：$a = 3^2 = 9$，$b = 4^2 = 16$，$c = 5^2 = 25$，
再计算各边的平方：$a^2 = 9^2 = 81$，$b^2 = 16^2 = 256$，$c^2 = 25^2 = 625$，
因为$81 + 256 = 337 ≠ 625$，即$a^2 + b^2 ≠ c^2$，不符合勾股定理逆定理，故△ABC不是直角三角形。
【答案】
①②
【知识点】
勾股定理的逆定理；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题型，解题时需要熟练运用整式乘法公式对条件变形，注意不要误将③中$3^2、4^2、5^2$当成3、4、5直接判断，需仔细计算验证三边平方关系，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
4. 在$△ ABC$中,$AC=5,BC=12,AB=13$,则AB边上的高为
$\frac{60}{13}$
.答案
$\because AB^2 = 13^2 = 169,BC^2 + AC^2 = 12^2 + 5^2 = 169$,$\therefore AB^2 = BC^2 + AC^2$,$\therefore △ ABC$ 是直角三角形,且 $∠ C = 90°$. 设 AB 边上的高为 $h$. $\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · h = \frac{1}{2}AC · BC$,$\therefore h = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{5 × 12}{13} = \frac{60}{13}$.
解析
【分析】
首先观察三角形三边的长度，5、12、13是常见的勾股数，我们可以先借助勾股定理的逆定理判断三角形的形状：若三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，那么该三角形是直角三角形，且最长边对应的角为直角。判断出三角形为直角三角形后，要求斜边AB上的高，可使用等面积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边与斜边上高乘积的一半计算，两种计算方式得到的面积相等，建立等式即可求出高的长度。
【解析】
$\because AB^2 = 13^2 = 169,BC^2 + AC^2 = 12^2 + 5^2 = 169$，
$\therefore AB^2 = BC^2 + AC^2$，
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形，且 $∠ C = 90°$。
设AB边上的高为$h$，
$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · h = \frac{1}{2}AC · BC$，
$\therefore h = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{5 × 12}{13} = \frac{60}{13}$。
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的应用以及等面积法求线段长度，解题关键是先通过三边关系确定三角形为直角三角形，再利用面积的两种计算方式建立等式求解，熟记常见勾股数可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
首先观察三角形三边的长度，5、12、13是常见的勾股数，我们可以先借助勾股定理的逆定理判断三角形的形状：若三角形较短两边的平方和等于最长边的平方，那么该三角形是直角三角形，且最长边对应的角为直角。判断出三角形为直角三角形后，要求斜边AB上的高，可使用等面积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边与斜边上高乘积的一半计算，两种计算方式得到的面积相等，建立等式即可求出高的长度。
【解析】
$\because AB^2 = 13^2 = 169,BC^2 + AC^2 = 12^2 + 5^2 = 169$，
$\therefore AB^2 = BC^2 + AC^2$，
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形，且 $∠ C = 90°$。
设AB边上的高为$h$，
$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · h = \frac{1}{2}AC · BC$，
$\therefore h = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{5 × 12}{13} = \frac{60}{13}$。
【答案】
$\frac{60}{13}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算；等面积法
【点评】
本题考查勾股定理逆定理的应用以及等面积法求线段长度，解题关键是先通过三边关系确定三角形为直角三角形，再利用面积的两种计算方式建立等式求解，熟记常见勾股数可有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5. [2026 盐城东台期末]如图,已知等腰三角形ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点,且CD=4,BD=3,则AD的长为
拍批+错题本
$\frac{7}{6}$
.拍批+错题本
答案
设 $AD = x$, 则 $AB = AD + BD = x + 3$. $\because AB = AC$,$\therefore AC = x + 3$. $\because BC = 5,CD = 4,BD = 3$,$\therefore BD^2 + CD^2 = 3^2 + 4^2 = 25$,$BC^2 = 5^2 = 25$,$\therefore BD^2 + CD^2 = BC^2$,$\therefore ∠ BDC = 90°$,$\therefore ∠ ADC = 90°$. 在 $Rt△ ADC$ 中, 由勾股定理, 得 $AC^2 = AD^2 + CD^2$,$\therefore (x + 3)^2 = x^2 + 4^2$, 解得 $x = \frac{7}{6}$, 即 $AD = \frac{7}{6}$.
