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6.如图,点A,B,C,D的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则点E的坐标不可能是 (
A.(6,0)
B.(6,3)
C.(6,5)
D.(4,2)
B
)A.(6,0)
B.(6,3)
C.(6,5)
D.(4,2)
答案
B
解析
【分析】
首先分析△ABC的特征：先根据A、B、C的坐标计算△ABC的边长和夹角，可知△ABC是直角三角形，两条直角边的比为2:1。要使以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则△CDE也需为直角三角形，且两条直角边的比为2:1或1:2，接下来结合每个选项给出的E点坐标，计算△CDE的直角边长度，验证比例是否符合即可。
【解析】
解：由点A(1,7)、B(1,1)、C(4,1)可得：
AB=7-1=6，BC=4-1=3，AB⊥BC，即∠B=90°，$\frac{AB}{BC}=\frac{6}{3}=2$。
CD=6-4=2，CD为水平线段（y坐标均为1）。
对各选项逐一分析：
A. 当E为(6,0)时，DE⊥CD，DE=1-0=1，$\frac{CD}{DE}=\frac{2}{1}=2$，∠D=∠B=90°，根据两边成比例且夹角相等，可得△CDE∽△ABC，不符合题意；
B. 当E为(6,3)时，DE⊥CD，DE=3-1=2，$\frac{CD}{DE}=\frac{2}{2}=1≠2$且$≠\frac{1}{2}$，对应边比例不相等，△CDE与△ABC不相似，符合题意；
C. 当E为(6,5)时，DE⊥CD，DE=5-1=4，$\frac{DE}{CD}=\frac{4}{2}=2$，∠D=∠B=90°，根据两边成比例且夹角相等，可得△EDC∽△ABC，不符合题意；
D. 当E为(4,2)时，CE⊥CD，CE=2-1=1，$\frac{CD}{CE}=\frac{2}{1}=2$，∠C=∠B=90°，根据两边成比例且夹角相等，可得△DCE∽△ABC，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；坐标与图形性质；比例线段
【点评】
本题考查相似三角形的判定在平面直角坐标系中的应用，解题关键是先明确已知三角形的边角特征，再结合坐标计算各边长度，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理逐一验证，注意不要混淆相似三角形的对应边比例关系。
【难度系数】
0.7
首先分析△ABC的特征：先根据A、B、C的坐标计算△ABC的边长和夹角，可知△ABC是直角三角形，两条直角边的比为2:1。要使以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则△CDE也需为直角三角形，且两条直角边的比为2:1或1:2，接下来结合每个选项给出的E点坐标，计算△CDE的直角边长度，验证比例是否符合即可。
【解析】
解：由点A(1,7)、B(1,1)、C(4,1)可得：
AB=7-1=6，BC=4-1=3，AB⊥BC，即∠B=90°，$\frac{AB}{BC}=\frac{6}{3}=2$。
CD=6-4=2，CD为水平线段（y坐标均为1）。
对各选项逐一分析：
A. 当E为(6,0)时，DE⊥CD，DE=1-0=1，$\frac{CD}{DE}=\frac{2}{1}=2$，∠D=∠B=90°，根据两边成比例且夹角相等，可得△CDE∽△ABC，不符合题意；
B. 当E为(6,3)时，DE⊥CD，DE=3-1=2，$\frac{CD}{DE}=\frac{2}{2}=1≠2$且$≠\frac{1}{2}$，对应边比例不相等，△CDE与△ABC不相似，符合题意；
C. 当E为(6,5)时，DE⊥CD，DE=5-1=4，$\frac{DE}{CD}=\frac{4}{2}=2$，∠D=∠B=90°，根据两边成比例且夹角相等，可得△EDC∽△ABC，不符合题意；
D. 当E为(4,2)时，CE⊥CD，CE=2-1=1，$\frac{CD}{CE}=\frac{2}{1}=2$，∠C=∠B=90°，根据两边成比例且夹角相等，可得△DCE∽△ABC，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；坐标与图形性质；比例线段
【点评】
本题考查相似三角形的判定在平面直角坐标系中的应用，解题关键是先明确已知三角形的边角特征，再结合坐标计算各边长度，利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理逐一验证，注意不要混淆相似三角形的对应边比例关系。
【难度系数】
0.7
7. 如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使$△ ADC$与$△ ABD$相似，可以添加一个条件。下列不符合添加条件要求的是 （
