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6.把抛物线向上平移3个单位长度得到新抛物线$y=2x^2+1$，则原抛物线的解析式是
$y=2x^2-2$
。答案
$y=2x^2-2$
解析
【分析】
解决本题首先要明确抛物线平移的规律：上下平移时仅改变函数的常数项，遵循“上加下减”的原则，且平移前后抛物线的二次项系数不变。本题已知平移后的抛物线解析式，要求原抛物线，属于平移的逆推问题，只需将平移后的抛物线沿平移的反方向（即向下平移3个单位）运算即可得到原解析式。
【解析】
抛物线上下平移时，二次项系数保持不变，平移规律为“向上平移常数项加，向下平移常数项减”。
已知原抛物线向上平移3个单位得到$y=2x^2+1$，因此将新抛物线向下平移3个单位即可得到原抛物线解析式：
$y=2x^2+1-3=2x^2-2$
【答案】
$y=2x^2-2$
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对“上加下减”平移规则的理解与运用，解题时需注意正向平移和逆向平移的运算差异，掌握规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确抛物线平移的规律：上下平移时仅改变函数的常数项，遵循“上加下减”的原则，且平移前后抛物线的二次项系数不变。本题已知平移后的抛物线解析式，要求原抛物线，属于平移的逆推问题，只需将平移后的抛物线沿平移的反方向（即向下平移3个单位）运算即可得到原解析式。
【解析】
抛物线上下平移时，二次项系数保持不变，平移规律为“向上平移常数项加，向下平移常数项减”。
已知原抛物线向上平移3个单位得到$y=2x^2+1$，因此将新抛物线向下平移3个单位即可得到原抛物线解析式：
$y=2x^2+1-3=2x^2-2$
【答案】
$y=2x^2-2$
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对“上加下减”平移规则的理解与运用，解题时需注意正向平移和逆向平移的运算差异，掌握规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. [2026 苏州模拟] 抛物线 $y=-x^2$ 与 $y=-x^2+5$ 的不同之处是（
A.开口方向
B.对称轴
C.形状
D.顶点坐标
D
）A.开口方向
B.对称轴
C.形状
D.顶点坐标
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数$y=ax^2+k$的各项性质对应的决定参数：$a$的符号决定开口方向，$|a|$的大小决定抛物线的形状（开口大小），此类函数的对称轴固定为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$。我们先分别提取两个抛物线的对应参数，再逐一比对选项即可得出结论。
【解析】
分别分析两个抛物线的性质：
1. 抛物线$y=-x^2$：参数$a=-1$，$k=0$，开口向下，对称轴为直线$x=0$（$y$轴），$|a|=1$决定开口形状，顶点坐标为$(0,0)$；
2. 抛物线$y=-x^2+5$：参数$a=-1$，$k=5$，开口向下，对称轴为直线$x=0$（$y$轴），$|a|=1$决定开口形状，顶点坐标为$(0,5)$。
逐一验证选项：
A. 两个抛物线开口方向均向下，特征相同，排除；
B. 两个抛物线对称轴均为$y$轴，特征相同，排除；
C. 两个抛物线$|a|$相等，形状完全相同，排除；
D. 两个抛物线顶点坐标分别为$(0,0)$和$(0,5)$，特征不同，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的图象性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握二次函数中$a$、$k$分别对图象的影响，就能快速判断得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确二次函数$y=ax^2+k$的各项性质对应的决定参数：$a$的符号决定开口方向，$|a|$的大小决定抛物线的形状（开口大小），此类函数的对称轴固定为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,k)$。我们先分别提取两个抛物线的对应参数，再逐一比对选项即可得出结论。
【解析】
分别分析两个抛物线的性质：
1. 抛物线$y=-x^2$：参数$a=-1$，$k=0$，开口向下，对称轴为直线$x=0$（$y$轴），$|a|=1$决定开口形状，顶点坐标为$(0,0)$；
2. 抛物线$y=-x^2+5$：参数$a=-1$，$k=5$，开口向下，对称轴为直线$x=0$（$y$轴），$|a|=1$决定开口形状，顶点坐标为$(0,5)$。
逐一验证选项：
A. 两个抛物线开口方向均向下，特征相同，排除；
B. 两个抛物线对称轴均为$y$轴，特征相同，排除；
