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2. 整体思想:在进行多项式的加减时,通常把一个式子看成一个整体,这样使运算更简单.
已知$x^2 - 2x - 5 = 0$,求$6x - 3x^2 + 1$的值.
已知$x^2 - 2x - 5 = 0$,求$6x - 3x^2 + 1$的值.
答案
解：
由$x^2 - 2x - 5 = 0$，可得$x^2 - 2x = 5$。
对所求式子变形得：
$6x - 3x^2 + 1 = -3(x^2 - 2x) + 1$
将$x^2 - 2x = 5$整体代入：
原式$= -3×5 + 1 = -15 + 1 = -14$
由$x^2 - 2x - 5 = 0$，可得$x^2 - 2x = 5$。
对所求式子变形得：
$6x - 3x^2 + 1 = -3(x^2 - 2x) + 1$
将$x^2 - 2x = 5$整体代入：
原式$= -3×5 + 1 = -15 + 1 = -14$
解析
【分析】
已知条件是含x的二次等式，七年级还未学习一元二次方程的解法，无法直接求出x的值代入计算，因此采用题目提示的整体思想解题：第一步先从已知等式中整理得到$x^2-2x$的整体数值；第二步观察所求代数式$6x-3x^2+1$的结构，通过提取公因式将其变形为含有$x^2-2x$的形式；最后将整体数值代入变形后的式子计算即可。
【解析】
解：由$x^2 - 2x - 5 = 0$，移项可得$x^2 - 2x = 5$。
对所求式子变形：
$6x - 3x^2 + 1 = -3x^2 + 6x + 1 = -3(x^2 - 2x) + 1$
将$x^2 - 2x = 5$整体代入上式：
原式$= -3×5 + 1 = -15 + 1 = -14$
【答案】
$-14$
【知识点】
整体代入思想，代数式求值，整式变形
【点评】
本题考查整体思想在代数式求值中的应用，无需计算未知数的具体值，通过对已知条件和所求代数式变形找到共同的整体结构，代入即可简化运算，是整式运算中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
已知条件是含x的二次等式，七年级还未学习一元二次方程的解法，无法直接求出x的值代入计算，因此采用题目提示的整体思想解题：第一步先从已知等式中整理得到$x^2-2x$的整体数值；第二步观察所求代数式$6x-3x^2+1$的结构，通过提取公因式将其变形为含有$x^2-2x$的形式；最后将整体数值代入变形后的式子计算即可。
【解析】
解：由$x^2 - 2x - 5 = 0$，移项可得$x^2 - 2x = 5$。
对所求式子变形：
$6x - 3x^2 + 1 = -3x^2 + 6x + 1 = -3(x^2 - 2x) + 1$
将$x^2 - 2x = 5$整体代入上式：
原式$= -3×5 + 1 = -15 + 1 = -14$
【答案】
$-14$
【知识点】
整体代入思想，代数式求值，整式变形
【点评】
本题考查整体思想在代数式求值中的应用，无需计算未知数的具体值，通过对已知条件和所求代数式变形找到共同的整体结构，代入即可简化运算，是整式运算中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.7
四、寻找规律
1.月历中的奥秘
（1）下图是某月的月历，带阴影的方框中的9个数之和是方框正中心的数的倍；
（2）不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你上面得到的结论还成立吗？你能证明这个结论吗？
归纳:在任意一个月的月历中,随意圈出如图中的三行三列的9个数字,那么这9个数字之和等于。
1.月历中的奥秘
（1）下图是某月的月历，带阴影的方框中的9个数之和是方框正中心的数的倍；
（2）不改变带阴影的方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你上面得到的结论还成立吗？你能证明这个结论吗？
归纳:在任意一个月的月历中,随意圈出如图中的三行三列的9个数字,那么这9个数字之和等于。
答案
解：
(1) 计算阴影方框中9个数的和：$3+4+5+10+11+12+17+18+19=99$
$99÷11=9$
故第一空填$\boldsymbol{9}$。
(2) 得到的结论仍然成立，证明如下：
设方框正中心的数为$x$，根据月历数字的排列规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7，可得方框内其余8个数分别为$x-8$，$x-7$，$x-6$，$x-1$，$x+1$，$x+6$，$x+7$，$x+8$。
9个数的总和为：
$\begin{aligned}&(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)\\=&9x\end{aligned}$