A.$∠ ACD=∠ DAB$
B.$AD=DE$
C.$AD^2=BD· CD$
D.$AD· AB=AC· BD$
D
）A.$∠ ACD=∠ DAB$
B.$AD=DE$
C.$AD^2=BD· CD$
D.$AD· AB=AC· BD$
答案
D
解析
【分析】
要判断△ADC与△ABD是否相似，首先可知两三角形有公共角∠ADC=∠BDA，根据相似三角形的判定定理，只需再补充一组对应角相等，或补充公共角的两组夹边对应成比例即可，我们据此逐一分析各选项是否满足判定条件。
【解析】
在△ADC和△ABD中，∠ADC=∠BDA（公共角）：
选项A：添加∠ACD=∠DAB，结合公共角相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可证△ADC∽△BDA，符合要求，排除A；
选项B：添加AD=DE，可得弧AD=弧DE，根据“同圆中相等的弧所对的圆周角相等”，得∠ABD=∠DAE，即∠ABD=∠DAC，结合公共角相等，可证△ADC∽△BDA，符合要求，排除B；
选项C：添加$AD^2=BD·CD$，变形为$\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，即公共角的两组夹边对应成比例，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可证△ADC∽△BDA，符合要求，排除C；
选项D：添加$AD·AB=AC·BD$，变形为$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{AB}$，该比例的边不是公共角的对应夹边，不满足相似三角形的判定条件，无法证明两三角形相似，不符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，圆周角定理，比例的性质
【点评】
本题围绕相似三角形的判定展开，解题的关键是先找到两三角形的公共角，再结合选项给出的条件逐一验证，要注意相似判定中边和角的对应关系，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
要判断△ADC与△ABD是否相似，首先可知两三角形有公共角∠ADC=∠BDA，根据相似三角形的判定定理，只需再补充一组对应角相等，或补充公共角的两组夹边对应成比例即可，我们据此逐一分析各选项是否满足判定条件。
【解析】
在△ADC和△ABD中，∠ADC=∠BDA（公共角）：
选项A：添加∠ACD=∠DAB，结合公共角相等，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可证△ADC∽△BDA，符合要求，排除A；
选项B：添加AD=DE，可得弧AD=弧DE，根据“同圆中相等的弧所对的圆周角相等”，得∠ABD=∠DAE，即∠ABD=∠DAC，结合公共角相等，可证△ADC∽△BDA，符合要求，排除B；
选项C：添加$AD^2=BD·CD$，变形为$\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，即公共角的两组夹边对应成比例，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可证△ADC∽△BDA，符合要求，排除C；
选项D：添加$AD·AB=AC·BD$，变形为$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{AB}$，该比例的边不是公共角的对应夹边，不满足相似三角形的判定条件，无法证明两三角形相似，不符合要求。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，圆周角定理，比例的性质
【点评】
本题围绕相似三角形的判定展开，解题的关键是先找到两三角形的公共角，再结合选项给出的条件逐一验证，要注意相似判定中边和角的对应关系，避免因对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.7
8.如图,点 P 为∠MON 平分线OC上一点,以点 P 为顶点的∠APB 两边分别与射线OM,ON相交于点A,B,如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA·OB=OP²,我们就把∠APB叫作∠MON的关联角。如果∠MON=50°,∠APB是∠MON的关联角,那么∠APB的度数为
$155°$
。答案
$155°$
解析
【分析】
首先根据角平分线的定义得到∠BOP=∠AOP，再将已知的等积式$OA· OB=OP^2$转化为比例式，结合相等的夹角可证明△BOP和△POA相似，利用相似三角形对应角相等的性质，将∠APB的度数转化为△BOP中两个内角的和，最后结合三角形内角和定理即可求出∠APB的度数。
【解析】
1.