C. 两个抛物线$|a|$相等，形状完全相同，排除；
D. 两个抛物线顶点坐标分别为$(0,0)$和$(0,5)$，特征不同，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的图象性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握二次函数中$a$、$k$分别对图象的影响，就能快速判断得出结果。
【难度系数】
0.9
8.函数$y=ax$与$y=ax^2+a(a≠0)$在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 （
D
）答案
D
解析
【分析】
解决这类同一坐标系中多个函数图象共存的问题，核心思路是按参数的正负分类讨论，分别推导两个函数的图象特征，再逐一对比选项排除不符合的情况。首先我们将参数a分为a＞0和a＜0两类，分别判断正比例函数y=ax的象限分布，以及二次函数y=ax²+a的开口方向、顶点位置，再匹配选项即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时：
① 正比例函数$y=ax$的斜率为正，图象经过第一、三象限；
② 二次函数$y=ax^2+a$的二次项系数$a＞0$，因此开口向上，当$x=0$时，$y=a＞0$，即顶点坐标为$(0,a)$，在$y$轴正半轴。
对照选项：C选项二次函数顶点在$y$轴负半轴，不符合，排除；D选项符合该情况特征，暂时保留。
2. 当$a＜0$时：
① 正比例函数$y=ax$的斜率为负，图象经过第二、四象限；
② 二次函数$y=ax^2+a$的二次项系数$a＜0$，因此开口向下，当$x=0$时，$y=a＜0$，即顶点在$y$轴负半轴。
对照选项：A选项二次函数顶点在$y$轴正半轴，不符合，排除；B选项二次函数顶点在原点，说明$a=0$，与题设$a≠0$矛盾，排除。
综上只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数图象性质；二次函数$y=ax^2+k$的图象性质；函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象共存类的典型题型，通过对参数正负的分类讨论，结合两类函数的图象性质逐一排除错误选项，能有效考查对函数图象和系数对应关系的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解决这类同一坐标系中多个函数图象共存的问题，核心思路是按参数的正负分类讨论，分别推导两个函数的图象特征，再逐一对比选项排除不符合的情况。首先我们将参数a分为a＞0和a＜0两类，分别判断正比例函数y=ax的象限分布，以及二次函数y=ax²+a的开口方向、顶点位置，再匹配选项即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时：
① 正比例函数$y=ax$的斜率为正，图象经过第一、三象限；
② 二次函数$y=ax^2+a$的二次项系数$a＞0$，因此开口向上，当$x=0$时，$y=a＞0$，即顶点坐标为$(0,a)$，在$y$轴正半轴。
对照选项：C选项二次函数顶点在$y$轴负半轴，不符合，排除；D选项符合该情况特征，暂时保留。
2. 当$a＜0$时：
① 正比例函数$y=ax$的斜率为负，图象经过第二、四象限；
② 二次函数$y=ax^2+a$的二次项系数$a＜0$，因此开口向下，当$x=0$时，$y=a＜0$，即顶点在$y$轴负半轴。
对照选项：A选项二次函数顶点在$y$轴正半轴，不符合，排除；B选项二次函数顶点在原点，说明$a=0$，与题设$a≠0$矛盾，排除。
综上只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数图象性质；二次函数$y=ax^2+k$的图象性质；函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象共存类的典型题型，通过对参数正负的分类讨论，结合两类函数的图象性质逐一排除错误选项，能有效考查对函数图象和系数对应关系的掌握情况。
【难度系数】
0.7
9.抛物线$y=2x^2 - m$经过点$A(-3,y_1),B(1,y_2),C(4,y_3)$，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是 （
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
C
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
答案
C
解析
【分析】
要比较抛物线上三个点的函数值大小，首先明确该二次函数的基本性质：抛物线$y=2x^2 -m$属于$y=ax^2+k$的形式，$a=2＞0$，因此开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$）。对于开口向上的抛物线，抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大，只需计算三个点横坐标到对称轴的距离即可判断$y$值大小，也可直接将三点横坐标代入解析式求出$y_1、y_2、y_3$的表达式再比较。