$9x÷ x=9$，因此移动方框后，9个数之和仍是方框正中心的数的9倍，结论成立。
归纳：$\boldsymbol{方框正中心的数的9倍}$。
(1) 计算阴影方框中9个数的和：$3+4+5+10+11+12+17+18+19=99$
$99÷11=9$
故第一空填$\boldsymbol{9}$。
(2) 得到的结论仍然成立，证明如下：
设方框正中心的数为$x$，根据月历数字的排列规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7，可得方框内其余8个数分别为$x-8$，$x-7$，$x-6$，$x-1$，$x+1$，$x+6$，$x+7$，$x+8$。
9个数的总和为：
$\begin{aligned}&(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)\\=&9x\end{aligned}$
$9x÷ x=9$，因此移动方框后，9个数之和仍是方框正中心的数的9倍，结论成立。
归纳：$\boldsymbol{方框正中心的数的9倍}$。
解析
【分析】
解决本题可分两步思考：1. 第一问是具体数值计算，先把阴影方框内的9个数字相加得到总和，再除以方框正中心的数，即可得到倍数关系。2. 第二问要验证规律是否普遍成立，首先明确月历的数字排列规律：同一行相邻数相差1，同一列上下相邻数相差7，我们可以设正中心的数为x，把其余8个数都用含x的代数式表示，再将9个数相加化简，观察总和与x的关系，就能证明规律是否成立。
【解析】
(1) 先计算阴影方框中9个数的和：
$3+4+5+10+11+12+17+18+19=99$
方框正中心的数是11，因此倍数为：$99÷11=9$。
(2) 移动方框后结论仍然成立，证明如下：
设方框正中心的数为$x$，根据月历数字排列规律：同一行相邻数差1，同一列相邻数差7，可得方框内其余8个数分别为：$x-8$，$x-7$，$x-6$，$x-1$，$x+1$，$x+6$，$x+7$，$x+8$。
计算9个数的总和：
$\begin{aligned}&(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)\\=&9x\end{aligned}$
$9x÷ x=9$，因此不管方框移动到什么符合要求的位置，9个数之和都是正中心数的9倍，结论成立。
归纳可得：三行三列的9个数字之和等于方框正中心的数的9倍。
【答案】
（1）$\boldsymbol{9}$；（2）成立，证明见解析；归纳：$\boldsymbol{方框正中心的数的9倍}$
【知识点】
月历数字规律，列代数式，整式加减运算
【点评】
本题结合生活中常见的月历设置问题，先通过具体计算发现规律，再借助代数式运算验证规律，体现了从特殊到一般的探究思路，只要掌握月历的数字排列特点，就能顺利解决问题。
【难度系数】
0.8
解决本题可分两步思考：1. 第一问是具体数值计算，先把阴影方框内的9个数字相加得到总和，再除以方框正中心的数，即可得到倍数关系。2. 第二问要验证规律是否普遍成立，首先明确月历的数字排列规律：同一行相邻数相差1，同一列上下相邻数相差7，我们可以设正中心的数为x，把其余8个数都用含x的代数式表示，再将9个数相加化简，观察总和与x的关系，就能证明规律是否成立。
【解析】
(1) 先计算阴影方框中9个数的和：
$3+4+5+10+11+12+17+18+19=99$
方框正中心的数是11，因此倍数为：$99÷11=9$。
(2) 移动方框后结论仍然成立，证明如下：
设方框正中心的数为$x$，根据月历数字排列规律：同一行相邻数差1，同一列相邻数差7，可得方框内其余8个数分别为：$x-8$，$x-7$，$x-6$，$x-1$，$x+1$，$x+6$，$x+7$，$x+8$。
计算9个数的总和：
$\begin{aligned}&(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)\\=&9x\end{aligned}$
$9x÷ x=9$，因此不管方框移动到什么符合要求的位置，9个数之和都是正中心数的9倍，结论成立。
归纳可得：三行三列的9个数字之和等于方框正中心的数的9倍。
【答案】
（1）$\boldsymbol{9}$；（2）成立，证明见解析；归纳：$\boldsymbol{方框正中心的数的9倍}$
【知识点】
月历数字规律，列代数式，整式加减运算
【点评】
本题结合生活中常见的月历设置问题，先通过具体计算发现规律，再借助代数式运算验证规律，体现了从特殊到一般的探究思路，只要掌握月历的数字排列特点，就能顺利解决问题。
【难度系数】
0.8
2. 自然数被3整除的规律
一般地,如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除,那么这个自然数就能被3整除.
若一个两位数的十位、个位上的数字分别为$a,b$,则这个两位数为$10a + b = 9a + (a + b)$.
