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6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°。将△ABC折叠，使点A落在BC边上的A₁处，折痕为CD，则∠A₁DB=
10°
。答案
$10°$
解析
【分析】
首先根据已知的直角三角形两个锐角的条件，利用三角形内角和先算出∠B的度数；再根据折叠的性质，得到折叠后对应角∠CA₁D与原角∠A相等；最后利用三角形外角的性质，即可推导出∠A₁DB的度数，解题过程要紧扣已知条件和对应几何性质，避免无依据计算。
【解析】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，
根据三角形内角和为180°，得：
$∠ B=180°-∠ ACB-∠ A=180°-90°-50°=40°$
由折叠的性质可得：$∠ CA_1D=∠ A=50°$
∵$∠ CA_1D$是△$A_1BD$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴$∠ CA_1D=∠ B+∠ A_1DB$
代入数值得：$∠ A_1DB=∠ CA_1D-∠ B=50°-40°=10°$
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理；折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是通过折叠的性质得到相等的角，再结合三角形的角度计算性质求解，熟练掌握基础几何性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先根据已知的直角三角形两个锐角的条件，利用三角形内角和先算出∠B的度数；再根据折叠的性质，得到折叠后对应角∠CA₁D与原角∠A相等；最后利用三角形外角的性质，即可推导出∠A₁DB的度数，解题过程要紧扣已知条件和对应几何性质，避免无依据计算。
【解析】
解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，
根据三角形内角和为180°，得：
$∠ B=180°-∠ ACB-∠ A=180°-90°-50°=40°$
由折叠的性质可得：$∠ CA_1D=∠ A=50°$
∵$∠ CA_1D$是△$A_1BD$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴$∠ CA_1D=∠ B+∠ A_1DB$
代入数值得：$∠ A_1DB=∠ CA_1D-∠ B=50°-40°=10°$
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理；折叠的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是通过折叠的性质得到相等的角，再结合三角形的角度计算性质求解，熟练掌握基础几何性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
7.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC和△DEF(顶点为网格线的交点)以及过格点的直线l。
(1)将△ABC向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,画出平移后的三角形；
(2)画出△DEF关于直线l对称的三角形。
(1)将△ABC向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度,画出平移后的三角形；
(2)画出△DEF关于直线l对称的三角形。
答案
(1)如图,$△A'B'C'$即为所求。
(2)如图,$△D'E'F'$即为所求。
解析
【分析】
本题是网格背景下的图形变换作图题，解题思路清晰：
(1) 平移作图的关键是所有顶点按相同规则平移：平移只改变图形位置，不改变形状和大小，因此只需先确定△ABC的三个顶点A、B、C，将三个顶点分别按“向右平移2个单位、再向下平移2个单位”的要求找到对应点，最后顺次连接三个对应点就能得到平移后的三角形。
