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1. 如图，CA为$\odot O$的切线，切点为A，点B在$\odot O$上. 如果$∠ CAB=55°$，那么$∠ AOB$的度数为(
A.$55°$
B.$90°$
C.$110°$
D.$120°$
C
).A.$55°$
B.$90°$
C.$110°$
D.$120°$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决本题，首先利用切线的性质得到垂直关系，先计算出∠OAB的度数；再结合同圆半径相等可知△OAB是等腰三角形，得到两个底角相等，最后利用三角形内角和即可求出∠AOB的度数。
【解析】
∵CA是⊙O的切线，切点为A，根据切线的性质可得：OA⊥AC，即∠OAC=90°。
已知∠CAB=55°，
∴∠OAB=∠OAC - ∠CAB=90°-55°=35°。
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，即△OAB为等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA=35°。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-35°-35°=110°。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题，解题的突破口是熟练掌握切线垂直于过切点的半径这一性质，再结合等腰三角形的角度关系即可求解，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先利用切线的性质得到垂直关系，先计算出∠OAB的度数；再结合同圆半径相等可知△OAB是等腰三角形，得到两个底角相等，最后利用三角形内角和即可求出∠AOB的度数。
【解析】
∵CA是⊙O的切线，切点为A，根据切线的性质可得：OA⊥AC，即∠OAC=90°。
已知∠CAB=55°，
∴∠OAB=∠OAC - ∠CAB=90°-55°=35°。
∵OA、OB都是⊙O的半径，
∴OA=OB，即△OAB为等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA=35°。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-35°-35°=110°。
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题，解题的突破口是熟练掌握切线垂直于过切点的半径这一性质，再结合等腰三角形的角度关系即可求解，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AB是$\odot O$的直径，AC是$\odot O$的切线，A为切点，连接BC交$\odot O$于点D，连接AD. 若$∠ ABC=45°$，则下列结论正确的是(
A.$AD=\frac{1}{2}BC$
B.$AD=\frac{1}{2}AC$
C.$AC＞AB$
D.$AD＞DC$
A
).A.$AD=\frac{1}{2}BC$
B.$AD=\frac{1}{2}AC$
C.$AC＞AB$
D.$AD＞DC$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AC是圆的切线，可推出AC与直径AB垂直，结合∠ABC=45°，能判断出△ABC是等腰直角三角形；再根据直径所对的圆周角是直角，得到AD垂直BC，结合等腰三角形三线合一的性质可知D是BC中点，最后利用直角三角形斜边中线的性质判断各选项即可。
【解析】
1. 由切线的性质得：
∵AC是$\odot O$的切线，A为切点，
∴$∠ BAC=90°$。
2. 结合$∠ ABC=45°$，可得$△ ABC$是等腰直角三角形，因此$AB=AC$，故选项C错误。
3. 由圆周角定理得：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
4. 根据等腰三角形三线合一的性质，AD是等腰直角$△ ABC$底边BC上的高，因此D是BC的中点。
5. 在$Rt△ ABC$中，AD是斜边BC的中线，因此$AD=\frac{1}{2}BC$，故选项A正确；
同时由等腰直角三角形的性质可得$AD=BD=DC=\frac{1}{2}BC$，$AC=\sqrt{2}AD$，因此$AD=\frac{\sqrt{2}}{2}AC$，选项B、D错误。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质和特殊三角形性质的综合应用题，解题关键是熟练运用切线、圆周角的相关性质推出直角，再结合等腰三角形的特征判断线段关系，是圆章节的基础典型题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先由AC是圆的切线，可推出AC与直径AB垂直，结合∠ABC=45°，能判断出△ABC是等腰直角三角形；再根据直径所对的圆周角是直角，得到AD垂直BC，结合等腰三角形三线合一的性质可知D是BC中点，最后利用直角三角形斜边中线的性质判断各选项即可。
【解析】
1. 由切线的性质得：
∵AC是$\odot O$的切线，A为切点，
∴$∠ BAC=90°$。
2. 结合$∠ ABC=45°$，可得$△ ABC$是等腰直角三角形，因此$AB=AC$，故选项C错误。
3. 由圆周角定理得：
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$，即$AD⊥ BC$。
4. 根据等腰三角形三线合一的性质，AD是等腰直角$△ ABC$底边BC上的高，因此D是BC的中点。
5. 在$Rt△ ABC$中，AD是斜边BC的中线，因此$AD=\frac{1}{2}BC$，故选项A正确；
同时由等腰直角三角形的性质可得$AD=BD=DC=\frac{1}{2}BC$，$AC=\sqrt{2}AD$，因此$AD=\frac{\sqrt{2}}{2}AC$，选项B、D错误。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质和特殊三角形性质的综合应用题，解题关键是熟练运用切线、圆周角的相关性质推出直角，再结合等腰三角形的特征判断线段关系，是圆章节的基础典型题。
【难度系数】
0.8
3. 如图，PA切$\odot O$于点A，PO交$\odot O$于点B。若$PA=8$，$OP=10$，则线段PB的长为
4
。答案
3. 4
解析
【分析】