【解析】
方法一：利用抛物线性质求解
抛物线$y=2x^2 - m$中，$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$。
开口向上的抛物线上的点，距离对称轴越远，函数值越大：
点A到对称轴的距离：$|-3-0|=3$
点B到对称轴的距离：$|1-0|=1$
点C到对称轴的距离：$|4-0|=4$
因为$1＜3＜4$，所以对应的函数值大小为$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
方法二：代入计算法
将三点横坐标分别代入解析式：
$y_1=2×(-3)^2 - m = 18 - m$
$y_2=2×1^2 - m = 2 - m$
$y_3=2×4^2 - m = 32 - m$
因为$2 - m ＜ 18 - m ＜ 32 - m$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax²+k$的性质，函数值大小比较，对称轴的应用
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查开口向上的二次函数的函数值变化规律，既可以通过计算点到对称轴的距离快速判断，也可以直接代入求值比较，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴等基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上三个点的函数值大小，首先明确该二次函数的基本性质：抛物线$y=2x^2 -m$属于$y=ax^2+k$的形式，$a=2＞0$，因此开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$）。对于开口向上的抛物线，抛物线上的点距离对称轴越远，对应的函数值越大，只需计算三个点横坐标到对称轴的距离即可判断$y$值大小，也可直接将三点横坐标代入解析式求出$y_1、y_2、y_3$的表达式再比较。
【解析】
方法一：利用抛物线性质求解
抛物线$y=2x^2 - m$中，$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$。
开口向上的抛物线上的点，距离对称轴越远，函数值越大：
点A到对称轴的距离：$|-3-0|=3$
点B到对称轴的距离：$|1-0|=1$
点C到对称轴的距离：$|4-0|=4$
因为$1＜3＜4$，所以对应的函数值大小为$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
方法二：代入计算法
将三点横坐标分别代入解析式：
$y_1=2×(-3)^2 - m = 18 - m$
$y_2=2×1^2 - m = 2 - m$
$y_3=2×4^2 - m = 32 - m$
因为$2 - m ＜ 18 - m ＜ 32 - m$，所以$y_2 ＜ y_1 ＜ y_3$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax²+k$的性质，函数值大小比较，对称轴的应用
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查开口向上的二次函数的函数值变化规律，既可以通过计算点到对称轴的距离快速判断，也可以直接代入求值比较，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴等基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. [2026安庆模拟]已知二次函数$y=ax^2 + c$，当$x$取$x_1,x_2(x_1≠x_2)$时，函数值相等，则当$x$取$x_1+x_2$时，函数值为（
A.$a+c$
B.$a-c$
C.$-c$
D.$c$
D
）A.$a+c$
B.$a-c$
C.$-c$
D.$c$
答案
D
解析
【分析】
首先回忆二次函数$y=ax^2 + c$的图象性质：该函数的对称轴是y轴（直线$x=0$）。若两个不同的自变量对应的函数值相等，说明这两个自变量对应的点关于对称轴对称，结合对称轴为$x=0$，可推出$x_1$和$x_2$互为相反数，即$x_1+x_2=0$，最后将$x=x_1+x_2$代入函数解析式即可求出对应函数值。
【解析】
解：二次函数$y=ax^2 + c$的对称轴为直线$x=0$。
∵当$x$取$x_1$、$x_2$（$x_1≠x_2$）时函数值相等，
∴$x_1$与$x_2$关于直线$x=0$对称，即$x_1=-x_2$，
∴$x_1 + x_2 = 0$。
将$x=x_1+x_2=0$代入$y=ax^2 + c$，得：
