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10. 如右图，两个直角$∠ AOB,∠ COD$有相同的顶点$O$，下列结论:①$∠ AOC = ∠ BOD$;②$∠ AOC + ∠ BOD = 90°$;③若$OC$平分$∠ AOB$，则$OB$平分$∠ COD$;④$∠ AOD$的平分线与$∠ COB$的平分线是同一条射线. 其中正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
10.C
解析
【分析】要判断四个结论是否正确，我们可以结合已知∠AOB和∠COD都是90°的条件，利用角的和差关系、同角的余角相等、角平分线的定义，逐个验证每个结论即可。
【解析】已知∠AOB=∠COD=90°：
1. 验证结论①：
∵∠AOC + ∠COB = ∠AOB=90°，∠BOD + ∠COB = ∠COD=90°
根据同角的余角相等，可得∠AOC=∠BOD，故①正确。
2. 验证结论②：
由①得∠AOC=∠BOD，仅当∠AOC=45°时二者和为90°，其他情况不满足，比如∠AOC=30°时，∠AOC+∠BOD=60°，故②错误。
3. 验证结论③：
若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=½∠AOB=45°
∵∠COD=90°，
∴∠BOD=∠COD - ∠COB=90°-45°=45°
∴∠COB=∠BOD，即OB平分∠COD，故③正确。
4. 验证结论④：
设射线OE平分∠AOD，则∠AOE=∠DOE=½∠AOD
∵∠AOD=90°+∠BOD，结合①的结论∠BOD=∠AOC
可得∠COE=∠AOE - ∠AOC=½(90°+∠BOD) - ∠BOD=½(90°-∠BOD)
∠BOE=∠COB - ∠COE=(90°-∠BOD) - ½(90°-∠BOD)=½(90°-∠BOD)
∴∠COE=∠BOE，即OE也平分∠COB，故∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线，④正确。
综上，正确的结论有①③④，共3个。
【答案】C
【知识点】角的和差计算，同角的余角相等，角平分线的定义
【点评】这道题考查角的相关性质，解题关键是熟练运用角的和差关系和角平分线的定义推导结论，也可以通过举反例快速判断错误结论。
【难度系数】0.7
【解析】已知∠AOB=∠COD=90°：
1. 验证结论①：
∵∠AOC + ∠COB = ∠AOB=90°，∠BOD + ∠COB = ∠COD=90°
根据同角的余角相等，可得∠AOC=∠BOD，故①正确。
2. 验证结论②：
由①得∠AOC=∠BOD，仅当∠AOC=45°时二者和为90°，其他情况不满足，比如∠AOC=30°时，∠AOC+∠BOD=60°，故②错误。
3. 验证结论③：
若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=½∠AOB=45°
∵∠COD=90°，
∴∠BOD=∠COD - ∠COB=90°-45°=45°
∴∠COB=∠BOD，即OB平分∠COD，故③正确。
4. 验证结论④：
设射线OE平分∠AOD，则∠AOE=∠DOE=½∠AOD
∵∠AOD=90°+∠BOD，结合①的结论∠BOD=∠AOC
可得∠COE=∠AOE - ∠AOC=½(90°+∠BOD) - ∠BOD=½(90°-∠BOD)
∠BOE=∠COB - ∠COE=(90°-∠BOD) - ½(90°-∠BOD)=½(90°-∠BOD)
∴∠COE=∠BOE，即OE也平分∠COB，故∠AOD的平分线与∠COB的平分线是同一条射线，④正确。
综上，正确的结论有①③④，共3个。
【答案】C
【知识点】角的和差计算，同角的余角相等，角平分线的定义
【点评】这道题考查角的相关性质，解题关键是熟练运用角的和差关系和角平分线的定义推导结论，也可以通过举反例快速判断错误结论。
【难度系数】0.7
11. 黄山主峰一天早晨气温为$-1\ °\mathrm{C}$，中午上升了$8\ °\mathrm{C}$，夜间又下降了$10\ °\mathrm{C}$，那么这天夜间黄山主峰的气温是