∵OC是∠MON的平分线，$∠ MON=50°$，
∴$∠ BOP=∠ AOP=\frac{1}{2}∠ MON=25°$。
2. 已知$OA· OB=OP^2$，变形可得$\frac{OB}{OP}=\frac{OP}{OA}$。
3. 在$△ BOP$和$△ POA$中：
$\begin{cases}\frac{OB}{OP}=\frac{OP}{OA}\\∠ BOP=∠ POA\end{cases}$
∴$△ BOP∽△ POA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
4. 由相似三角形的性质得：$∠ OBP=∠ OPA$。
5. 在$△ BOP$中，根据三角形内角和定理：
$∠ OBP+∠ OPB+∠ BOP=180°$，
∴$∠ OBP+∠ OPB=180°-25°=155°$。
6.
∵$∠ APB=∠ OPA+∠ OPB$，将$∠ OPA=∠ OBP$代入得：
$∠ APB=∠ OBP+∠ OPB=155°$。
【答案】
$155°$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题为新定义类题型，解题核心是理解“关联角”的定义，通过将等积式转化为比例式构造相似三角形，再结合角度转化即可求解，侧重考查对相似三角形判定定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
首先根据角平分线的定义得到∠BOP=∠AOP，再将已知的等积式$OA· OB=OP^2$转化为比例式，结合相等的夹角可证明△BOP和△POA相似，利用相似三角形对应角相等的性质，将∠APB的度数转化为△BOP中两个内角的和，最后结合三角形内角和定理即可求出∠APB的度数。
【解析】
1.
∵OC是∠MON的平分线，$∠ MON=50°$，
∴$∠ BOP=∠ AOP=\frac{1}{2}∠ MON=25°$。
2. 已知$OA· OB=OP^2$，变形可得$\frac{OB}{OP}=\frac{OP}{OA}$。
3. 在$△ BOP$和$△ POA$中：
$\begin{cases}\frac{OB}{OP}=\frac{OP}{OA}\\∠ BOP=∠ POA\end{cases}$
∴$△ BOP∽△ POA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
4. 由相似三角形的性质得：$∠ OBP=∠ OPA$。
5. 在$△ BOP$中，根据三角形内角和定理：
$∠ OBP+∠ OPB+∠ BOP=180°$，
∴$∠ OBP+∠ OPB=180°-25°=155°$。
6.
∵$∠ APB=∠ OPA+∠ OPB$，将$∠ OPA=∠ OBP$代入得：
$∠ APB=∠ OBP+∠ OPB=155°$。
【答案】
$155°$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题为新定义类题型，解题核心是理解“关联角”的定义，通过将等积式转化为比例式构造相似三角形，再结合角度转化即可求解，侧重考查对相似三角形判定定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
9.如图,在$△ ABC$中,$AB=6$,$CA=4$,点$D$为$AC$中点,点$E$在$AB$上,当$AE$为
3或$\frac{4}{3}$
时,$△ ABC$与以点$A$,$D$,$E$为顶点的三角形相似。答案
3或$\frac{4}{3}$
解析
【分析】
本题中△ABC与△ADE有公共角∠A，由于未明确两个三角形的对应顶点，需分两种情况讨论相似的对应关系。先根据D是AC中点求出AD的长度，再结合相似三角形“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定定理，分别列比例式求解AE的长度即可。
【解析】
解：
∵点D为AC中点，$CA=4$，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=2$。
∠A是△ABC和△ADE的公共角，分两种情况讨论：
1. 当$△ ABC ∽ △ ADE$时，对应边成比例：
$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
将$AB=6$，$AD=2$，$AC=4$代入得：
$\frac{6}{2}=\frac{4}{AE}$，
解得$AE=\frac{4}{3}$；
2. 当$△ ABC ∽ △ AED$时，对应边成比例：
$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
代入数值得：
$\frac{6}{AE}=\frac{4}{2}$，