(2) 轴对称作图的关键是找顶点关于对称轴的对称点：关于直线对称的两个图形，对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴，在网格中我们可以通过数格的方式快速确定每个顶点关于直线l的对称点，再顺次连接对称点即可得到对称后的三角形。
【解析】
(1) 平移作图步骤：
① 找到△ABC的三个格点顶点A、B、C；
② 分别对三个顶点进行平移：将点A向右数2个小格，再向下数2个小格，得到对应点A'；用同样的方法得到点B的对应点B'、点C的对应点C'；
③ 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的△A'B'C'就是平移后的三角形。
(2) 轴对称作图步骤：
① 找到△DEF的三个格点顶点D、E、F；
② 分别找三个顶点关于直线l的对称点：数出点D到直线l的格距，在直线l另一侧相同格距的位置确定点D的对称点D'；同理得到点E的对称点E'、点F的对称点F'；
③ 顺次连接D'E'、E'F'、F'D'，得到的△D'E'F'就是△DEF关于直线l对称的三角形。
【答案】
(1)如图,$△A'B'C'$即为所求。
(2)如图,$△D'E'F'$即为所求。
【知识点】
平移作图；轴对称作图；网格作图
【点评】
本题是基础的图形变换类作图题，核心考查平移和轴对称的作图规则，解题重点是准确找到各顶点变换后的对应点，作图时注意数格准确，避免平移距离错误、对称点位置找偏的失误。
【难度系数】
0.85
本题是网格背景下的图形变换作图题，解题思路清晰：
(1) 平移作图的关键是所有顶点按相同规则平移：平移只改变图形位置，不改变形状和大小，因此只需先确定△ABC的三个顶点A、B、C，将三个顶点分别按“向右平移2个单位、再向下平移2个单位”的要求找到对应点，最后顺次连接三个对应点就能得到平移后的三角形。
(2) 轴对称作图的关键是找顶点关于对称轴的对称点：关于直线对称的两个图形，对应点到对称轴的距离相等，对应点连线垂直于对称轴，在网格中我们可以通过数格的方式快速确定每个顶点关于直线l的对称点，再顺次连接对称点即可得到对称后的三角形。
【解析】
(1) 平移作图步骤：
① 找到△ABC的三个格点顶点A、B、C；
② 分别对三个顶点进行平移：将点A向右数2个小格，再向下数2个小格，得到对应点A'；用同样的方法得到点B的对应点B'、点C的对应点C'；
③ 顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，得到的△A'B'C'就是平移后的三角形。
(2) 轴对称作图步骤：
① 找到△DEF的三个格点顶点D、E、F；
② 分别找三个顶点关于直线l的对称点：数出点D到直线l的格距，在直线l另一侧相同格距的位置确定点D的对称点D'；同理得到点E的对称点E'、点F的对称点F'；
③ 顺次连接D'E'、E'F'、F'D'，得到的△D'E'F'就是△DEF关于直线l对称的三角形。
【答案】
(1)如图,$△A'B'C'$即为所求。
(2)如图,$△D'E'F'$即为所求。
【知识点】
平移作图；轴对称作图；网格作图
【点评】
本题是基础的图形变换类作图题，核心考查平移和轴对称的作图规则，解题重点是准确找到各顶点变换后的对应点，作图时注意数格准确，避免平移距离错误、对称点位置找偏的失误。
【难度系数】
0.85
8.如图,方格图中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都是格点。
(1)画出$△ ABC$关于直线$MN$对称的$△ A_1B_1C_1$；
(2)求$AA_1$的长度。
(1)画出$△ ABC$关于直线$MN$对称的$△ A_1B_1C_1$；
(2)求$AA_1$的长度。
答案
(1)如图,$△A_1B_1C_1$即为所求。
(2)$AA_1$的长度为10。
解析
【分析】
(1) 要画△ABC关于直线MN的对称图形，依据轴对称的性质，对称点的连线被对称轴垂直平分，所以先找到点A、B、C关于直线MN的对称点：先数出每个点到MN的水平距离，再在MN的另一侧相同距离处确定对应点A₁、B₁、C₁，最后顺次连接三个对应点即可。