解析
【分析】
解题时首先观察△BCD的三边长分别为3、4、5，符合勾股数的特征，可先用勾股定理的逆定理判断△BCD是直角三角形，得到∠BDC=90°，进而推出∠ADC=90°；再结合等腰三角形ABC中AB=AC的性质，设AD的长为x，用含x的式子表示出AC的长，最后在Rt△ADC中利用勾股定理列方程，求解即可得到AD的长度。
【解析】
设 $ AD = x $，则 $ AB = AD + BD = x + 3 $。
∵ △ABC是等腰三角形，腰为AB、AC，
∴ $ AC = AB = x + 3 $。
已知 $ BC = 5 $，$ CD = 4 $，$ BD = 3 $，计算得：
$ BD^2 + CD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $，$ BC^2 = 5^2 = 25 $，
∴ $ BD^2 + CD^2 = BC^2 $，根据勾股定理的逆定理可得 $ ∠ BDC = 90° $，
∴ $ ∠ ADC = 180° - ∠ BDC = 90° $，即△ADC是直角三角形。
在 $ Rt△ ADC $ 中，由勾股定理得 $ AC^2 = AD^2 + CD^2 $，
代入对应边长得：$ (x + 3)^2 = x^2 + 4^2 $，
展开方程：$ x^2 + 6x + 9 = x^2 + 16 $，
化简得：$ 6x = 7 $，解得 $ x = \frac{7}{6} $。
【答案】
$\frac{7}{6}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理应用的基础综合题，解题突破口是通过三边长度关系判定直角三角形，再结合等腰三角形的性质构造方程求解，能较好地考查学生对勾股定理相关知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察△BCD的三边长分别为3、4、5，符合勾股数的特征，可先用勾股定理的逆定理判断△BCD是直角三角形，得到∠BDC=90°，进而推出∠ADC=90°；再结合等腰三角形ABC中AB=AC的性质，设AD的长为x，用含x的式子表示出AC的长，最后在Rt△ADC中利用勾股定理列方程，求解即可得到AD的长度。
【解析】
设 $ AD = x $，则 $ AB = AD + BD = x + 3 $。
∵ △ABC是等腰三角形，腰为AB、AC，
∴ $ AC = AB = x + 3 $。
已知 $ BC = 5 $，$ CD = 4 $，$ BD = 3 $，计算得：
$ BD^2 + CD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $，$ BC^2 = 5^2 = 25 $，
∴ $ BD^2 + CD^2 = BC^2 $，根据勾股定理的逆定理可得 $ ∠ BDC = 90° $，
∴ $ ∠ ADC = 180° - ∠ BDC = 90° $，即△ADC是直角三角形。
在 $ Rt△ ADC $ 中，由勾股定理得 $ AC^2 = AD^2 + CD^2 $，
代入对应边长得：$ (x + 3)^2 = x^2 + 4^2 $，
展开方程：$ x^2 + 6x + 9 = x^2 + 16 $，
化简得：$ 6x = 7 $，解得 $ x = \frac{7}{6} $。
【答案】
$\frac{7}{6}$
【知识点】
勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理应用的基础综合题，解题突破口是通过三边长度关系判定直角三角形，再结合等腰三角形的性质构造方程求解，能较好地考查学生对勾股定理相关知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
6. [2025无锡锡山区期中] 如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=3,DA=1,且∠B=90°,求∠DAB的度数.
答案
解:如图,连接 AC.
$\because ∠ B = 90°,AB = BC = 2$,
$\therefore AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 2^2 = 8,∠ BAC = 45°$.
又$\because CD = 3,DA = 1$,
$\therefore AC^2 + DA^2 = 8 + 1 = 9,CD^2 = 9$,
$\therefore AC^2 + DA^2 = CD^2$,$\therefore △ ACD$ 是直角三角形,且 $∠ CAD = 90°$,
$\therefore ∠ DAB = 45° + 90° = 135°$.
解析
【分析】
要求∠DAB的度数，观察可知∠DAB由∠BAC和∠CAD两部分构成，可通过连接辅助线AC将四边形拆分为两个三角形求解：第一步先在Rt△ABC中，利用已知的AB=BC=2、∠B=90°，结合勾股定理求出AC的长度，同时根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°；第二步将AC的长度代入△ACD，结合已知的DA=1、CD=3，用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形，得到∠CAD=90°；最后将两个角相加即可得到∠DAB的度数。
【解析】
如图，连接AC.