遇到切线相关的计算问题，首先联想到切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此我们可以连接OA构造直角三角形OAP，再利用勾股定理求出圆的半径OA的长度，最后根据PB=OP-OB（OB和OA都是圆的半径）即可求出PB的长度。
【解析】
连接OA，
∵PA切$\odot O$于点A，
∴OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OAP$中，$PA=8$，$OP=10$，根据勾股定理得：
$OA=\sqrt{OP^2-PA^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OA=6$，
∴$PB=OP-OB=10-6=4$。
【答案】
4
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题解题核心是通过连接过切点的半径构造直角三角形，再结合勾股定理求出圆的半径，即可快速得到结果，是切线性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
遇到切线相关的计算问题，首先联想到切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此我们可以连接OA构造直角三角形OAP，再利用勾股定理求出圆的半径OA的长度，最后根据PB=OP-OB（OB和OA都是圆的半径）即可求出PB的长度。
【解析】
连接OA，
∵PA切$\odot O$于点A，
∴OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ OAP$中，$PA=8$，$OP=10$，根据勾股定理得：
$OA=\sqrt{OP^2-PA^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$，
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴$OB=OA=6$，
∴$PB=OP-OB=10-6=4$。
【答案】
4
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题解题核心是通过连接过切点的半径构造直角三角形，再结合勾股定理求出圆的半径，即可快速得到结果，是切线性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
4. 如图，AB为$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，D在线段AB的延长线上，$∠ DCB=∠ A$. 求证：CD是$\odot O$的切线. 
第4题
第4题答案
证明：
∵ AB为$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，
∴ $∠ ACB = 90°$。
∵ $OA = OC$，
∴ $∠ A = ∠ OCA$。
又∵ $∠ DCB = ∠ A$，
∴ $∠ OCA = ∠ DCB$。
∴ $∠ OCD = ∠ OCB + ∠ DCB = ∠ OCB + ∠ OCA = ∠ ACB = 90°$，
即 $OC ⊥ CD$。
又∵ $OC$是$\odot O$的半径，
∴ $CD$是$\odot O$的切线。
∵ AB为$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，
∴ $∠ ACB = 90°$。
∵ $OA = OC$，
∴ $∠ A = ∠ OCA$。
又∵ $∠ DCB = ∠ A$，
∴ $∠ OCA = ∠ DCB$。
∴ $∠ OCD = ∠ OCB + ∠ DCB = ∠ OCB + ∠ OCA = ∠ ACB = 90°$，
即 $OC ⊥ CD$。
又∵ $OC$是$\odot O$的半径，
∴ $CD$是$\odot O$的切线。
解析
【分析】
要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，已知CD与$\odot O$有公共点C，因此只需证明半径OC与CD垂直即可。首先利用直径所对圆周角为直角得到$∠ ACB=90°$，再结合等腰三角形等边对等角的性质，以及题目给出的$∠ DCB=∠ A$的条件，通过角的等量代换推导出$∠ OCD=90°$，即可得到$OC⊥ CD$，从而证明结论。
【解析】
证明：
∵ AB为$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，
∴ $∠ ACB = 90°$。
∵ $OA = OC$，
∴ $∠ A = ∠ OCA$。
又
∵ $∠ DCB = ∠ A$，
∴ $∠ OCA = ∠ DCB$。
∴ $∠ OCD = ∠ OCB + ∠ DCB = ∠ OCB + ∠ OCA = ∠ ACB = 90°$，
即 $OC ⊥ CD$。
又
∵ $OC$是$\odot O$的半径，
∴ $CD$是$\odot O$的切线。
【答案】
CD是$\odot O$的切线
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是切线判定的基础题型，核心考查“直线与圆有交点时，连半径、证垂直”的切线证明思路，解题过程中需要灵活运用圆周角性质和角的等量代换，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，已知CD与$\odot O$有公共点C，因此只需证明半径OC与CD垂直即可。首先利用直径所对圆周角为直角得到$∠ ACB=90°$，再结合等腰三角形等边对等角的性质，以及题目给出的$∠ DCB=∠ A$的条件，通过角的等量代换推导出$∠ OCD=90°$，即可得到$OC⊥ CD$，从而证明结论。
【解析】
证明：
∵ AB为$\odot O$的直径，C是$\odot O$上的一点，
∴ $∠ ACB = 90°$。
∵ $OA = OC$，
∴ $∠ A = ∠ OCA$。
又
∵ $∠ DCB = ∠ A$，
∴ $∠ OCA = ∠ DCB$。
∴ $∠ OCD = ∠ OCB + ∠ DCB = ∠ OCB + ∠ OCA = ∠ ACB = 90°$，
即 $OC ⊥ CD$。
又
∵ $OC$是$\odot O$的半径，
∴ $CD$是$\odot O$的切线。
【答案】
CD是$\odot O$的切线
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是切线判定的基础题型，核心考查“直线与圆有交点时，连半径、证垂直”的切线证明思路，解题过程中需要灵活运用圆周角性质和角的等量代换，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