(2) 求AA₁的长度时，根据轴对称的性质，点A和它的对称点A₁到对称轴MN的距离相等，先数出点A到MN的水平距离为5，又因为MN是竖直直线，A和A₁在同一条水平线上，所以AA₁的长度是点A到MN距离的2倍，直接计算即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 过点A作MN的垂线，数得A到MN的水平格数为5，在MN右侧距离MN5格的水平位置找到A的对称点A₁；
② 点B在MN上，所以它的对称点B₁与B重合；
③ 过点C作MN的垂线，数得C到MN的水平格数为2，在MN右侧距离MN2格的位置找到C的对称点C₁；
④ 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁。
(2) 由轴对称的性质可知，点A到直线MN的距离等于点A₁到直线MN的距离，数得点A到MN的水平距离为5，且A、A₁在同一条水平直线上，因此$AA_1=5×2=10$。
【答案】
(1) 如图,$△A_1B_1C_1$即为所求。
(2) $AA_1$的长度为10。
【知识点】
轴对称的性质，作轴对称图形，格点距离计算
【点评】
本题考查轴对称相关知识，作图的关键是准确找到各顶点的对称点，计算距离时要利用好轴对称中对应点到对称轴距离相等的性质，整体难度较低，侧重对基础概念和基本操作的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 要画△ABC关于直线MN的对称图形，依据轴对称的性质，对称点的连线被对称轴垂直平分，所以先找到点A、B、C关于直线MN的对称点：先数出每个点到MN的水平距离，再在MN的另一侧相同距离处确定对应点A₁、B₁、C₁，最后顺次连接三个对应点即可。
(2) 求AA₁的长度时，根据轴对称的性质，点A和它的对称点A₁到对称轴MN的距离相等，先数出点A到MN的水平距离为5，又因为MN是竖直直线，A和A₁在同一条水平线上，所以AA₁的长度是点A到MN距离的2倍，直接计算即可。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 过点A作MN的垂线，数得A到MN的水平格数为5，在MN右侧距离MN5格的水平位置找到A的对称点A₁；
② 点B在MN上，所以它的对称点B₁与B重合；
③ 过点C作MN的垂线，数得C到MN的水平格数为2，在MN右侧距离MN2格的位置找到C的对称点C₁；
④ 顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁。
(2) 由轴对称的性质可知，点A到直线MN的距离等于点A₁到直线MN的距离，数得点A到MN的水平距离为5，且A、A₁在同一条水平直线上，因此$AA_1=5×2=10$。
【答案】
(1) 如图,$△A_1B_1C_1$即为所求。
(2) $AA_1$的长度为10。
【知识点】
轴对称的性质，作轴对称图形，格点距离计算
【点评】
本题考查轴对称相关知识，作图的关键是准确找到各顶点的对称点，计算距离时要利用好轴对称中对应点到对称轴距离相等的性质，整体难度较低，侧重对基础概念和基本操作的考查。
【难度系数】
0.8
9.如图，在$△ ABC$中，$∠ B=90°$，沿直线$DE$将$△ ABC$折叠，使点$C$落在点$A$处。已知$∠ AEB=50°$，$△ ABC$的周长比$△ ABE$的周长长12 cm，求：
(1)$∠ C$的度数；
(2)线段$AC$的长。
(1)$∠ C$的度数；
(2)线段$AC$的长。
答案
解:(1)由题意可知$∠AED=∠DEC,ED⊥AC$。
因为$∠AEB=50°$,
所以$∠AEC=180°-∠AEB=180°-50°=130°$,
所以$∠DEC=\frac{1}{2}∠AEC=\frac{1}{2}×130°=65°$,
所以$∠C=90°-∠DEC=90°-65°=25°$。
(2)因为$△ABC$的周长$=AB+BE+CE+AC$,
$△ABE$的周长$=AB+BE+AE$,
由折叠的性质可知$AE=CE$,
所以$△ABC$的周长$-△ABE$的周长$=AC$。
因为$△ABC$的周长比$△ABE$的周长长12 cm,
所以$AC=12$ cm。
因为$∠AEB=50°$,
所以$∠AEC=180°-∠AEB=180°-50°=130°$,
所以$∠DEC=\frac{1}{2}∠AEC=\frac{1}{2}×130°=65°$,
所以$∠C=90°-∠DEC=90°-65°=25°$。