解得$AE=3$。
综上，AE的长度为3或$\frac{4}{3}$。
【答案】
3或$\frac{4}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定，分类讨论思想，比例的性质
【点评】
本题是相似三角形的常考题型，解题关键是明确无明确对应顶点的相似问题要分类讨论，避免因漏算情况导致失分。
【难度系数】
0.7
本题中△ABC与△ADE有公共角∠A，由于未明确两个三角形的对应顶点，需分两种情况讨论相似的对应关系。先根据D是AC中点求出AD的长度，再结合相似三角形“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定定理，分别列比例式求解AE的长度即可。
【解析】
解：
∵点D为AC中点，$CA=4$，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=2$。
∠A是△ABC和△ADE的公共角，分两种情况讨论：
1. 当$△ ABC ∽ △ ADE$时，对应边成比例：
$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
将$AB=6$，$AD=2$，$AC=4$代入得：
$\frac{6}{2}=\frac{4}{AE}$，
解得$AE=\frac{4}{3}$；
2. 当$△ ABC ∽ △ AED$时，对应边成比例：
$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
代入数值得：
$\frac{6}{AE}=\frac{4}{2}$，
解得$AE=3$。
综上，AE的长度为3或$\frac{4}{3}$。
【答案】
3或$\frac{4}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定，分类讨论思想，比例的性质
【点评】
本题是相似三角形的常考题型，解题关键是明确无明确对应顶点的相似问题要分类讨论，避免因漏算情况导致失分。
【难度系数】
0.7
10. 如图，已知点D，E分别在$△ ABC$的边AC，BC上，线段BD与AE交于点F，且$CD · CA = CE · CB$。
(1)求证：$∠ CAE = ∠ CBD$。
(2)若$\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}$，求证：AE平分$∠ BAD$。
(1)求证：$∠ CAE = ∠ CBD$。
(2)若$\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}$，求证：AE平分$∠ BAD$。
答案
(1)$\because CD · CA = CE · CB,\therefore \frac{CD}{CE}=\frac{CB}{CA}$。$\because ∠ C = ∠ C,\therefore △ CDB∽△ CEA,\therefore ∠ CAE=∠ CBD$
(2)作$AH⊥ BC,EM⊥ AB,EN⊥ AC$,则$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ACE}}=\frac{\frac{1}{2}BE· AH}{\frac{1}{2}CE· AH}=\frac{BE}{CE}=\frac{\frac{1}{2}AB· EM}{\frac{1}{2}AC· EN}=\frac{AB· EM}{AC· EN}=\frac{AB}{AC},\therefore EM=EN,\therefore AE$平分$∠ BAD$
(2)作$AH⊥ BC,EM⊥ AB,EN⊥ AC$,则$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ACE}}=\frac{\frac{1}{2}BE· AH}{\frac{1}{2}CE· AH}=\frac{BE}{CE}=\frac{\frac{1}{2}AB· EM}{\frac{1}{2}AC· EN}=\frac{AB· EM}{AC· EN}=\frac{AB}{AC},\therefore EM=EN,\therefore AE$平分$∠ BAD$
解析
【分析】
(1) 要证∠CAE=∠CBD，先将已知等积式$CD·CA=CE·CB$转化为比例式，观察发现$△ CDB$和$△ CEA$有公共角∠C，可通过“两边对应成比例且夹角相等”证明两三角形相似，再利用相似三角形对应角相等即可得证。
(2) 要证AE平分∠BAD，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到AB、AC的距离相等。可借助面积法建立关系：$△ ABE$和$△ ACE$同高，面积比等于底的比$\frac{BE}{EC}$；同时两个三角形面积也可分别以AB、AC为底，对应高为E到AB、AC的垂线段长度，结合题给比例关系即可推导出两条垂线段长度相等，进而证得结论。