$y=a×0^2 + c = c$。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是利用二次函数的对称性得出$x_1+x_2=0$，熟练掌握特殊形式二次函数的性质能快速解题。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数$y=ax^2 + c$的图象性质：该函数的对称轴是y轴（直线$x=0$）。若两个不同的自变量对应的函数值相等，说明这两个自变量对应的点关于对称轴对称，结合对称轴为$x=0$，可推出$x_1$和$x_2$互为相反数，即$x_1+x_2=0$，最后将$x=x_1+x_2$代入函数解析式即可求出对应函数值。
【解析】
解：二次函数$y=ax^2 + c$的对称轴为直线$x=0$。
∵当$x$取$x_1$、$x_2$（$x_1≠x_2$）时函数值相等，
∴$x_1$与$x_2$关于直线$x=0$对称，即$x_1=-x_2$，
∴$x_1 + x_2 = 0$。
将$x=x_1+x_2=0$代入$y=ax^2 + c$，得：
$y=a×0^2 + c = c$。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是利用二次函数的对称性得出$x_1+x_2=0$，熟练掌握特殊形式二次函数的性质能快速解题。
【难度系数】
0.8
11. [2026天津模拟]二次函数$y=-2x^2+3$，当$-2≤ x＜3$时，y的取值范围为
$-15＜y≤3$
。答案
$-15＜y≤3$
解析
【分析】
首先确定二次函数$y=-2x^2+3$的基本性质：二次项系数为负，抛物线开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点处取最大值。求解给定区间$-2≤x＜3$的y取值范围时，先找对称轴处的最大值，再比较区间内各点到对称轴的距离，开口向下时离对称轴越远函数值越小，同时注意开区间端点对应的函数值取不到，最终确定y的范围。
【解析】
1. 分析函数性质：
对于二次函数$y=-2x^2+3$，$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,3)$，函数在$x=0$处取得最大值，$y_{max}=3$。
2. 计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，代入得$y=-2×(-2)^2+3=-5$；
当$x=3$时，代入得$y=-2×3^2+3=-15$，$\because x＜3$，即$x$取不到3，$\therefore y$取不到$-15$。
3. 确定取值范围：
开口向下的抛物线，x离对称轴越远y值越小，在$-2≤x＜3$范围内，x=3离对称轴最远，因此$y＞-15$，结合最大值为3，可得y的取值范围是$-15＜y≤3$。
【答案】
$-15＜y≤3$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数最值；区间函数值范围求解
【点评】
本题是二次函数区间取值的基础题型，解题核心是结合抛物线的开口方向、对称轴，通过比较区间内点到对称轴的距离判断最值，同时要注意区间是否包含端点，避免出现取值范围边界错误。
【难度系数】
0.7
首先确定二次函数$y=-2x^2+3$的基本性质：二次项系数为负，抛物线开口向下，对称轴为y轴（直线$x=0$），顶点处取最大值。求解给定区间$-2≤x＜3$的y取值范围时，先找对称轴处的最大值，再比较区间内各点到对称轴的距离，开口向下时离对称轴越远函数值越小，同时注意开区间端点对应的函数值取不到，最终确定y的范围。
【解析】
1. 分析函数性质：
对于二次函数$y=-2x^2+3$，$\because a=-2＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=0$，顶点坐标为$(0,3)$，函数在$x=0$处取得最大值，$y_{max}=3$。
2. 计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，代入得$y=-2×(-2)^2+3=-5$；
当$x=3$时，代入得$y=-2×3^2+3=-15$，$\because x＜3$，即$x$取不到3，$\therefore y$取不到$-15$。
3. 确定取值范围：
开口向下的抛物线，x离对称轴越远y值越小，在$-2≤x＜3$范围内，x=3离对称轴最远，因此$y＞-15$，结合最大值为3，可得y的取值范围是$-15＜y≤3$。
【答案】
$-15＜y≤3$
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数最值；区间函数值范围求解
【点评】
本题是二次函数区间取值的基础题型，解题核心是结合抛物线的开口方向、对称轴，通过比较区间内点到对称轴的距离判断最值，同时要注意区间是否包含端点，避免出现取值范围边界错误。
【难度系数】
0.7
12.已知抛物线$y=-x^2+c$经过点$(-2,a)$和点$(2,b)$.
