1.二次函数$y=ax^2 +k$的图象与二次函数$y=ax^2$的图象的形状、开口大小和开口方向相同，对称轴都是________，只是位置不同。二次函数$y=ax^2 +k$的图象可由二次函数$y=ax^2$的图象沿y轴方向平移________个单位长度得到，其顶点坐标是________。

y轴；$|k|$；$(0,k)$

【分析】
解题时先从二次项系数a的作用入手：二次函数中a决定图象的形状、开口大小和开口方向，因此y=ax²+k和y=ax²的a相同，相关属性也一致，可先推出对称轴。再结合函数图象“上加下减”的平移规律，判断两个函数的平移距离，最后根据顶点随图象平移的特点，推导得到平移后的顶点坐标。
【解析】
1. 对于二次函数y=ax²，其对称轴为y轴（直线x=0），由于y=ax²+k与y=ax²的二次项系数a相同，因此二者对称轴一致，都是y轴。
2. 根据图象平移“上加下减”的规律：当k＞0时，y=ax²的图象向上平移k个单位得到y=ax²+k；当k＜0时，y=ax²的图象向下平移|k|个单位得到y=ax²+k，因此整体是沿y轴方向平移|k|个单位长度。
3. y=ax²的顶点坐标为(0,0)，顶点随图象沿y轴平移后，横坐标不变，纵坐标变为k，因此y=ax²+k的顶点坐标是(0,k)。
【答案】
y轴；$|k|$；$(0,k)$
【知识点】
二次函数基本性质；函数图象平移规律；二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数图象与性质的基础题，核心考查y=ax²与y=ax²+k的联系与区别，熟练掌握二次项系数的作用和平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85

2.二次函数$y=ax^2 +k$的性质：
(1)若$a＞0$，则当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而；当$x=0$时，$y$取最小值，为。
(2)若$a＜0$，则当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而；当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而；当$x=0$时，$y$取最大值，为。

(1)增大；减小；k
(2)减小；增大；k

【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的图象特征：它的图象是抛物线，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$。接下来分$a＞0$和$a＜0$两种情况判断开口方向，再结合对称轴位置分析不同区间的增减性，以及顶点对应的最值即可。
【解析】
二次函数$y=ax^2+k$的对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,k)$。
(1)当$a＞0$时，抛物线开口向上：
在对称轴右侧即$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
在对称轴左侧即$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小；
顶点为抛物线的最低点，因此当$x=0$时，$y$取最小值，代入解析式得最小值为$k$。
(2)当$a＜0$时，抛物线开口向下：
在对称轴右侧即$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小；
在对称轴左侧即$x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大；
顶点为抛物线的最高点，因此当$x=0$时，$y$取最大值，代入解析式得最大值为$k$。
【答案】
(1)增大；减小；$k$
(2)减小；增大；$k$
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2+k$的性质
2.二次函数的增减性
3.二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数基础性质的常规考查题，核心是掌握开口方向、对称轴与函数增减性、最值的对应规律，熟记相关性质即可快速作答，是后续学习复杂二次函数的基础。
【难度系数】
0.9

知识点1 二次函数 $y=ax^2+k$ 的图象和性质
1. 填表.
| 抛物线 | 开口方向 | 顶点坐标 | 对称轴 | 最值 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $y=2x^2+3$ | | | | |
| $y=5x^2-4$ | | | | |
| $y=-\dfrac{1}{4}x^2+5$ | | | | |
| $y=-\dfrac{2}{7}x^2-6$ | | | | |
2. 二次函数 $y=-x^2-1$ 的大致图象是（）
【补充设问】在 $y$ 轴左侧，抛物线从左到右是的.（填“上升”或“下降”）

1. $y=2x^2+3$：向上；$(0,3)$；$y$轴；最小值3
$y=5x^2-4$：向上；$(0,-4)$；$y$轴；最小值$-4$
$y=-\dfrac{1}{4}x^2+5$：向下；$(0,5)$；$y$轴；最大值5
$y=-\dfrac{2}{7}x^2-6$：向下；$(0,-6)$；$y$轴；最大值$-6$
2.B 【补充设问】上升