$-3\ ℃$
。答案
11.$-3\ ℃$
解析
【分析】
我们需要根据气温的变化情况逐步计算夜间的气温：首先明确气温上升对应加法运算，下降对应减法运算，既可以先以早晨气温为基础计算中午的气温，再以中午气温为基础计算夜间的气温，也可以直接列出加减混合运算的式子求解，计算时遵循有理数的加减运算法则即可。
【解析】
方法一：分步计算
① 计算中午的气温：早晨气温为$-1\ ℃$，中午上升$8\ ℃$，则中午气温为 $-1 + 8 = 7\ (℃)$
② 计算夜间的气温：夜间下降$10\ ℃$，则夜间气温为 $7 - 10 = -3\ (℃)$
方法二：列综合算式计算
根据题意可直接列式：$\boldsymbol{-1 + 8 - 10 = -3\ (℃)}$
【答案】
$-3\ ℃$
【知识点】
正负数的实际应用、有理数的加减混合运算
【点评】
本题结合生活中的气温变化场景出题，解题的关键是理解“上升”“下降”对应的运算符号，再按照有理数加减的运算规则计算即可，属于基础类题目，细心计算不易失分。
【难度系数】
0.9
我们需要根据气温的变化情况逐步计算夜间的气温：首先明确气温上升对应加法运算，下降对应减法运算，既可以先以早晨气温为基础计算中午的气温，再以中午气温为基础计算夜间的气温，也可以直接列出加减混合运算的式子求解，计算时遵循有理数的加减运算法则即可。
【解析】
方法一：分步计算
① 计算中午的气温：早晨气温为$-1\ ℃$，中午上升$8\ ℃$，则中午气温为 $-1 + 8 = 7\ (℃)$
② 计算夜间的气温：夜间下降$10\ ℃$，则夜间气温为 $7 - 10 = -3\ (℃)$
方法二：列综合算式计算
根据题意可直接列式：$\boldsymbol{-1 + 8 - 10 = -3\ (℃)}$
【答案】
$-3\ ℃$
【知识点】
正负数的实际应用、有理数的加减混合运算
【点评】
本题结合生活中的气温变化场景出题，解题的关键是理解“上升”“下降”对应的运算符号，再按照有理数加减的运算规则计算即可，属于基础类题目，细心计算不易失分。
【难度系数】
0.9
12. 用“度、分、秒”来表示:8.31° =
8
° 18
' 36
"答案
12.8;18;36
解析
【分析】
要将以度为单位的单名数换算成度、分、秒组合的复名数，首先明确度、分、秒是60进制，即1°=60'，1'=60"。解题时先提取原度数的整数部分作为度的数值，再将小数部分的度数乘60换算为分，取换算结果的整数部分作为分的数值，最后将分的小数部分再乘60换算为秒即可。
【解析】
解：8.31°的整数部分为8，对应8°；
剩余小数部分为0.31°，换算为分：$0.31×60=18.6'$，取整数部分18，对应18'；
剩余小数部分为0.6'，换算为秒：$0.6×60=36''$，对应36"。
因此8.31° = 8°18'36"。
【答案】
8；18；36
【知识点】
度分秒的换算；角的单位转换
【点评】
本题属于角度单位换算的基础题型，解题核心是牢记度、分、秒相邻单位间的进率为60，大单位换算为小单位时乘对应进率，计算时注意小数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
要将以度为单位的单名数换算成度、分、秒组合的复名数，首先明确度、分、秒是60进制，即1°=60'，1'=60"。解题时先提取原度数的整数部分作为度的数值，再将小数部分的度数乘60换算为分，取换算结果的整数部分作为分的数值，最后将分的小数部分再乘60换算为秒即可。
【解析】
解：8.31°的整数部分为8，对应8°；
剩余小数部分为0.31°，换算为分：$0.31×60=18.6'$，取整数部分18，对应18'；
剩余小数部分为0.6'，换算为秒：$0.6×60=36''$，对应36"。
因此8.31° = 8°18'36"。
【答案】
8；18；36
【知识点】
度分秒的换算；角的单位转换
【点评】
本题属于角度单位换算的基础题型，解题核心是牢记度、分、秒相邻单位间的进率为60，大单位换算为小单位时乘对应进率，计算时注意小数运算的准确性即可。
【难度系数】
0.8
13. 如图,已知线段$AB=8\ \mathrm{cm}$,延长线段AB到C,使$BC=2AB$.点D是AC的中点,则BD等于
4
cm. 答案
