登录
1. (★)下列各式中，一定是二次根式的是 （）
A.$\sqrt[3]{2}$
B.$\sqrt{-10}$
C.$\sqrt{a^2 + 1}$
D.$\sqrt{a}$
A.$\sqrt[3]{2}$
B.$\sqrt{-10}$
C.$\sqrt{a^2 + 1}$
D.$\sqrt{a}$
答案
C
解析
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{x}$（$x≥0$，根指数为2）的式子叫做二次根式，逐一分析选项：
1. 选项A：$\sqrt[3]{2}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式；
2. 选项B：$\sqrt{-10}$的被开方数$-10＜0$，式子无意义，不是二次根式；
3. 选项C：因为$a^2≥0$，所以$a^2+1≥1＞0$，被开方数恒为正，根指数为2，一定是二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{a}$中当$a＜0$时，被开方数为负，式子无意义，不一定是二次根式。
综上，一定是二次根式的是选项C。
1. 选项A：$\sqrt[3]{2}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式；
2. 选项B：$\sqrt{-10}$的被开方数$-10＜0$，式子无意义，不是二次根式；
3. 选项C：因为$a^2≥0$，所以$a^2+1≥1＞0$，被开方数恒为正，根指数为2，一定是二次根式；
4. 选项D：$\sqrt{a}$中当$a＜0$时，被开方数为负，式子无意义，不一定是二次根式。
综上，一定是二次根式的是选项C。
2. (★)下列叙述正确的是 （）
A.式子$\sqrt{1-x}$是二次根式
B.二次根式中的被开方数只能是正数
C.2的平方根是$\sqrt{2}$
D.3是$\pm\sqrt{3}$的平方
A.式子$\sqrt{1-x}$是二次根式
B.二次根式中的被开方数只能是正数
C.2的平方根是$\sqrt{2}$
D.3是$\pm\sqrt{3}$的平方
答案
D
解析
逐一分析选项：
1. 选项A：二次根式要求被开方数为非负数，当$1-x＜0$即$x＞1$时，$\sqrt{1-x}$无意义，不是二次根式，因此A错误。
2. 选项B：二次根式的被开方数是非负数，可以是0，并非只能是正数，因此B错误。
3. 选项C：2的平方根是$\pm\sqrt{2}$，不只是$\sqrt{2}$，因此C错误。
4. 选项D：计算可得$(\pm\sqrt{3})^2=3$，即3是$\pm\sqrt{3}$的平方，因此D正确。
1. 选项A：二次根式要求被开方数为非负数，当$1-x＜0$即$x＞1$时，$\sqrt{1-x}$无意义，不是二次根式，因此A错误。
2. 选项B：二次根式的被开方数是非负数，可以是0，并非只能是正数，因此B错误。
3. 选项C：2的平方根是$\pm\sqrt{2}$，不只是$\sqrt{2}$，因此C错误。
4. 选项D：计算可得$(\pm\sqrt{3})^2=3$，即3是$\pm\sqrt{3}$的平方，因此D正确。
3. (★)要使二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，$x$必须满足 （）
A.$x≤2$
B.$x≥2$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
A.$x≤2$
B.$x≥2$
C.$x＜2$
D.$x＞2$
答案
B
解析
要使二次根式有意义，需满足被开方数为非负数，因此可得不等式x-2≥0，解得x≥2。
4. (★)如果$\sqrt{(x-2)^2}=x-2$，那么$x$的取值范围是.
答案
$x≥2$
解析
解：
由二次根式的性质可知：$\sqrt{a^2}=|a|$
因此$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$
已知$\sqrt{(x-2)^2}=x-2$，即$|x-2|=x-2$
根据绝对值的性质，绝对值等于它本身的数是非负数，可得：
$x-2≥0$
解得$x≥2$
由二次根式的性质可知：$\sqrt{a^2}=|a|$
因此$\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$
已知$\sqrt{(x-2)^2}=x-2$，即$|x-2|=x-2$
根据绝对值的性质，绝对值等于它本身的数是非负数，可得：
$x-2≥0$
解得$x≥2$
5. (★★)若$1＜x＜2$，则$|x-3|+\sqrt{(x-1)^2}$的值为。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：
∵ 1 ＜ x ＜ 2，
∴ x - 3 ＜ 0，x - 1 ＞ 0，
∴ |x - 3| = 3 - x，
$\sqrt{(x-1)^2} = |x - 1| = x - 1$，
∴ 原式 = (3 - x) + (x - 1)
= 3 - x + x - 1
= 2
最终
∵ 1 ＜ x ＜ 2，
∴ x - 3 ＜ 0，x - 1 ＞ 0，
∴ |x - 3| = 3 - x，
$\sqrt{(x-1)^2} = |x - 1| = x - 1$，
∴ 原式 = (3 - x) + (x - 1)
= 3 - x + x - 1
= 2
最终
6. (★★)把下列非负数写成一个数的平方的形式.