显然$9a$能被3整除,因此,如果$a + b$能被3整除,那么$9a + (a + b)$就能被3整除.
如果一个三位数的百位、十位、个位的数字分别为$a,b,c$,且$a + b + c$能被3整除,请你仿照上面写出一个式子说明这个三位数能被3整除.
一般地,如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除,那么这个自然数就能被3整除.
若一个两位数的十位、个位上的数字分别为$a,b$,则这个两位数为$10a + b = 9a + (a + b)$.
显然$9a$能被3整除,因此,如果$a + b$能被3整除,那么$9a + (a + b)$就能被3整除.
如果一个三位数的百位、十位、个位的数字分别为$a,b,c$,且$a + b + c$能被3整除,请你仿照上面写出一个式子说明这个三位数能被3整除.
答案
解：
这个三位数可以表示为 $100a + 10b + c$，变形可得：
$100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c)$
显然99a能被3整除，9b也能被3整除，因此如果$a+b+c$能被3整除，那么$99a + 9b + (a + b + c)$就能被3整除，即这个三位数能被3整除。
这个三位数可以表示为 $100a + 10b + c$，变形可得：
$100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c)$
显然99a能被3整除，9b也能被3整除，因此如果$a+b+c$能被3整除，那么$99a + 9b + (a + b + c)$就能被3整除，即这个三位数能被3整除。
解析
【分析】
解题时可以类比题目给出的两位数推导思路：首先写出三位数的代数式，再把整百、整十项拆成9的倍数加对应数位数字的形式，重组后得到“3的倍数的和+数位数字和”的结构，最后结合整除的性质即可完成证明。步骤如下：①先表示出三位数的代数式；②拆分整百、整十项重组式子；③说明拆分出的99a、9b都能被3整除；④结合已知数位和能被3整除的条件，得出整个三位数能被3整除的结论。
【解析】
百位、十位、个位数字分别为$a,b,c$的三位数可表示为$100a+10b+c$，对其变形：
$\begin{aligned}100a+10b+c&=(99a+a)+(9b+b)+c\\&=99a+9b+(a+b+c)\end{aligned}$
因为99和9都是3的倍数，所以$99a$、$9b$都能被3整除，二者的和$99a+9b$也能被3整除。
已知$a+b+c$能被3整除，因此$99a+9b+(a+b+c)$能被3整除，即这个三位数能被3整除。
【答案】
这个三位数可以表示为 $100a + 10b + c$，变形可得：
$100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c)$
显然99a能被3整除，9b也能被3整除，因此如果$a+b+c$能被3整除，那么$99a + 9b + (a + b + c)$就能被3整除，即这个三位数能被3整除。
【知识点】
3的整除特征、整式拆分变形、数的数位表示
【点评】
本题是方法迁移类题目，依托已给出的两位数推导逻辑，引导学生自主推导三位数的3整除判定规律，既能加深对整除性质的理解，也能锻炼学生的类比推理和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
解题时可以类比题目给出的两位数推导思路：首先写出三位数的代数式，再把整百、整十项拆成9的倍数加对应数位数字的形式，重组后得到“3的倍数的和+数位数字和”的结构，最后结合整除的性质即可完成证明。步骤如下：①先表示出三位数的代数式；②拆分整百、整十项重组式子；③说明拆分出的99a、9b都能被3整除；④结合已知数位和能被3整除的条件，得出整个三位数能被3整除的结论。
【解析】
百位、十位、个位数字分别为$a,b,c$的三位数可表示为$100a+10b+c$，对其变形：
$\begin{aligned}100a+10b+c&=(99a+a)+(9b+b)+c\\&=99a+9b+(a+b+c)\end{aligned}$
因为99和9都是3的倍数，所以$99a$、$9b$都能被3整除，二者的和$99a+9b$也能被3整除。
已知$a+b+c$能被3整除，因此$99a+9b+(a+b+c)$能被3整除，即这个三位数能被3整除。
【答案】
这个三位数可以表示为 $100a + 10b + c$，变形可得：
$100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c)$
显然99a能被3整除，9b也能被3整除，因此如果$a+b+c$能被3整除，那么$99a + 9b + (a + b + c)$就能被3整除，即这个三位数能被3整除。
【知识点】
3的整除特征、整式拆分变形、数的数位表示
【点评】
本题是方法迁移类题目，依托已给出的两位数推导逻辑，引导学生自主推导三位数的3整除判定规律，既能加深对整除性质的理解，也能锻炼学生的类比推理和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7
一、整式加减运算
已知式子$3x^2 - 4x + 6$的值为9，则$x^2 - \frac{4}{3}x + 6$的值为()
A.18
B.12
C.9
D.7
拓展:现规定一种运算:$a*b = ab + a - b$,其中$a,b$为有理数,则$a*b + b*a$等于.