(1)该抛物线的对称轴为________，$a,b$的大小关系为________；
(2)若该抛物线经过点$A(3,-5)$，求$c$的值；
(3)在(2)的条件下，$y=-x^2+c$可由抛物线$y=-x^2$向________平移________个单位长度得到.
(1)该抛物线的对称轴为________，$a,b$的大小关系为________；
(2)若该抛物线经过点$A(3,-5)$，求$c$的值；
(3)在(2)的条件下，$y=-x^2+c$可由抛物线$y=-x^2$向________平移________个单位长度得到.
答案
(1)$y$轴；$a=b$
(2)$c=4$.
(3)上；4
(2)$c=4$.
(3)上；4
解析
【分析】
(1) 首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的图象性质：该类抛物线的对称轴为y轴（直线$x=0$）。观察点$(-2,a)$和$(2,b)$，两个点的横坐标互为相反数，到对称轴y轴的距离相等，因此抛物线上对称点的函数值相等，即可得到$a$和$b$的关系。
(2) 已知抛物线上的点坐标，可将点的横、纵坐标代入抛物线解析式，得到关于$c$的一元一次方程，解方程即可求出$c$的值。
(3) 回忆二次函数图象的平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，对比$y=-x^2$和$y=-x^2+c$的常数项差异，即可得到平移的方向和距离。
【解析】
(1) 二次函数$y=-x^2+c$属于$y=ax^2+k$的形式，其对称轴为y轴；
点$(-2,a)$和$(2,b)$关于y轴对称，抛物线上关于对称轴对称的点的函数值相等，因此$a=b$。
(2) 将点$A(3,-5)$代入$y=-x^2+c$，得：
$\begin{aligned}-5&=-3^2 + c\\-5&=-9 + c\\c&=4\end{aligned}$
(3) 由(2)得抛物线解析式为$y=-x^2+4$，根据二次函数平移规律“上加下减”，$y=-x^2$的常数项加4得到$y=-x^2+4$，因此是向上平移4个单位长度得到。
【答案】
(1)y轴；$a=b$
(2)$c=4$
(3)上；4
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；待定系数法求解析式；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数$y=ax^2+k$的基本性质、待定系数法求参数以及图象平移规律，熟练掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
(1) 首先回忆二次函数$y=ax^2+k$的图象性质：该类抛物线的对称轴为y轴（直线$x=0$）。观察点$(-2,a)$和$(2,b)$，两个点的横坐标互为相反数，到对称轴y轴的距离相等，因此抛物线上对称点的函数值相等，即可得到$a$和$b$的关系。
(2) 已知抛物线上的点坐标，可将点的横、纵坐标代入抛物线解析式，得到关于$c$的一元一次方程，解方程即可求出$c$的值。
(3) 回忆二次函数图象的平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，对比$y=-x^2$和$y=-x^2+c$的常数项差异，即可得到平移的方向和距离。
【解析】
(1) 二次函数$y=-x^2+c$属于$y=ax^2+k$的形式，其对称轴为y轴；
点$(-2,a)$和$(2,b)$关于y轴对称，抛物线上关于对称轴对称的点的函数值相等，因此$a=b$。
(2) 将点$A(3,-5)$代入$y=-x^2+c$，得：
$\begin{aligned}-5&=-3^2 + c\\-5&=-9 + c\\c&=4\end{aligned}$
(3) 由(2)得抛物线解析式为$y=-x^2+4$，根据二次函数平移规律“上加下减”，$y=-x^2$的常数项加4得到$y=-x^2+4$，因此是向上平移4个单位长度得到。
【答案】
(1)y轴；$a=b$
(2)$c=4$
(3)上；4
【知识点】
二次函数$y=ax^2+k$的性质；待定系数法求解析式；二次函数图象平移规律
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数$y=ax^2+k$的基本性质、待定系数法求参数以及图象平移规律，熟练掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
13. 中考趋势·过程性学习 某数学兴趣小组对函数$y=|x^2 -1|$的图象和性质进行了探究，过程如下，请你补充完整.