$\because ∠ B = 90°,AB = BC = 2$,
$\therefore AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 2^2 = 8,∠ BAC = 45°$.
又$\because CD = 3,DA = 1$,
$\therefore AC^2 + DA^2 = 8 + 1 = 9,CD^2 = 9$,
$\therefore AC^2 + DA^2 = CD^2$,$\therefore △ ACD$ 是直角三角形,且 $∠ CAD = 90°$,
$\therefore ∠ DAB = 45° + 90° = 135°$.
【答案】
$∠DAB=135°$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查勾股定理与逆定理的综合应用，将四边形通过添加辅助线转化为三角形求解是解题的关键，解题时需注意所求角是两个三角形内角的和，避免混淆角的组成。
【难度系数】
0.7
要求∠DAB的度数，观察可知∠DAB由∠BAC和∠CAD两部分构成，可通过连接辅助线AC将四边形拆分为两个三角形求解：第一步先在Rt△ABC中，利用已知的AB=BC=2、∠B=90°，结合勾股定理求出AC的长度，同时根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC=45°；第二步将AC的长度代入△ACD，结合已知的DA=1、CD=3，用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形，得到∠CAD=90°；最后将两个角相加即可得到∠DAB的度数。
【解析】
如图，连接AC.
$\because ∠ B = 90°,AB = BC = 2$,
$\therefore AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 2^2 = 8,∠ BAC = 45°$.
又$\because CD = 3,DA = 1$,
$\therefore AC^2 + DA^2 = 8 + 1 = 9,CD^2 = 9$,
$\therefore AC^2 + DA^2 = CD^2$,$\therefore △ ACD$ 是直角三角形,且 $∠ CAD = 90°$,
$\therefore ∠ DAB = 45° + 90° = 135°$.
【答案】
$∠DAB=135°$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查勾股定理与逆定理的综合应用，将四边形通过添加辅助线转化为三角形求解是解题的关键，解题时需注意所求角是两个三角形内角的和，避免混淆角的组成。
【难度系数】
0.7
7. [2026南京科利华中学月考] 如图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,过点D作$DE ⊥ BC$,垂足为D,交AB于点E,且$BE^2 - EA^2 = AC^2$.
(1)求证:$∠ A = 90°$;
(2)若$AB = 8$,$BC = 10$,求AE的长.
(1)求证:$∠ A = 90°$;
(2)若$AB = 8$,$BC = 10$,求AE的长.
答案
(1)证明:如图,连接 CE.
$\because D$ 是 $BC$ 的中点,$DE ⊥ BC$,$\therefore CE = BE$.
$\because BE^2 - EA^2 = AC^2$,$\therefore CE^2 - EA^2 = AC^2$,
$\therefore EA^2 + AC^2 = CE^2$,
$\therefore △ ACE$ 是直角三角形,且 $∠ A = 90°$.
(2)解:$\because AB = 8,BC = 10,∠ A = 90°$,
$\therefore AC^2 = 10^2 - 8^2 = 6^2$,$\therefore AC = 6$.
设 $AE = x$, 则 $CE = BE = 8 - x$.
在 $Rt△ AEC$ 中,$AC^2 + AE^2 = CE^2$, 即 $6^2 + x^2 = (8 - x)^2$,
解得 $x = \frac{7}{4}$,$\therefore AE$ 的长为 $\frac{7}{4}$.
解析
【分析】
(1)要证明∠A=90°，结合已知的平方关系，可联想到勾股定理的逆定理，需要将涉及的三条线段EA、AC、BE转化到同一个三角形中。观察到DE垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，将BE替换为CE后代入已知等式变形，即可用勾股定理逆定理证明△ACE是直角三角形，得到∠A=90°。
(2)先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，再设AE的长为x，利用CE=BE=AB-AE表示出CE的长，最后在Rt△AEC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：如图，连接CE。
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE=BE。
∵$BE^2 - EA^2 = AC^2$，
∴$CE^2 - EA^2 = AC^2$，
∴$EA^2 + AC^2 = CE^2$，
∴△ACE是直角三角形，且∠A=90°。
(2)解：
∵AB=8，BC=10，∠A=90°，
∴$AC^2 = 10^2 - 8^2 = 36$，
∴AC=6。
设AE=x，则CE=BE=8-x。
在Rt△AEC中，根据勾股定理得$AC^2 + AE^2 = CE^2$，即$6^2 + x^2 = (8-x)^2$，
解得$x=\frac{7}{4}$。
【答案】
(1)证明:如图,连接 CE.