已知式子$3x^2 - 4x + 6$的值为9，则$x^2 - \frac{4}{3}x + 6$的值为()
A.18
B.12
C.9
D.7
拓展:现规定一种运算:$a*b = ab + a - b$,其中$a,b$为有理数,则$a*b + b*a$等于.
答案
D；$2ab$
解析
【分析】
第一题：已知含x的整式的值，待求式与已知式的对应项系数成倍数关系，可先通过变形已知式求出待求式中含x部分的整体值，再代入计算即可，无需单独求解x的值。第二题：先准确理解新定义运算的规则，将b*a按规则改写为常规整式运算形式，再与a*b相加合并同类项即可。
【解析】
1. 求解选择题：
已知$3x^2 - 4x + 6 = 9$，等式两边同时减6得：$3x^2 - 4x = 3$，
等式两边同时除以3得：$x^2 - \frac{4}{3}x = 1$，
将上式代入$x^2 - \frac{4}{3}x + 6$得：$1 + 6 = 7$，故选D。
2. 求解拓展题：
根据新运算规则$a*b = ab + a - b$，可得$b*a = ba + b - a = ab + b - a$，
则$a*b + b*a = (ab + a - b) + (ab + b - a)$，
去括号合并同类项：$ab + a - b + ab + b - a = 2ab$。
【答案】
D；$2ab$
【知识点】
代数式求值；整式的加减；新定义运算
【点评】
第一题考察整体代入的思想，避开求解未知数的复杂过程，简化计算；第二题需要准确理解新运算的规则，按照规则转化为常规整式运算后合并同类项即可，核心是对整式加减规则的熟练运用。
【难度系数】
0.8
第一题：已知含x的整式的值，待求式与已知式的对应项系数成倍数关系，可先通过变形已知式求出待求式中含x部分的整体值，再代入计算即可，无需单独求解x的值。第二题：先准确理解新定义运算的规则，将b*a按规则改写为常规整式运算形式，再与a*b相加合并同类项即可。
【解析】
1. 求解选择题：
已知$3x^2 - 4x + 6 = 9$，等式两边同时减6得：$3x^2 - 4x = 3$，
等式两边同时除以3得：$x^2 - \frac{4}{3}x = 1$，
将上式代入$x^2 - \frac{4}{3}x + 6$得：$1 + 6 = 7$，故选D。
2. 求解拓展题：
根据新运算规则$a*b = ab + a - b$，可得$b*a = ba + b - a = ab + b - a$，
则$a*b + b*a = (ab + a - b) + (ab + b - a)$，
去括号合并同类项：$ab + a - b + ab + b - a = 2ab$。
【答案】
D；$2ab$
【知识点】
代数式求值；整式的加减；新定义运算
【点评】
第一题考察整体代入的思想，避开求解未知数的复杂过程，简化计算；第二题需要准确理解新运算的规则，按照规则转化为常规整式运算后合并同类项即可，核心是对整式加减规则的熟练运用。
【难度系数】
0.8
二、整式加减的实际应用 —— 戳穿房地产商涨价的谎言
某房地产公司对外宣称:今年上半年地价上涨10％,建筑材料上涨10％,广告费用上涨10％,则房价(房价主要由以下三块组成:地价、建筑材料、广告费用)应上涨30％才能保本.你认为此房地产公司的说法合理吗？如果不合理,那么房价应上涨多少才能保本？
（提示:设房子总价为w元,地价、建筑材料、广告费用分别为a元,b元,c元,则有w = a + b + c）
某房地产公司对外宣称:今年上半年地价上涨10％,建筑材料上涨10％,广告费用上涨10％,则房价(房价主要由以下三块组成:地价、建筑材料、广告费用)应上涨30％才能保本.你认为此房地产公司的说法合理吗？如果不合理,那么房价应上涨多少才能保本？
（提示:设房子总价为w元,地价、建筑材料、广告费用分别为a元,b元,c元,则有w = a + b + c）
答案
解：设房子原来的总价为$w$元，地价、建筑材料、广告费用分别为$a$元、$b$元、$c$元，
由题意得 $w = a + b + c$。
涨价后，地价变为$(1+10\%)a = 1.1a$元，