(1)函数$y=|x^2 -1|$的自变量$x$的取值范围是
(2)①列表:
下表是$x,y$的几组对应值,其中$m=$
②描点:
根据表中的数值描点$(x,y)$,请在如图所示的平面直角坐标系中补充描出点$(-\frac{1}{2},m),(\frac{1}{2},n)$;
③连线:用平滑的曲线顺次连接各点,请把图象(如图)补充完整.
(3)下列关于该函数的说法,错误的是 (
A. 函数图象是轴对称图形
B. 当$x＞0$时,函数值$y$随自变量$x$的增大而增大
C. 函数值$y$都是非负数
D. 若函数图象经过点$(m,y_1)$与$(-m,y_2)$,则$y_1=y_2$
(4)若点$(s,a)$与$(t,b)$在函数图象上,且$|t|＜|s|＜1$,则$a$与$b$的大小关系是
(1)函数$y=|x^2 -1|$的自变量$x$的取值范围是
全体实数
.(2)①列表:
下表是$x,y$的几组对应值,其中$m=$
$\dfrac{3}{4}$
,$n=$$\dfrac{3}{4}$
;②描点:
根据表中的数值描点$(x,y)$,请在如图所示的平面直角坐标系中补充描出点$(-\frac{1}{2},m),(\frac{1}{2},n)$;
③连线:用平滑的曲线顺次连接各点,请把图象(如图)补充完整.
(3)下列关于该函数的说法,错误的是 (
B
)A. 函数图象是轴对称图形
B. 当$x＞0$时,函数值$y$随自变量$x$的增大而增大
C. 函数值$y$都是非负数
D. 若函数图象经过点$(m,y_1)$与$(-m,y_2)$,则$y_1=y_2$
(4)若点$(s,a)$与$(t,b)$在函数图象上,且$|t|＜|s|＜1$,则$a$与$b$的大小关系是
$a＜b$
.答案
(1)全体实数
(2)①$\dfrac{3}{4}$；$\dfrac{3}{4}$ ②③图略.
(3)B
(4)$a＜b$
(2)①$\dfrac{3}{4}$；$\dfrac{3}{4}$ ②③图略.
(3)B
(4)$a＜b$
解析
【分析】
1. 第(1)题：判断自变量取值范围时，只需看函数表达式是否存在限制x的条件，本题是二次式加绝对值，x取任意实数都有意义，可直接得出结论。
2. 第(2)①题：求对应函数值只需将给定的x值代入函数表达式，结合绝对值运算规则计算即可，由于x平方后正负取值的结果相同，因此m和n数值相等。
3. 第(3)题：结合函数性质逐一判断选项：该函数图象关于y轴对称，是轴对称图形；绝对值结果恒非负；x＞0时需分0＜x＜1和x＞1两个区间讨论增减性，据此即可选出错误选项。
4. 第(4)题：先明确|x|＜1区间内函数的增减性：|x|越大，函数值越小，再结合|t|＜|s|＜1的条件，即可比较a、b的大小。
【解析】
(1) 函数$y=|x^2 -1|$中，$x^2$对任意实数都有意义，因此自变量$x$的取值范围是全体实数。
(2)① 将$x=-\dfrac{1}{2}$代入$y=|x^2 -1|$，得$m=|(-\dfrac{1}{2})^2 -1|=|\dfrac{1}{4}-1|=\dfrac{3}{4}$；将$x=\dfrac{1}{2}$代入，得$n=|(\dfrac{1}{2})^2 -1|=\dfrac{3}{4}$。②③按要求描点连线即可，图略。
(3) 逐一分析选项：
A. 因为$y(-x)=|(-x)^2-1|=|x^2-1|=y(x)$，函数图象关于y轴对称，是轴对称图形，该选项正确；
B. 当$0＜x＜1$时，$y=1-x^2$，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y=x^2-1$，$y$随$x$的增大而增大，因此$x＞0$时函数值不是一直随$x$增大而增大，该选项错误；