【解析】
(1) 证明：
$\because CD · CA = CE · CB$，
$\therefore \frac{CD}{CE}=\frac{CB}{CA}$。
又$\because ∠C = ∠C$（公共角），
$\therefore △ CDB∽△ CEA$，
$\therefore ∠ CAE = ∠ CBD$。
(2) 证明：
作$AH⊥ BC$于H，$EM⊥ AB$于M，$EN⊥ AC$于N，
则$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ACE}}=\frac{\frac{1}{2}BE· AH}{\frac{1}{2}CE· AH}=\frac{BE}{CE}$，
同时$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ACE}}=\frac{\frac{1}{2}AB· EM}{\frac{1}{2}AC· EN}=\frac{AB· EM}{AC· EN}$，
结合题设$\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}$，可得$\frac{AB· EM}{AC· EN}=\frac{AB}{AC}$，
化简得$EM=EN$。
$\because EM⊥AB$，$EN⊥AC$且$EM=EN$，
$\therefore AE$平分$∠ BAD$。
【答案】
(1) $∠ CAE = ∠ CBD$，证明成立；
(2) AE平分$∠ BAD$，证明成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何基础证明题，第一问侧重相似三角形的常规应用，只要掌握等积式转比例式的思路即可快速求解；第二问通过面积法搭建线段比例和角平分线判定的关联，考查学生灵活转化解题思路的能力，避免仅从全等、相似角度切入的思维定式。
【难度系数】
0.6
(1) 要证∠CAE=∠CBD，先将已知等积式$CD·CA=CE·CB$转化为比例式，观察发现$△ CDB$和$△ CEA$有公共角∠C，可通过“两边对应成比例且夹角相等”证明两三角形相似，再利用相似三角形对应角相等即可得证。
(2) 要证AE平分∠BAD，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到AB、AC的距离相等。可借助面积法建立关系：$△ ABE$和$△ ACE$同高，面积比等于底的比$\frac{BE}{EC}$；同时两个三角形面积也可分别以AB、AC为底，对应高为E到AB、AC的垂线段长度，结合题给比例关系即可推导出两条垂线段长度相等，进而证得结论。
【解析】
(1) 证明：
$\because CD · CA = CE · CB$，
$\therefore \frac{CD}{CE}=\frac{CB}{CA}$。
又$\because ∠C = ∠C$（公共角），
$\therefore △ CDB∽△ CEA$，
$\therefore ∠ CAE = ∠ CBD$。
(2) 证明：
作$AH⊥ BC$于H，$EM⊥ AB$于M，$EN⊥ AC$于N，
则$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ACE}}=\frac{\frac{1}{2}BE· AH}{\frac{1}{2}CE· AH}=\frac{BE}{CE}$，
同时$\frac{S_{△ ABE}}{S_{△ ACE}}=\frac{\frac{1}{2}AB· EM}{\frac{1}{2}AC· EN}=\frac{AB· EM}{AC· EN}$，
结合题设$\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}$，可得$\frac{AB· EM}{AC· EN}=\frac{AB}{AC}$，
化简得$EM=EN$。
$\because EM⊥AB$，$EN⊥AC$且$EM=EN$，
$\therefore AE$平分$∠ BAD$。
【答案】
(1) $∠ CAE = ∠ CBD$，证明成立；
(2) AE平分$∠ BAD$，证明成立。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形面积计算
【点评】
本题属于几何基础证明题，第一问侧重相似三角形的常规应用，只要掌握等积式转比例式的思路即可快速求解；第二问通过面积法搭建线段比例和角平分线判定的关联，考查学生灵活转化解题思路的能力，避免仅从全等、相似角度切入的思维定式。
【难度系数】
0.6