建筑材料变为$(1+10\%)b = 1.1b$元，
广告费用变为$(1+10\%)c = 1.1c$元，
涨价后总保本价为：
$1.1a + 1.1b + 1.1c = 1.1(a + b + c) = 1.1w$。
需要上涨的房价为 $1.1w - w = 0.1w$，即房价仅需上涨10%即可保本。
因此该房地产公司的说法不合理。
答：此房地产公司的说法不合理，房价应上涨10%才能保本。
由题意得 $w = a + b + c$。
涨价后，地价变为$(1+10\%)a = 1.1a$元，
建筑材料变为$(1+10\%)b = 1.1b$元，
广告费用变为$(1+10\%)c = 1.1c$元，
涨价后总保本价为：
$1.1a + 1.1b + 1.1c = 1.1(a + b + c) = 1.1w$。
需要上涨的房价为 $1.1w - w = 0.1w$，即房价仅需上涨10%即可保本。
因此该房地产公司的说法不合理。
答：此房地产公司的说法不合理，房价应上涨10%才能保本。
解析
【分析】
要判断房地产商的说法是否合理，我们可以通过设未知数表示各项成本和原房价，再计算成本上涨后的总保本房价，对比原房价算出实际需要的涨幅即可。第一步先按照提示设定变量，明确原房价等于地价、建筑材料、广告费用三者之和；第二步分别计算三项成本各上涨10%后的价格，求和得到涨价后的总保本房价；第三步将总保本房价和原房价对比，算出实际涨幅，和开发商宣称的30%比较就能得出结论。
【解析】
设房子原来的总价为$w$元，地价、建筑材料、广告费用分别为$a$元、$b$元、$c$元，由题意得 $w = a + b + c$。
各项成本上涨10%后：
地价变为$(1+10\%)a = 1.1a$元，
建筑材料变为$(1+10\%)b = 1.1b$元，
广告费用变为$(1+10\%)c = 1.1c$元，
因此涨价后总的保本房价为：
$1.1a + 1.1b + 1.1c = 1.1(a + b + c) = 1.1w$。
房价需要上涨的部分为 $1.1w - w = 0.1w$，即上涨比例为$\frac{0.1w}{w}×100\%=10\%$，仅需上涨10%即可保本。
因此该房地产公司的说法不合理。
【答案】
此房地产公司的说法不合理，房价应上涨10%才能保本。
【知识点】
整式加减运算，百分数实际应用，代数式化简
【点评】
本题结合生活中的房价热点问题设置，纠正了“多个部分的涨幅直接相加等于总涨幅”的常见认知误区，考查学生用代数式运算解决实际问题的能力，引导学生学会用数学知识辨别生活中的不实信息。
【难度系数】
0.7
要判断房地产商的说法是否合理，我们可以通过设未知数表示各项成本和原房价，再计算成本上涨后的总保本房价，对比原房价算出实际需要的涨幅即可。第一步先按照提示设定变量，明确原房价等于地价、建筑材料、广告费用三者之和；第二步分别计算三项成本各上涨10%后的价格，求和得到涨价后的总保本房价；第三步将总保本房价和原房价对比，算出实际涨幅，和开发商宣称的30%比较就能得出结论。
【解析】
设房子原来的总价为$w$元，地价、建筑材料、广告费用分别为$a$元、$b$元、$c$元，由题意得 $w = a + b + c$。
各项成本上涨10%后：
地价变为$(1+10\%)a = 1.1a$元，
建筑材料变为$(1+10\%)b = 1.1b$元，
广告费用变为$(1+10\%)c = 1.1c$元，
因此涨价后总的保本房价为：
$1.1a + 1.1b + 1.1c = 1.1(a + b + c) = 1.1w$。
房价需要上涨的部分为 $1.1w - w = 0.1w$，即上涨比例为$\frac{0.1w}{w}×100\%=10\%$，仅需上涨10%即可保本。
因此该房地产公司的说法不合理。
【答案】
此房地产公司的说法不合理，房价应上涨10%才能保本。
【知识点】
整式加减运算，百分数实际应用，代数式化简
【点评】
本题结合生活中的房价热点问题设置，纠正了“多个部分的涨幅直接相加等于总涨幅”的常见认知误区，考查学生用代数式运算解决实际问题的能力，引导学生学会用数学知识辨别生活中的不实信息。
【难度系数】
0.7