(1)5；
(2)3.4；
(3)$x(x≥0)$.
(1)5；
(2)3.4；
(3)$x(x≥0)$.
答案
解：
(1) $5=(\sqrt{5})^2$
(2) $3.4=(\sqrt{3.4})^2$
(3) 因为$x≥0$，所以$x=(\sqrt{x})^2$
(1) $5=(\sqrt{5})^2$
(2) $3.4=(\sqrt{3.4})^2$
(3) 因为$x≥0$，所以$x=(\sqrt{x})^2$
7. (★★)化简：
(1)$\sqrt{9}$；
(2)$\sqrt{(-4)^2}$；
(3)$\sqrt{\frac{1}{8}}$；
(4)$\sqrt{(3.14 - π)^2}$。
(1)$\sqrt{9}$；
(2)$\sqrt{(-4)^2}$；
(3)$\sqrt{\frac{1}{8}}$；
(4)$\sqrt{(3.14 - π)^2}$。
答案
解：
(1) $\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3$
(2) $\sqrt{(-4)^2}=|-4|=4$
(3) $\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{1×2}{8×2}}=\sqrt{\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
(4) 因为$3.14＜π$，即$3.14-π＜0$，所以$\sqrt{(3.14-π)^2}=|3.14-π|=π-3.14$
(1) $\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3$
(2) $\sqrt{(-4)^2}=|-4|=4$
(3) $\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{1×2}{8×2}}=\sqrt{\frac{2}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
(4) 因为$3.14＜π$，即$3.14-π＜0$，所以$\sqrt{(3.14-π)^2}=|3.14-π|=π-3.14$
8. (★★)求下列各式的值.
(1)$(\sqrt{\dfrac{5}{4}})^2$；
(2)$(-2\sqrt{3})^2$；
(3)$\sqrt{(-\dfrac{1}{2})^2}$.
(1)$(\sqrt{\dfrac{5}{4}})^2$；
(2)$(-2\sqrt{3})^2$；
(3)$\sqrt{(-\dfrac{1}{2})^2}$.
答案
解：
(1) 根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，可得
$(\sqrt{\dfrac{5}{4}})^2=\dfrac{5}{4}$
(2) 计算得：
$(-2\sqrt{3})^2=(-2)^2× (\sqrt{3})^2=4× 3=12$
(3) 根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得
$\sqrt{(-\dfrac{1}{2})^2}=|-\dfrac{1}{2}|=\dfrac{1}{2}$
(1) 根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a\ (a≥0)$，可得
$(\sqrt{\dfrac{5}{4}})^2=\dfrac{5}{4}$
(2) 计算得：
$(-2\sqrt{3})^2=(-2)^2× (\sqrt{3})^2=4× 3=12$
(3) 根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得
$\sqrt{(-\dfrac{1}{2})^2}=|-\dfrac{1}{2}|=\dfrac{1}{2}$
9. (★★)已知$y=\sqrt{2-x}+\sqrt{x-2}+5$，求$\frac{x}{y}$的值.
答案
解：
由二次根式有意义的条件可得：
$\begin{cases}2-x≥0 \\x-2≥0\end{cases}$
解得$x=2$。
将$x=2$代入$y=\sqrt{2-x}+\sqrt{x-2}+5$，得：
$y=0+0+5=5$
因此$\frac{x}{y}=\frac{2}{5}$。
由二次根式有意义的条件可得：
$\begin{cases}2-x≥0 \\x-2≥0\end{cases}$
解得$x=2$。
将$x=2$代入$y=\sqrt{2-x}+\sqrt{x-2}+5$，得：
$y=0+0+5=5$
因此$\frac{x}{y}=\frac{2}{5}$。
