5. 下列各近似数精确到万位的是()

A.35000
B.4.5万
C.$3.5×10^{4}$
D.$4.5×10^{5}$

D

【分析】
要判断近似数精确到哪一位，需掌握不同形式近似数的判断方法：①普通整数看最后一位所在的数位；②带“万”等计数单位的数，先还原为原数，再看单位前的最后一位数字对应原数的数位；③科学记数法表示的数$a×10^n$，先还原为原数，再看$a$的最后一位数字对应原数的数位。接下来逐个分析选项即可找到正确答案。
【解析】
我们逐个判断每个选项的精确度：
A. 35000的最后一位数字是个位的0，因此精确到个位，不符合要求；
B. 4.5万还原为原数是45000，4.5的最后一位数字5对应原数的千位，因此精确到千位，不符合要求；
C. $3.5×10^{4}$还原为原数是35000，3.5的最后一位数字5对应原数的千位，因此精确到千位，不符合要求；
D. $4.5×10^{5}$还原为原数是450000，4.5的最后一位数字5对应原数的万位，因此精确到万位，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
近似数的精确度、科学记数法、带计数单位的数的精确度
【点评】
本题核心考查不同形式近似数的精确度判断，易错点是判断带计数单位或科学记数法表示的近似数时，直接看表面数字的数位，没有还原为原数就判断，做题时要注意规避该错误。
【难度系数】
0.7

6. 《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”。如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数。由图可知，孩子自出生后的天数是

（）

A.84
B.336
C.510
D.1326

C

【分析】
本题考查满七进一的七进制计数转十进制的计算，我们可以类比熟悉的十进制“满十进一”的计数规则来思考：十进制中从右到左的数位分别对应10⁰、10¹、10²……，数位上的数字乘对应幂次再求和就是最终数值。本题“满七进一”就是七进制计数，首先先确定从右到左每根绳子上的结数（即各数位上的数字），再分别乘对应的7的幂次，最后求和即可得到总天数。
【解析】
首先观察图形，从右到左每根绳子的结数依次为6、2、3、1。
根据“满七进一”的计数规则，换算为十进制的总天数为：
$\begin{aligned}&1×7^3 + 3×7^2 + 2×7^1 + 6×7^0\\=&1×343 + 3×49 + 2×7 + 6×1\\=&343 + 147 + 14 + 6\\=&510\end{aligned}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.进位制换算 2.有理数乘方运算 3.有理数混合运算
【点评】
本题结合传统“结绳计数”的文化背景考查进位制的换算，解题核心是类比十进制的计数逻辑理解“满七进一”的规则，计算时注意各数位对应的7的幂次不要混淆，整体比较容易得分。
【难度系数】
0.7

7. 计算$(-7) ÷ (-12) × \frac{1}{12}$的结果是。

$\dfrac{7}{144}$

【分析】
这是有理数乘除同级运算题，首先明确乘除属于同级运算，需严格按照从左到右的顺序计算，不可优先计算后两个数的乘法。解题时第一步先根据有理数除法法则，将除法运算转化为乘法运算；第二步根据有理数乘法的符号判断规则：负因数个数为偶数时，乘积为正，确定结果的符号；第三步计算所有数绝对值的乘积，即可得到最终结果。
【解析】
解：$(-7) ÷ (-12) × \frac{1}{12}$
$= (-7) × (-\frac{1}{12}) × \frac{1}{12}$（除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数）
$= 7 × \frac{1}{12} × \frac{1}{12}$（两数相乘，同号得正，先确定符号后计算绝对值乘积）
$= \frac{7}{144}$
【答案】
$\dfrac{7}{144}$
【知识点】
有理数乘除混合运算、有理数除法法则、有理数乘法法则
【点评】
本题重点考查有理数乘除运算的顺序和符号判断，核心易错点是违背从左到右的同级运算顺序，错误先计算后两个数的乘积导致结果出错，做题时要先明确运算顺序，再判断符号最后计算数值。
【难度系数】
0.7

8. 已知$2.73× 10^{n}$是一个10位数，则$n=$，原数为。

9 2730000000

【分析】
我们可以结合科学记数法的规律来解题：首先回忆科学记数法$a×10^n$（$1≤a＜10$，n为整数）中n和原数整数位数的关系，当原数≥10时，n的值等于原数的整数位数减1。题目已经给出这个数是10位数，我们可以先据此算出n的值，再将科学记数法表示的数还原为原数即可。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤a＜10$，$n$为正整数，且$n$的值等于原数的整数位数减1。
已知$2.73×10^n$是10位数，即原数的整数位数为10，因此：
$n=10-1=9$
将$2.73×10^9$还原为原数，只需把2.73的小数点向右移动9位，得到：2730000000
【答案】
9；2730000000
【知识点】
科学记数法的表示；科学记数法还原原数
【点评】
本题考查科学记数法的基本规律，解题关键是牢记n与原数整数位数的对应关系，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.8