$\because D$ 是 $BC$ 的中点,$DE ⊥ BC$,$\therefore CE = BE$.
$\because BE^2 - EA^2 = AC^2$,$\therefore CE^2 - EA^2 = AC^2$,
$\therefore EA^2 + AC^2 = CE^2$,
$\therefore △ ACE$ 是直角三角形,且 $∠ A = 90°$.
(2)$AE$的长为$\frac{7}{4}$。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是正确作出辅助线CE，将分散的边转化到同一个三角形中，结合勾股定理及逆定理分析求解，同时用到了方程思想求线段长度，需要熟练掌握相关定理的应用条件。
【难度系数】
0.7
(1)要证明∠A=90°，结合已知的平方关系，可联想到勾股定理的逆定理，需要将涉及的三条线段EA、AC、BE转化到同一个三角形中。观察到DE垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，将BE替换为CE后代入已知等式变形，即可用勾股定理逆定理证明△ACE是直角三角形，得到∠A=90°。
(2)先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度，再设AE的长为x，利用CE=BE=AB-AE表示出CE的长，最后在Rt△AEC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1)证明：如图，连接CE。
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴CE=BE。
∵$BE^2 - EA^2 = AC^2$，
∴$CE^2 - EA^2 = AC^2$，
∴$EA^2 + AC^2 = CE^2$，
∴△ACE是直角三角形，且∠A=90°。
(2)解：
∵AB=8，BC=10，∠A=90°，
∴$AC^2 = 10^2 - 8^2 = 36$，
∴AC=6。
设AE=x，则CE=BE=8-x。
在Rt△AEC中，根据勾股定理得$AC^2 + AE^2 = CE^2$，即$6^2 + x^2 = (8-x)^2$，
解得$x=\frac{7}{4}$。
【答案】
(1)证明:如图,连接 CE.
$\because D$ 是 $BC$ 的中点,$DE ⊥ BC$,$\therefore CE = BE$.
$\because BE^2 - EA^2 = AC^2$,$\therefore CE^2 - EA^2 = AC^2$,
$\therefore EA^2 + AC^2 = CE^2$,
$\therefore △ ACE$ 是直角三角形,且 $∠ A = 90°$.
(2)$AE$的长为$\frac{7}{4}$。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题关键是正确作出辅助线CE，将分散的边转化到同一个三角形中，结合勾股定理及逆定理分析求解，同时用到了方程思想求线段长度，需要熟练掌握相关定理的应用条件。
【难度系数】
0.7
8. [2025 常州北郊中学期中] 下列各组数中，是勾股数的一组是（
A.$0.3,0.4,0.5$
B.$\frac{1}{6},\frac{1}{8},\frac{1}{10}$
C.$6^2,8^2,10^2$
D.$8,15,17$
D
）A.$0.3,0.4,0.5$
B.$\frac{1}{6},\frac{1}{8},\frac{1}{10}$
C.$6^2,8^2,10^2$
D.$8,15,17$
答案
$0.3,0.4,0.5$ 与 $\frac{1}{6},\frac{1}{8},\frac{1}{10}$ 不是正整数,故选项 A,B 都不是勾股数; $\because (6^2)^2 + (8^2)^2 ≠ (10^2)^2$, 故选项 C 不是勾股数; $\because 8^2 + 15^2 = 289,17^2 = 289$,$\therefore 8^2 + 15^2 = 17^2$. 又 $\because 8,15,17$ 都是正整数,故选项 D 是勾股数.
一组勾股数需满足的条件
(1)这三个数均是正整数;
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.
一组勾股数需满足的条件
(1)这三个数均是正整数;
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.