(2)因为$△ABC$的周长$=AB+BE+CE+AC$,
$△ABE$的周长$=AB+BE+AE$,
由折叠的性质可知$AE=CE$,
所以$△ABC$的周长$-△ABE$的周长$=AC$。
因为$△ABC$的周长比$△ABE$的周长长12 cm,
所以$AC=12$ cm。
解析
【分析】
（1）求解∠C的度数，首先利用折叠的轴对称性质：折叠前后对应角相等，且折痕DE与对应点连线AC垂直。先根据平角的定义，由已知的∠AEB求出∠AEC的度数，再由折叠性质得到∠DEC是∠AEC的一半，最后在Rt△DEC中利用直角三角形两锐角互余即可算出∠C的度数。
（2）求解AC的长度，先分别写出△ABC和△ABE的周长表达式，再结合折叠性质得到AE=CE，化简两个周长的差值，即可发现差值正好等于AC的长度，结合题目给出的周长差条件直接得到AC的长度。
【解析】
(1) 由折叠的性质可知：∠AED=∠DEC，ED⊥AC。
∵ ∠AEB=50°，∠AEB+∠AEC=180°（平角的定义）
∴ ∠AEC=180°-∠AEB=180°-50°=130°
∴ ∠DEC=$\frac{1}{2}$∠AEC=$\frac{1}{2}$×130°=65°
∵ ED⊥AC，
∴ ∠EDC=90°
在Rt△EDC中，∠C+∠DEC=90°（直角三角形两锐角互余）
∴ ∠C=90°-∠DEC=90°-65°=25°
(2) 由题意得：
△ABC的周长 = AB + BC + AC = AB + BE + CE + AC
△ABE的周长 = AB + BE + AE
由折叠的性质可知：AE=CE
∴ △ABC的周长 - △ABE的周长 = (AB + BE + CE + AC) - (AB + BE + AE) = AC
∵ △ABC的周长比△ABE的周长长12 cm
∴ AC=12 cm
【答案】
(1) $\boldsymbol{25°}$；(2) $\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
轴对称的性质；直角三角形的性质；周长的计算
【点评】
本题重点考查折叠（轴对称）性质的应用，解题的关键是熟练掌握折叠前后对应角相等、对应边相等的性质，结合图形的角度关系、周长的和差关系即可快速求解，是轴对称应用的基础题型。
【难度系数】
0.75
（1）求解∠C的度数，首先利用折叠的轴对称性质：折叠前后对应角相等，且折痕DE与对应点连线AC垂直。先根据平角的定义，由已知的∠AEB求出∠AEC的度数，再由折叠性质得到∠DEC是∠AEC的一半，最后在Rt△DEC中利用直角三角形两锐角互余即可算出∠C的度数。
（2）求解AC的长度，先分别写出△ABC和△ABE的周长表达式，再结合折叠性质得到AE=CE，化简两个周长的差值，即可发现差值正好等于AC的长度，结合题目给出的周长差条件直接得到AC的长度。
【解析】
(1) 由折叠的性质可知：∠AED=∠DEC，ED⊥AC。
∵ ∠AEB=50°，∠AEB+∠AEC=180°（平角的定义）
∴ ∠AEC=180°-∠AEB=180°-50°=130°
∴ ∠DEC=$\frac{1}{2}$∠AEC=$\frac{1}{2}$×130°=65°
∵ ED⊥AC，
∴ ∠EDC=90°
在Rt△EDC中，∠C+∠DEC=90°（直角三角形两锐角互余）
∴ ∠C=90°-∠DEC=90°-65°=25°
(2) 由题意得：
△ABC的周长 = AB + BC + AC = AB + BE + CE + AC
△ABE的周长 = AB + BE + AE
由折叠的性质可知：AE=CE
∴ △ABC的周长 - △ABE的周长 = (AB + BE + CE + AC) - (AB + BE + AE) = AC
∵ △ABC的周长比△ABE的周长长12 cm
∴ AC=12 cm
【答案】
(1) $\boldsymbol{25°}$；(2) $\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
轴对称的性质；直角三角形的性质；周长的计算
【点评】
本题重点考查折叠（轴对称）性质的应用，解题的关键是熟练掌握折叠前后对应角相等、对应边相等的性质，结合图形的角度关系、周长的和差关系即可快速求解，是轴对称应用的基础题型。
【难度系数】
0.75
