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14 三角形ABC与三角形A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)分别写出下列各点的坐标:A
(2)三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的?
(3)若P(x,y)是三角形ABC内部一点,则三角形A'B'C'内部的对应点P'的坐标为
(1)分别写出下列各点的坐标:A
(1,3)
,A' (-3,1)
.(2)三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的?
(3)若P(x,y)是三角形ABC内部一点,则三角形A'B'C'内部的对应点P'的坐标为
(x-4,y-2)
.答案
14.解:(1)$(1,3),(-3,1)$。
(2)(答案不唯一)先将三角形ABC向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度得到三角形$A'B'C'$。
(3)$(x-4,y-2)$。
(2)(答案不唯一)先将三角形ABC向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度得到三角形$A'B'C'$。
(3)$(x-4,y-2)$。
解析
【分析】
(1) 要确定平面直角坐标系中点的坐标，只需分别读取点对应的横坐标（x轴数值）和纵坐标（y轴数值），按（横坐标，纵坐标）的格式书写即可。
(2) 图形平移的规律和图形上任意对应点的平移规律一致，我们可以通过对比一组对应点的坐标变化，得出平移的方向和距离。
(3) 图形平移时，图形上所有点的平移规律完全相同，根据前面得到的平移坐标变化规律，就能直接写出对应点P'的坐标。
【解析】
(1) 观察坐标系，点A对应的横坐标为1，纵坐标为3，故A的坐标为$(1,3)$；点A'对应的横坐标为-3，纵坐标为1，故A'的坐标为$(-3,1)$。
(2) 选取对应点A和A'分析坐标变化：横坐标从1变为-3，减少了4，说明向左平移了4个单位长度；纵坐标从3变为1，减少了2，说明向下平移了2个单位长度。因此可得出平移方法：先将三角形ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形$A'B'C'$（也可先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，答案不唯一）。
(3) 由平移的坐标变化规律：横坐标减4，纵坐标减2，因此点$P(x,y)$的对应点$P'$的坐标为$(x-4,y-2)$。
【答案】
(1) $(1,3)$，$(-3,1)$
(2) 先将三角形ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形$A'B'C'$（答案不唯一）
(3) $(x-4,y-2)$
【知识点】
点的坐标确定；图形平移性质；平移坐标变化规律
【点评】
本题属于平移相关的基础题型，重点考察平移前后坐标的变化规律，掌握“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”的平移坐标变化规则即可快速解题，是对平移基础知识点的典型应用。
【难度系数】
0.85
(1) 要确定平面直角坐标系中点的坐标，只需分别读取点对应的横坐标（x轴数值）和纵坐标（y轴数值），按（横坐标，纵坐标）的格式书写即可。
(2) 图形平移的规律和图形上任意对应点的平移规律一致，我们可以通过对比一组对应点的坐标变化，得出平移的方向和距离。
(3) 图形平移时，图形上所有点的平移规律完全相同，根据前面得到的平移坐标变化规律，就能直接写出对应点P'的坐标。
【解析】
(1) 观察坐标系，点A对应的横坐标为1，纵坐标为3，故A的坐标为$(1,3)$；点A'对应的横坐标为-3，纵坐标为1，故A'的坐标为$(-3,1)$。
(2) 选取对应点A和A'分析坐标变化：横坐标从1变为-3，减少了4，说明向左平移了4个单位长度；纵坐标从3变为1，减少了2，说明向下平移了2个单位长度。因此可得出平移方法：先将三角形ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形$A'B'C'$（也可先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，答案不唯一）。
(3) 由平移的坐标变化规律：横坐标减4，纵坐标减2，因此点$P(x,y)$的对应点$P'$的坐标为$(x-4,y-2)$。
【答案】
(1) $(1,3)$，$(-3,1)$
(2) 先将三角形ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形$A'B'C'$（答案不唯一）
(3) $(x-4,y-2)$
【知识点】
点的坐标确定；图形平移性质；平移坐标变化规律
【点评】
本题属于平移相关的基础题型，重点考察平移前后坐标的变化规律，掌握“左减右加横坐标，上加下减纵坐标”的平移坐标变化规则即可快速解题，是对平移基础知识点的典型应用。
【难度系数】
0.85
15 小红和小兰对着如图所示的示意图,描述了超市的位置(图中小正方形的边长代表 100 m长),两人的说法都是正确的:
小红:“超市的坐标是$(300,300)$”;
小兰:“超市在图书馆的东北方向约 420 m 处”.