C. 绝对值的运算结果恒大于等于0，因此函数值$y$都是非负数，该选项正确；
D. 由函数对称性可知，$y(m)=y(-m)$，因此$y_1=y_2$，该选项正确。
因此选B。
(4) 当$|x|＜1$时，$y=1-x^2$，此时$|x|$越大，$x^2$越大，$1-x^2$的值越小，即函数值越小。已知$|t|＜|s|＜1$，因此点$(s,a)$对应的函数值小于点$(t,b)$对应的函数值，即$a＜b$。
【答案】
(1)全体实数
(2)①$\dfrac{3}{4}$；$\dfrac{3}{4}$ ②③图略
(3)B
(4)$a＜b$
【知识点】
自变量取值范围确定；二次函数的图象与性质；绝对值的性质
【点评】
本题以探究绝对值与二次函数结合的新函数为载体，考查函数的基本性质，需要学生掌握分类讨论的思想分析不同区间内函数的增减性，贴合过程性探究的中考命题趋势，能有效考查学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)题：判断自变量取值范围时，只需看函数表达式是否存在限制x的条件，本题是二次式加绝对值，x取任意实数都有意义，可直接得出结论。
2. 第(2)①题：求对应函数值只需将给定的x值代入函数表达式，结合绝对值运算规则计算即可，由于x平方后正负取值的结果相同，因此m和n数值相等。
3. 第(3)题：结合函数性质逐一判断选项：该函数图象关于y轴对称，是轴对称图形；绝对值结果恒非负；x＞0时需分0＜x＜1和x＞1两个区间讨论增减性，据此即可选出错误选项。
4. 第(4)题：先明确|x|＜1区间内函数的增减性：|x|越大，函数值越小，再结合|t|＜|s|＜1的条件，即可比较a、b的大小。
【解析】
(1) 函数$y=|x^2 -1|$中，$x^2$对任意实数都有意义，因此自变量$x$的取值范围是全体实数。
(2)① 将$x=-\dfrac{1}{2}$代入$y=|x^2 -1|$，得$m=|(-\dfrac{1}{2})^2 -1|=|\dfrac{1}{4}-1|=\dfrac{3}{4}$；将$x=\dfrac{1}{2}$代入，得$n=|(\dfrac{1}{2})^2 -1|=\dfrac{3}{4}$。②③按要求描点连线即可，图略。
(3) 逐一分析选项：
A. 因为$y(-x)=|(-x)^2-1|=|x^2-1|=y(x)$，函数图象关于y轴对称，是轴对称图形，该选项正确；
B. 当$0＜x＜1$时，$y=1-x^2$，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y=x^2-1$，$y$随$x$的增大而增大，因此$x＞0$时函数值不是一直随$x$增大而增大，该选项错误；
C. 绝对值的运算结果恒大于等于0，因此函数值$y$都是非负数，该选项正确；
D. 由函数对称性可知，$y(m)=y(-m)$，因此$y_1=y_2$，该选项正确。
因此选B。
(4) 当$|x|＜1$时，$y=1-x^2$，此时$|x|$越大，$x^2$越大，$1-x^2$的值越小，即函数值越小。已知$|t|＜|s|＜1$，因此点$(s,a)$对应的函数值小于点$(t,b)$对应的函数值，即$a＜b$。
【答案】
(1)全体实数
(2)①$\dfrac{3}{4}$；$\dfrac{3}{4}$ ②③图略
(3)B
(4)$a＜b$
【知识点】
自变量取值范围确定；二次函数的图象与性质；绝对值的性质
【点评】
本题以探究绝对值与二次函数结合的新函数为载体，考查函数的基本性质，需要学生掌握分类讨论的思想分析不同区间内函数的增减性，贴合过程性探究的中考命题趋势，能有效考查学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