【分析】
解题时需紧扣二次函数$y=ax^2+k$的核心性质：1. 开口方向由$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；2. 顶点坐标固定为$(0,k)$，对称轴为$y$轴；3. 最值：开口向上时有最小值$k$，开口向下时有最大值$k$；4. 增减性：$a＜0$时，$y$轴左侧（$x＜0$）$y$随$x$增大而增大，图象呈上升趋势，右侧反之。第一题填表只需逐一提取每个函数的$a$和$k$，对应性质填空即可；第二题先判断$y=-x^2-1$的开口方向和顶点坐标，即可匹配对应图象，补充设问结合增减性判断即可。
【解析】
1. 逐行分析表格内容：
（1）$y=2x^2+3$中，$a=2＞0$，$k=3$，因此开口向上，顶点坐标为$(0,3)$，对称轴是$y$轴，函数有最小值$3$；
（2）$y=5x^2-4$中，$a=5＞0$，$k=-4$，因此开口向上，顶点坐标为$(0,-4)$，对称轴是$y$轴，函数有最小值$-4$；
（3）$y=-\dfrac{1}{4}x^2+5$中，$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，$k=5$，因此开口向下，顶点坐标为$(0,5)$，对称轴是$y$轴，函数有最大值$5$；
（4）$y=-\dfrac{2}{7}x^2-6$中，$a=-\dfrac{2}{7}＜0$，$k=-6$，因此开口向下，顶点坐标为$(0,-6)$，对称轴是$y$轴，函数有最大值$-6$。
2. 二次函数$y=-x^2-1$中，$a=-1＜0$，开口向下，$k=-1$，顶点坐标为$(0,-1)$，符合该特征的图象为选项B；
补充设问：该函数$a＜0$，在$y$轴左侧（$x＜0$）时，$y$随$x$的增大而增大，因此抛物线从左到右是上升的。
【答案】
1. $y=2x^2+3$：向上；$(0,3)$；$y$轴；最小值3
$y=5x^2-4$：向上；$(0,-4)$；$y$轴；最小值$-4$
$y=-\dfrac{1}{4}x^2+5$：向下；$(0,5)$；$y$轴；最大值5
$y=-\dfrac{2}{7}x^2-6$：向下；$(0,-6)$；$y$轴；最大值$-6$
2.B 【补充设问】上升
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数的增减性；二次函数图象特征
【点评】
本题是二次函数基础性质的常规考查题，只要熟练掌握参数$a$、$k$对二次函数$y=ax^2+k$的开口、顶点、最值、增减性的影响，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.85

3.已知$A(-1,y_{1})$，$B(4,y_{2})$是抛物线$y=\dfrac{1}{4}x^{2}-5$上的两点，则$y_{1}$和$y_{2}$的大小关系是$y_{1}\_\_\_\_\_\_y_{2}$（填“＞”“＜”或“=”）。

$＜$

【分析】
要比较y₁与y₂的大小，有两种常用思路：一是直接代入法，将A、B两点的横坐标分别代入抛物线解析式，计算出y₁和y₂的具体数值后比较；二是性质判断法，该抛物线是y=ax²+k的形式，对称轴为y轴，a=1/4＞0时抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，先计算两点到对称轴的距离再比较即可。
【解析】
方法一：代入求值法
将点A(-1,y₁)代入$y=\dfrac{1}{4}x^{2}-5$，得：
$y_1=\dfrac{1}{4}×(-1)^2 -5=\dfrac{1}{4}-5=-4.75$
将点B(4,y₂)代入$y=\dfrac{1}{4}x^{2}-5$，得：
$y_2=\dfrac{1}{4}×4^2 -5=4-5=-1$
因为$-4.75 ＜ -1$，所以$y_1 ＜ y_2$。
方法二：性质判断法
抛物线$y=\dfrac{1}{4}x^{2}-5$中，$a=\dfrac{1}{4}＞0$，开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴）。
点A到对称轴的距离：$|-1-0|=1$
点B到对称轴的距离：$|4-0|=4$
因为$4＞1$，开口向上时离对称轴越远函数值越大，所以$y_2＞y_1$，即$y_1＜y_2$。
【答案】
$＜$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+k的性质
【点评】
本题是二次函数的基础题型，两种解题方法都需要熟练掌握，代入法直接易懂，性质法计算量小、解题速度更快，可根据自身习惯选择合适的方法。
【难度系数】
0.8

4. [2026安庆期中]函数$y=ax^2+c(a≠0)$的图象的顶点坐标是$(0,2)$，且图象的形状及开口方向与函数$y=-\frac{1}{2}x^2$的图象相同.
(1)填空:$a=$,$c=$.
(2)在坐标系(如图)中画出这个函数的图象.
(3)当$x$为何值时,$y$随$x$的增大而减小?
(4)当$x=$时,$y$取最值,是.