(1)按小红和小兰所说,在图中建立平面直角坐标系,并标出原点 O.
(2)求出超市到少年宫的距离.
(3)小华说:“公园、图书馆、超市在同一条直线上”.你同意小华的说法吗?请说明理由.如果公园与图书馆的直线距离约为 280 m,请写出公园相对于图书馆的位置.
(4)写出影院、学校、少年宫、广场的位置坐标,并计算这四个位置在示意图上围成的四边形面积.
小红:“超市的坐标是$(300,300)$”;
小兰:“超市在图书馆的东北方向约 420 m 处”.
(1)按小红和小兰所说,在图中建立平面直角坐标系,并标出原点 O.
(2)求出超市到少年宫的距离.
(3)小华说:“公园、图书馆、超市在同一条直线上”.你同意小华的说法吗?请说明理由.如果公园与图书馆的直线距离约为 280 m,请写出公园相对于图书馆的位置.
(4)写出影院、学校、少年宫、广场的位置坐标,并计算这四个位置在示意图上围成的四边形面积.
答案
15.解:(1)建立平面直角坐标系,并标出原点O如图所示。
(2)由图可知,超市到少年宫的距离为$6×100 = 600(\mathrm{m})$。
(3)同意. 理由:由平面直角坐标系可知,超市$(300,300)$,图书馆$(0,0)$,公园$(-200,-200)$,
∴ 公园、图书馆、超市都在第一、三象限的角平分线上,
∴ 同意小华的说法。
∵ 公园与图书馆的直线距离约为280 m,
∴ 公园在图书馆的西南方向约280 m处。
(4)由图可知,影院$(-200,400)$,学校$(0,-300)$,少年宫$(300,-300)$,广场$(400,0)$,
∴ 这四个位置在示意图上围成的四边形面积为 $600 × 700 - \frac{1}{2} × 200 × 700 - \frac{1}{2} × 100 × 300 - \frac{1}{2} × 400 × 600 = 215\ 000(\mathrm{m}^2)$。
解析
【分析】
解题时先从已知信息入手：已知小正方形边长代表100m，超市坐标为$(300,300)$，说明坐标系中1单位长度对应实际距离100m，且x轴正方向朝东、y轴正方向朝北；结合“超市在图书馆东北方向”可推断坐标原点O为图书馆的位置，以此建立坐标系即可解决第一问。第二问可通过读取超市、少年宫的坐标，计算两点的距离得到结果。第三问读取公园、图书馆、超市的坐标，观察横纵坐标的规律判断是否共线，再结合距离描述公园相对图书馆的位置。第四问先读取四个地点的坐标，用割补法，将四边形放入大矩形中，减去周边多余三角形的面积即可求出四边形面积。
【解析】
(1) 以图书馆位置为原点O，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向建立平面直角坐标系，1个单位长度对应100m，符合题中两人的描述，坐标系如图所示。
(2) 由坐标系得超市坐标为$(300,300)$，少年宫坐标为$(300,-300)$，两点横坐标相同，实际距离为：$[3 - (-3)]×100 = 6×100 = 600(\mathrm{m})$。
(3) 同意小华的说法。理由：由坐标系可得，超市坐标$(300,300)$，图书馆坐标$(0,0)$，公园坐标$(-200,-200)$，三个点的横纵坐标均满足$y=x$，都在第一、三象限的角平分线上，因此三点共线。已知公园与图书馆直线距离约为280m，公园位于图书馆的西南方向，因此公园在图书馆的西南方向约280m处。
(4) 读取各点坐标：影院$(-200,400)$，学校$(0,-300)$，少年宫$(300,-300)$，广场$(400,0)$。用割补法计算面积：先作包含四个点的矩形，矩形横向长为$400 - (-200) = 600(\mathrm{m})$，纵向高为$400 - (-300) = 700(\mathrm{m})$，矩形面积为$600×700$，再减去周边三个直角三角形的面积：
$S_{\mathrm{四边形}} = 600 × 700 - \frac{1}{2} × 200 × 700 - \frac{1}{2} × 100 × 300 - \frac{1}{2} × 400 × 600 = 420000 - 70000 - 15000 - 120000 = 215000(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1)建立平面直角坐标系,并标出原点O如图所示。