13.4
解析
【分析】
解题时先根据已知的AB长度和BC与AB的数量关系求出BC的长度，再计算AC的总长度；接着利用线段中点的性质求出AD的长度，最后通过线段的差运算计算BD的长度即可。
【解析】
解：已知$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=2AB$，
则$BC=2×8=16\ \mathrm{cm}$，
线段$AC$的总长度为：$AC=AB+BC=8+16=24\ \mathrm{cm}$，
∵点D是AC的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$，
∴$BD=AD-AB=12-8=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
线段和差运算，线段中点的性质
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心是梳理清楚各段线段的数量关系，结合中点的性质逐步推导即可求解，计算难度较低，理清线段顺序是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先根据已知的AB长度和BC与AB的数量关系求出BC的长度，再计算AC的总长度；接着利用线段中点的性质求出AD的长度，最后通过线段的差运算计算BD的长度即可。
【解析】
解：已知$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=2AB$，
则$BC=2×8=16\ \mathrm{cm}$，
线段$AC$的总长度为：$AC=AB+BC=8+16=24\ \mathrm{cm}$，
∵点D是AC的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×24=12\ \mathrm{cm}$，
∴$BD=AD-AB=12-8=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
线段和差运算，线段中点的性质
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心是梳理清楚各段线段的数量关系，结合中点的性质逐步推导即可求解，计算难度较低，理清线段顺序是解题的关键。
【难度系数】
0.8
14. 如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面与“生”相对应的面上的汉字是
学
。答案
14.学
解析
【分析】
本题考查正方体展开图中相对面的判断，解题思路如下：首先识别该展开图属于正方体展开图的“一四一”型，记住正方体展开图中相对面的判断规则：相对的面不相邻，同行/同列中隔一个面的两个面是相对面，剩余的不同层的面为相对面。先找中间行的相对面，排除后剩下的两个面就是与“生”相对的面。
【解析】
该展开图为正方体“一四一”型展开图，根据正方体展开图相对面的特征：相对的面没有公共边和公共顶点，同行隔一个的两个面为相对面：
1. 观察中间横向排列的四个面“活、中、的、数”，“活”与“的”间隔1个“中”，二者是相对面；“中”与“数”间隔1个“的”，二者是相对面。
2. 剩余的两个面为“生”和“学”，二者为相对面，因此和“生”相对的面上的汉字是学。
【答案】
学
【知识点】
正方体展开图；相对面判断
【点评】
本题是正方体展开图的常见基础题，掌握相对面的判断规律即可快速得出答案，解题时可借助空间想象或规律直接判断，避免把相邻面误判为相对面。
【难度系数】
0.8
本题考查正方体展开图中相对面的判断，解题思路如下：首先识别该展开图属于正方体展开图的“一四一”型，记住正方体展开图中相对面的判断规则：相对的面不相邻，同行/同列中隔一个面的两个面是相对面，剩余的不同层的面为相对面。先找中间行的相对面，排除后剩下的两个面就是与“生”相对的面。
【解析】
该展开图为正方体“一四一”型展开图，根据正方体展开图相对面的特征：相对的面没有公共边和公共顶点，同行隔一个的两个面为相对面：
1. 观察中间横向排列的四个面“活、中、的、数”，“活”与“的”间隔1个“中”，二者是相对面；“中”与“数”间隔1个“的”，二者是相对面。