解析
【分析】
要解这道题，首先要明确勾股数需满足的两个核心条件：一是三个数都必须是正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先通过“是否为正整数”这个条件快速排除不符合的选项，再对剩余选项验证平方和关系，即可高效得出正确答案。
【解析】
勾股数的判定需同时满足两个要求：①三个数均为正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方，对各选项逐一分析：
选项A：0.3、0.4、0.5是小数，不是正整数，不符合勾股数要求，排除；
选项B：$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{8}$、$\frac{1}{10}$是分数，不是正整数，不符合勾股数要求，排除；
选项C：三个数分别为$6^2=36$、$8^2=64$、$10^2=100$，计算得$(6^2)^2+(8^2)^2=36^2+64^2=1296+4096=5392$，$(10^2)^2=100^2=10000$，$5392≠10000$，不满足平方和关系，排除；
选项D：8、15、17均为正整数，计算得$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，即$8^2+15^2=17^2$，同时满足勾股数的两个判定要求，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.勾股数的定义 2.勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，仅验证平方和关系而误选其他选项，解题时先判断数的属性再验证平方关系可有效降低错误率。
【难度系数】
0.75
要解这道题，首先要明确勾股数需满足的两个核心条件：一是三个数都必须是正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时可以先通过“是否为正整数”这个条件快速排除不符合的选项，再对剩余选项验证平方和关系，即可高效得出正确答案。
【解析】
勾股数的判定需同时满足两个要求：①三个数均为正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方，对各选项逐一分析：
选项A：0.3、0.4、0.5是小数，不是正整数，不符合勾股数要求，排除；
选项B：$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{8}$、$\frac{1}{10}$是分数，不是正整数，不符合勾股数要求，排除；
选项C：三个数分别为$6^2=36$、$8^2=64$、$10^2=100$，计算得$(6^2)^2+(8^2)^2=36^2+64^2=1296+4096=5392$，$(10^2)^2=100^2=10000$，$5392≠10000$，不满足平方和关系，排除；
选项D：8、15、17均为正整数，计算得$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，即$8^2+15^2=17^2$，同时满足勾股数的两个判定要求，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1.勾股数的定义 2.勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股数判定的基础题，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，仅验证平方和关系而误选其他选项，解题时先判断数的属性再验证平方关系可有效降低错误率。
【难度系数】
0.75
9. 新趋势·结论开放 请你任意写出一组勾股数：
12,16,20(答案不唯一)
。答案
$\because 12^2 + 16^2 = 20^2$, 且 12,16,20 都是正整数,$\therefore$ 一组勾股数可以是 12,16,20.
解析
【分析】
解题首先要明确勾股数的两个判定条件：一是三个数都为正整数；二是两个较小数的平方和等于最大数的平方。我们可以先回忆基础勾股数如3、4、5，将三个数同时乘同一个正整数，得到的新数依然满足勾股数的条件，比如同时乘4即可得到12、16、20，最后验证平方和关系即可。
【解析】
勾股数的定义为：若三个正整数$a,b,c$满足$a^2+b^2=c^2$，则$a,b,c$为一组勾股数。
选取基础勾股数3、4、5，将三个数同时扩大4倍得到12、16、20，验证如下：
$12^2=144$，$16^2=256$，$20^2=400$
因为$144+256=400$，即$12^2+16^2=20^2$，且12、16、20均为正整数，因此12、16、20是符合要求的勾股数。
（本题答案不唯一，3,4,5等也为正确答案）
【答案】
12,16,20（答案不唯一）
【知识点】
勾股数的概念；勾股定理的逆定理
【点评】
本题为结论开放题，难度较低，核心考查对勾股数定义的理解，记住常见基础勾股数，或将基础勾股数同时扩大正整数倍即可快速写出答案，解题时注意三个数必须均为正整数。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确勾股数的两个判定条件：一是三个数都为正整数；二是两个较小数的平方和等于最大数的平方。我们可以先回忆基础勾股数如3、4、5，将三个数同时乘同一个正整数，得到的新数依然满足勾股数的条件，比如同时乘4即可得到12、16、20，最后验证平方和关系即可。
【解析】
勾股数的定义为：若三个正整数$a,b,c$满足$a^2+b^2=c^2$，则$a,b,c$为一组勾股数。
选取基础勾股数3、4、5，将三个数同时扩大4倍得到12、16、20，验证如下：
$12^2=144$，$16^2=256$，$20^2=400$
因为$144+256=400$，即$12^2+16^2=20^2$，且12、16、20均为正整数，因此12、16、20是符合要求的勾股数。
（本题答案不唯一，3,4,5等也为正确答案）
【答案】
12,16,20（答案不唯一）
【知识点】
勾股数的概念；勾股定理的逆定理
【点评】
本题为结论开放题，难度较低，核心考查对勾股数定义的理解，记住常见基础勾股数，或将基础勾股数同时扩大正整数倍即可快速写出答案，解题时注意三个数必须均为正整数。
【难度系数】
0.9