(2)超市到少年宫的距离为$\boxed{600\mathrm{m}}$。
(3)同意小华的说法，理由见解析；公园在图书馆的西南方向约280 m处。
(4)影院$\boxed{(-200,400)}$，学校$\boxed{(0,-300)}$，少年宫$\boxed{(300,-300)}$，广场$\boxed{(400,0)}$；围成的四边形面积为$\boxed{215000\mathrm{m}^2}$。
【知识点】
平面直角坐标系，位置与方向，割补法求面积
【点评】
本题结合生活场景，综合考查了平面直角坐标系的建立、坐标与实际距离的转换、共线判断以及不规则图形的面积计算，注重对基础知识的灵活应用，需要熟练掌握坐标相关性质，合理运用割补法求解面积。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知信息入手：已知小正方形边长代表100m，超市坐标为$(300,300)$，说明坐标系中1单位长度对应实际距离100m，且x轴正方向朝东、y轴正方向朝北；结合“超市在图书馆东北方向”可推断坐标原点O为图书馆的位置，以此建立坐标系即可解决第一问。第二问可通过读取超市、少年宫的坐标，计算两点的距离得到结果。第三问读取公园、图书馆、超市的坐标，观察横纵坐标的规律判断是否共线，再结合距离描述公园相对图书馆的位置。第四问先读取四个地点的坐标，用割补法，将四边形放入大矩形中，减去周边多余三角形的面积即可求出四边形面积。
【解析】
(1) 以图书馆位置为原点O，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向建立平面直角坐标系，1个单位长度对应100m，符合题中两人的描述，坐标系如图所示。
(2) 由坐标系得超市坐标为$(300,300)$，少年宫坐标为$(300,-300)$，两点横坐标相同，实际距离为：$[3 - (-3)]×100 = 6×100 = 600(\mathrm{m})$。
(3) 同意小华的说法。理由：由坐标系可得，超市坐标$(300,300)$，图书馆坐标$(0,0)$，公园坐标$(-200,-200)$，三个点的横纵坐标均满足$y=x$，都在第一、三象限的角平分线上，因此三点共线。已知公园与图书馆直线距离约为280m，公园位于图书馆的西南方向，因此公园在图书馆的西南方向约280m处。
(4) 读取各点坐标：影院$(-200,400)$，学校$(0,-300)$，少年宫$(300,-300)$，广场$(400,0)$。用割补法计算面积：先作包含四个点的矩形，矩形横向长为$400 - (-200) = 600(\mathrm{m})$，纵向高为$400 - (-300) = 700(\mathrm{m})$，矩形面积为$600×700$，再减去周边三个直角三角形的面积：
$S_{\mathrm{四边形}} = 600 × 700 - \frac{1}{2} × 200 × 700 - \frac{1}{2} × 100 × 300 - \frac{1}{2} × 400 × 600 = 420000 - 70000 - 15000 - 120000 = 215000(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1)建立平面直角坐标系,并标出原点O如图所示。
(2)超市到少年宫的距离为$\boxed{600\mathrm{m}}$。
(3)同意小华的说法，理由见解析；公园在图书馆的西南方向约280 m处。
(4)影院$\boxed{(-200,400)}$，学校$\boxed{(0,-300)}$，少年宫$\boxed{(300,-300)}$，广场$\boxed{(400,0)}$；围成的四边形面积为$\boxed{215000\mathrm{m}^2}$。
【知识点】
平面直角坐标系，位置与方向，割补法求面积
【点评】
本题结合生活场景，综合考查了平面直角坐标系的建立、坐标与实际距离的转换、共线判断以及不规则图形的面积计算，注重对基础知识的灵活应用，需要熟练掌握坐标相关性质，合理运用割补法求解面积。
【难度系数】
0.7