2. 剩余的两个面为“生”和“学”，二者为相对面，因此和“生”相对的面上的汉字是学。
【答案】
学
【知识点】
正方体展开图；相对面判断
【点评】
本题是正方体展开图的常见基础题，掌握相对面的判断规律即可快速得出答案，解题时可借助空间想象或规律直接判断，避免把相邻面误判为相对面。
【难度系数】
0.8
15. 商店为了对某种商品促销，将定价为3元的商品以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折.如果你有27元钱，最多可以购买该商品的件数是
10
.答案
15.10
解析
【分析】
首先明确优惠规则是分段计费：购买不超过5件时单价3元；购买超过5件时，前5件按原价3元/件计算，超出部分单价为3×0.8=2.4元。先计算买5件的总花费为3×5=15元，已知总钱数27元大于15元，说明购买数量一定超过5件。接下来可以设总购买件数为x，根据总花费不超过27元列不等式求解，也可以先扣除5件的花费，用剩余的钱计算能买多少件打折商品，再加5得到总件数。
【解析】
方法一：不等式法
设最多可以购买该商品的件数是x件。
∵ 购买5件的花费为 $ 3×5=15 $ 元，$ 15＜27 $，
∴ $ x＞5 $
根据总花费不超过27元列不等式：
$ 3×5 + 3×0.8×(x-5) ≤ 27 $
化简得：$ 15 + 2.4(x-5) ≤ 27 $
移项计算：$ 2.4(x-5) ≤ 12 $
解得：$ x-5 ≤ 5 $，即 $ x≤10 $
方法二：算术法
先买5件花费：$ 3×5=15 $ 元
剩余钱数：$ 27-15=12 $ 元
超出5件部分的单价：$ 3×0.8=2.4 $ 元
剩余钱可买打折商品数量：$ 12÷2.4=5 $ 件
总件数：$ 5+5=10 $ 件
【答案】
10
【知识点】
分段计费问题、一元一次不等式的应用、打折销售计算
【点评】
本题结合生活中常见的促销场景命题，解题核心是理清分段计费的规则，先判断购买数量所属的计费区间，再结合总金额限制列式计算，解题时要注意最终结果要符合实际消费的逻辑。
【难度系数】
0.7
首先明确优惠规则是分段计费：购买不超过5件时单价3元；购买超过5件时，前5件按原价3元/件计算，超出部分单价为3×0.8=2.4元。先计算买5件的总花费为3×5=15元，已知总钱数27元大于15元，说明购买数量一定超过5件。接下来可以设总购买件数为x，根据总花费不超过27元列不等式求解，也可以先扣除5件的花费，用剩余的钱计算能买多少件打折商品，再加5得到总件数。
【解析】
方法一：不等式法
设最多可以购买该商品的件数是x件。
∵ 购买5件的花费为 $ 3×5=15 $ 元，$ 15＜27 $，
∴ $ x＞5 $
根据总花费不超过27元列不等式：
$ 3×5 + 3×0.8×(x-5) ≤ 27 $
化简得：$ 15 + 2.4(x-5) ≤ 27 $
移项计算：$ 2.4(x-5) ≤ 12 $
解得：$ x-5 ≤ 5 $，即 $ x≤10 $
方法二：算术法
先买5件花费：$ 3×5=15 $ 元
剩余钱数：$ 27-15=12 $ 元
超出5件部分的单价：$ 3×0.8=2.4 $ 元
剩余钱可买打折商品数量：$ 12÷2.4=5 $ 件
总件数：$ 5+5=10 $ 件
【答案】
10
【知识点】
分段计费问题、一元一次不等式的应用、打折销售计算
【点评】
本题结合生活中常见的促销场景命题，解题核心是理清分段计费的规则，先判断购买数量所属的计费区间，再结合总金额限制列式计算，解题时要注意最终结果要符合实际消费的逻辑。
【难度系数】
0.7
三、解答题(本大题满分55分,解答要写出必要的文字说明或推演步骤)
16.(本题12分,每小题4分)计算题:
(1) $-18 + 6 + 7 - 5$；
(2) $(-2)^3 × (1 - \dfrac{1}{4}) - (2 - 5)$；
(3) $-\dfrac{3}{4} × [-3^2 × (-\dfrac{2}{3})^2 - 2]$。
16.(本题12分,每小题4分)计算题:
(1) $-18 + 6 + 7 - 5$；
(2) $(-2)^3 × (1 - \dfrac{1}{4}) - (2 - 5)$；
