1[中]如图,跑道由两个半圆部分和两条直跑道AD,BC组成,两个半圆跑道的长都是122 m,两条直跑道的长都是85 m.小斌站在C处,小强站在B处,两人同时沿逆时针方向跑步,小斌每秒跑7 m,小强每秒跑8 m.当小强第一次追上小斌时,他们的位置在 ()


A.半圆跑道AB上
B.直跑道BC上
C.半圆跑道CD上
D.直跑道AD上

设x秒后,小强第一次追上小斌. 根据题意得8x-7x=85,解得x=85,所以7x=7×85=595. 因为122+85+122+85+122=536(m),536+85=621(m),536＜595＜621,所以当小强第一次追上小斌时,他们的位置在直跑道AD上.

2[中]如图,甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A,C同时沿正方形的边开始匀速运动,甲按顺时针方向运动,乙按逆时针方向运动,若乙的速度是甲的3倍,那么它们第一次相遇在AD边上,则它们第2023次相遇在边上.

设正方形的边长为a. 因为乙的速度是甲的速度的3倍,运动时间相同,所以甲、乙所运动的路程比为1:3. 由题意知,①第一次相遇时甲、乙所运动的路程和为2a,乙所运动的路程为$2a×\frac{3}{1+3}=\frac{3a}{2}$,甲所运动的路程为$2a×\frac{1}{1+3}=\frac{a}{2}$,在AD边的中点相遇;②第一次相遇到第二次相遇时甲、乙所运动的路程和为4a,乙所运动的路程为$4a×\frac{3}{1+3}=3a$,甲所运动的路程为$4a×\frac{1}{1+3}=a$,在CD边的中点相遇;③第二次相遇到第三次相遇时甲、乙所运动的路程和为4a,乙所运动的路程为$4a×\frac{3}{1+3}=3a$,甲所运动的路程为$4a×\frac{1+3}{1}=a$,在BC边的中点相遇;④第三次相遇到第四次相遇时甲、乙所运动的路程和为4a,乙所运动的路程为$4a×\frac{3}{1+3}=3a$,甲所运动的路程为$4a×\frac{1}{1+3}=a$,在AB边的中点相遇;⑤第四次相遇到第五次相遇时甲、乙所运动的路程和为4a,乙所运动的路程为$4a×\frac{3}{1+3}=3a$,甲所运动的路程为$4a×\frac{1}{1+3}=a$,在AD边的中点相遇. 综上可知,每四次一个循环. 因为2023÷4=505……3,所以它们第2023次相遇在BC边上. 故答案为BC.

3[2026广西河池期末,中]某学校举办了迎新春中国象棋比赛,以下是部分选手的积分记录表:

(1)本次比赛胜一局得分,平一局得分,负一局得分.
(2)根据积分规则,请求出选手E在已经进行的12局比赛中胜、平各多少局.
(3)已知某选手F的负局数是胜局数的一半(比赛总局数为12),他的胜局积分能等于平局积分的四倍吗?请说明理由.
积分的四倍吗？请说明理由.
刷素养 走向重高

(1)由A的积分可知,胜一局的积分为36÷12=3(分),由D的积分可知,负一局的积分为(12-3×6)÷6=(12-18)÷6=-6÷6=-1(分),由C的积分可知,平一局的积分为[16-3×5-(-1)×3]÷4=(16-15+3)÷4=4÷4=1(分),故答案为3,1,-1.
(2)设选手E在已经进行的12局比赛中胜y局,则平(12-y-1)局. 根据题意得3y+(12-y-1)-1=18,解得y=4,则12-y-1=7.
答:选手E在已经进行的12局比赛中胜4局,平7局.
(3)不能. 理由如下:设选手F的负局数为x,则胜局数为2x,平局数为12-x-2x. 根据题意得3×2x=4×1×(12-x-2x),解得x=$\frac{8}{3}$,不是整数,故胜局积分不能等于平局积分的四倍.

4 思想方法 数形结合 [2025 吉林长春期末,中]如图,已知数轴上有A,B两点,分别代表-40,20,两只电子蚂蚁甲、乙分别从A,B两点同时出发,甲沿线段AB以1个单位长度/秒的速度向右运动,甲到达点B处时运动停止,乙沿BA方向以4个单位长度/秒的速度向左运动.

(1)A,B两点间的距离为个单位长度;乙到达A点时共运动了秒.
(2)甲、乙在数轴上的哪个数对应的点相遇?
(3)多少秒时,甲、乙相距10个单位长度?
(4)若乙到达A点后立刻掉头并保持速度不变向右运动,则甲到达B点前,甲、乙还能在数轴上相遇吗?若能,求出相遇点所对应的数;若不能,请说明理由.

(1)A,B两点间的距离为|-40-20|=60(个)单位长度,乙到达A点时共运动了60÷4=15(秒). 故答案为60,15.
(2)设甲、乙经过x秒相遇. 根据题意得x+4x=60,解得x=12,所以-40+x=-28.
答:甲、乙在数轴上-28对应的点相遇.
(3)设y秒时,甲、乙相距10个单位长度. 相遇前,根据题意得,y+4y=60-10,解得y=10;相遇后,根据题意得y+4y-60=10,解得y=14.
答:10秒或14秒时,甲、乙相距10个单位长度.
(4)能. 乙到达A点时,甲位于-40+15=-25对应的点上,乙追上甲需要15÷(4-1)=5(秒),则相遇点对应的数是-25+5=-20.