(1)$-\dfrac{1}{2}$；2
(2)图略.
(3)当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而减小.
(4)0；大；2

【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+c$的图象与性质，解题思路如下：
1. 求解$a$和$c$：二次函数中$a$决定图象的开口方向和形状，两个二次函数图象形状、开口方向相同则二次项系数相等；$y=ax^2+c$的顶点坐标为$(0,c)$，结合已知顶点坐标即可求出$c$。
2. 画函数图象：按照“列表-描点-连线”的步骤，利用抛物线的对称性选取对称的$x$值计算对应$y$值，再描点连线即可。
3. 判断增减性：根据$a$的符号确定开口方向，结合对称轴（$y$轴）即可判断$y$随$x$增大而减小的区间。
4. 求最值：开口向下的抛物线顶点为最高点，顶点处$y$取最大值，对应顶点坐标即可得到结果。
【解析】
(1) 因为函数$y=ax^2+c$的形状及开口方向与$y=-\frac{1}{2}x^2$相同，所以二次项系数相等，即$a=-\frac{1}{2}$；
又因为该函数顶点坐标为$(0,2)$，而$y=ax^2+c$的顶点为$(0,c)$，所以$c=2$。
(2) 画图步骤：
①列表：选取$x=-2,-1,0,1,2$，对应$y$值分别为$0,\frac{3}{2},2,\frac{3}{2},0$；
②描点：在坐标系中描出上述5个点；
③连线：用平滑曲线顺次连接各点，得到抛物线图象。
(3) 由$a=-\frac{1}{2}＜0$，可知抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$（$y$轴），因此在对称轴右侧，即当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而减小。
(4) 因为抛物线开口向下，顶点为最高点，所以当$x=0$时，$y$取最大值，最大值为顶点的纵坐标$2$。
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{2}$；2
(2)图略
(3)当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而减小
(4)0；大；2
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；二次函数系数的意义；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数$y=ax^2+k$的系数含义、增减性、最值等核心性质，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8

5.（新知回顾）如图，将抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$向平移个单位长度得到抛物线$y=\frac{1}{3}x^2+2$；将抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$向平移个单位长度得到抛物线$y=\frac{1}{3}x^2-2$。

上；2；下；2

【分析】
解决这道题可结合二次函数平移的规律思考：二次函数平移时，形状、开口方向不变，即二次项系数$a$不变，仅位置发生变化。对于仅常数项不同的二次函数，属于上下平移，我们可以通过两种方法判断：①参考“上加下减常数项”的平移规则，常数项增加多少就向上平移多少，减少多少就向下平移多少；②对比两个函数的顶点坐标，顶点的平移方向和距离就是抛物线的平移方向和距离。本题三个函数的$a$均为$\frac{1}{3}$，仅常数项不同，只需分析常数项或顶点纵坐标的变化即可得出平移方式。
【解析】
我们可以用两种方法推导：
方法一（平移规律法）：二次函数上下平移遵循“上加下减常数项”的规律：
1. 对比$y=\frac{1}{3}x^2$和$y=\frac{1}{3}x^2+2$，后者常数项比前者多2，说明将$y=\frac{1}{3}x^2$向上平移2个单位可得$y=\frac{1}{3}x^2+2$；
2. 对比$y=\frac{1}{3}x^2$和$y=\frac{1}{3}x^2-2$，后者常数项比前者少2，说明将$y=\frac{1}{3}x^2$向下平移2个单位可得$y=\frac{1}{3}x^2-2$。
方法二（顶点坐标法）：$y=ax^2$的顶点为$(0,0)$，$y=ax^2+k$的顶点为$(0,k)$：
1. $y=\frac{1}{3}x^2$顶点是$(0,0)$，$y=\frac{1}{3}x^2+2$顶点是$(0,2)$，顶点向上移动2个单位，对应抛物线向上平移2个单位；
2. $y=\frac{1}{3}x^2-2$顶点是$(0,-2)$，顶点向下移动2个单位，对应抛物线向下平移2个单位。
【答案】
上；2；下；2
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. $y=ax^2+k$的图象性质
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础考察题，核心是掌握二次函数上下平移的规则，无论是通过常数项变化判断，还是通过顶点坐标推导，都能快速得到答案，是后续学习复杂二次函数平移的基础。
【难度系数】
0.9