(3) $-\dfrac{3}{4} × [-3^2 × (-\dfrac{2}{3})^2 - 2]$。
答案
16. (1) - 10 (2) - 3 (3) $\dfrac{9}{2}$
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题遵循有理数运算顺序：1. 同级运算从左到右依次计算；2. 不同级运算先算乘方，再算乘除，最后算加减；3. 有括号的先计算括号内的内容，同时注意运算符号的处理，可适当运用运算律简化计算。
(1) 第一题为有理数的加减同级运算，可按从左到右顺序计算，也可将负数、正数分别归类求和再计算；
(2) 第二题先计算乘方，再依次计算括号内的运算、乘法运算，最后计算加减即可；
(3) 第三题先计算乘方，注意区分$-3^2$和$(-3)^2$的区别，再计算括号内的乘法、减法，最后计算括号外的乘法即可。
【解析】
(1) 原式$=(-18-5)+(6+7)$
$=-23+13$
$=-10$
(2) 原式$=(-2)^3×(1-\dfrac{1}{4})-(2-5)$
$=-8×\dfrac{3}{4} - (-3)$
$=-6 + 3$
$=-3$
(3) 原式$=-\dfrac{3}{4}×[-3^2×(-\dfrac{2}{3})^2 - 2]$
$=-\dfrac{3}{4}×[-9×\dfrac{4}{9} - 2]$
$=-\dfrac{3}{4}×(-4 - 2)$
$=-\dfrac{3}{4}×(-6)$
$=\dfrac{18}{4}$
$=\dfrac{9}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$；(2) $\boldsymbol{-3}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{9}{2}}$
【知识点】
有理数加减运算；有理数乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，核心考查运算顺序的掌握和符号的处理，计算时需注意乘方运算的符号规则、去括号的符号变化，细心计算即可正确求解。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数的混合运算，解题遵循有理数运算顺序：1. 同级运算从左到右依次计算；2. 不同级运算先算乘方，再算乘除，最后算加减；3. 有括号的先计算括号内的内容，同时注意运算符号的处理，可适当运用运算律简化计算。
(1) 第一题为有理数的加减同级运算，可按从左到右顺序计算，也可将负数、正数分别归类求和再计算；
(2) 第二题先计算乘方，再依次计算括号内的运算、乘法运算，最后计算加减即可；
(3) 第三题先计算乘方，注意区分$-3^2$和$(-3)^2$的区别，再计算括号内的乘法、减法，最后计算括号外的乘法即可。
【解析】
(1) 原式$=(-18-5)+(6+7)$
$=-23+13$
$=-10$
(2) 原式$=(-2)^3×(1-\dfrac{1}{4})-(2-5)$
$=-8×\dfrac{3}{4} - (-3)$
$=-6 + 3$
$=-3$
(3) 原式$=-\dfrac{3}{4}×[-3^2×(-\dfrac{2}{3})^2 - 2]$
$=-\dfrac{3}{4}×[-9×\dfrac{4}{9} - 2]$
$=-\dfrac{3}{4}×(-4 - 2)$
$=-\dfrac{3}{4}×(-6)$
$=\dfrac{18}{4}$
$=\dfrac{9}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$；(2) $\boldsymbol{-3}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{9}{2}}$
【知识点】
有理数加减运算；有理数乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题属于有理数运算的基础题型，核心考查运算顺序的掌握和符号的处理，计算时需注意乘方运算的符号规则、去括号的符号变化，细心计算即可正确求解。
【难度系数】
0.7