9. 按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为26，请写出符合条件的所有x的值。

2或8

【分析】首先明确程序的运算规则：输入x后先计算3x+2，若结果大于20则直接输出，否则将该结果作为新的x再次代入计算，直到结果大于20再输出。已知最终输出结果为26，我们采用逆向推导的方法，从结果倒推每一步可能的输入值，同时结合x为正数的限制条件，排除不符合的情况即可。
【解析】我们从输出结果26逆向推导：
1. 若仅经过1次运算就输出26，此时输入的x满足方程：
$3x+2=26$
解得：$3x=24$，$x=8$，8是正数，符合条件。
2. 若经过2次运算才输出26，说明第一次运算的结果≤20，将第一次运算的结果作为新的输入代入后得到26。设第一次运算结果为a，则：
$3a+2=26$，解得$a=8$
即第一次运算满足$3x+2=8$，解得：$3x=6$，$x=2$，2是正数，且第一次运算结果8≤20，符合条件。
3. 若继续倒推经过3次运算的情况，可得$3x+2=2$，解得$x=0$，不符合x为正数的要求，舍去，再继续倒推x会为负数，均不符合要求。
综上，符合条件的x的值为2或8。
【答案】2或8
【知识点】程序运算、一元一次方程求解
【点评】本题考查逆向思维的应用，解题时需要注意不要遗漏多次运算的情况，同时要结合题干给出的限制条件排除不符合的解，解题过程需要足够细心。
【难度系数】0.7

10. 计算:
(1)$(-1)^4-(5-4)÷(-\dfrac{1}{3})$；
(2)$-6^2×(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2})-2^3$；
(3)$0.25×(-2)^3-[4÷(-\dfrac{2}{3})^2+1]+(-1)^{2027}$；
(4)$(-1)^5-[-3×(-\dfrac{2}{3})^2-1\dfrac{1}{3}÷(-2)^2]$。

(1)4 (2)-14 (3)-13 (4)$\dfrac{2}{3}$

【分析】
有理数混合运算需遵循固定运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算从左到右依次计算；③有括号时先算括号内的，按小括号、中括号的顺序计算。计算时要重点注意符号判断：负数的奇次幂为负、偶次幂为正，单独负号在乘方前（如$-6^2$）表示乘方结果的相反数，不要和带括号的负数乘方混淆，按顺序分步计算即可。
【解析】
(1) 第一步算乘方和括号内运算：$(-1)^4=1$，$5-4=1$；
第二步算除法：$1÷(-\dfrac{1}{3})=1×(-3)=-3$；
第三步算加减：$1-(-3)=1+3=4$。
(2) 第一步算乘方：$-6^2=-36$，$2^3=8$；
第二步算括号内运算：$\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{6}-\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{6}$；
第三步算乘法：$-36×\dfrac{1}{6}=-6$；
第四步算加减：$-6-8=-14$。
(3) 第一步算乘方：$(-2)^3=-8$，$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，$(-1)^{2027}=-1$；
第二步算乘除：$0.25×(-8)=-2$，$4÷\dfrac{4}{9}=4×\dfrac{9}{4}=9$；
第三步算括号内运算：$9+1=10$；
第四步算加减：$-2-10+(-1)=-13$。
(4) 第一步算乘方：$(-1)^5=-1$，$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，$(-2)^2=4$；
第二步算中括号内的乘除：$-3×\dfrac{4}{9}=-\dfrac{4}{3}$，$1\dfrac{1}{3}÷4=\dfrac{4}{3}×\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3}$；
第三步算中括号内的加减：$-\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}=-\dfrac{5}{3}$；
第四步算整体加减：$-1-(-\dfrac{5}{3})=-1+\dfrac{5}{3}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1)$4$；(2)$-14$；(3)$-13$；(4)$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
乘方运算、有理数混合运算、有理数四则运算
【点评】
本题是有理数混合运算的常规题型，易错点为乘方的符号判断、运算顺序颠倒，计算时严格按照运算规则分步推进，注意核对每一步的符号，即可避免错误。
【难度系数】
0.7

11. 阅读下面材料并完成下列问题。
观察下列图形与等式的关系：

根据图形及等式的关系，解决下列问题。
(1)第5个图中空白部分小正方形的个数是,第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式是。
(2)用含$n$的等式表示第$n$个图中空白部分小正方形的个数反映的规律。
(3) 运用上述规律计算：$(2026^2 - 2025^2 + 2024^2 - 2023^2 + 2022^2 - 2021^2 + \dots + 2^2 - 1^2) × \frac{1}{1013}$。

(1)11 $7^2-6^2=7+6=13$
(2)第$n$个图中空白部分小正方形的个数为$(n+1)^2-n^2=n+1+n=2n+1$。
(3)$(2026^2-2025^2+2024^2-2023^2+2022^2-2021^2+\dots+2^2-1^2)×\dfrac{1}{1013}=(2026+2025+2024+2023+2022+2021+\dots+2+1)×\dfrac{1}{1013}=\dfrac{2026×(2026+1)}{2}×\dfrac{1}{1013}=2027$。

【分析】
首先观察给出的图形和对应等式，可发现规律：第k个图的空白小正方形个数等于$(k+1)^2 -k^2$，化简后等于$2k+1$。解决(1)时直接将$k=5$、$k=6$代入规律即可；解决(2)时根据前几个式子的共性，用含n的代数式总结通用规律即可；解决(3)时先利用规律将每一组平方差转化为两数相加，再用等差数列求和公式计算总和，最后完成乘法运算即可。
【解析】
(1) 观察前4个图的规律：
第1个图空白个数：$2^2-1^2=2×1+1=3$
第2个图空白个数：$3^2-2^2=2×2+1=5$
第3个图空白个数：$4^2-3^2=2×3+1=7$
第4个图空白个数：$5^2-4^2=2×4+1=9$
因此第5个图空白个数为$2×5+1=11$；
第6个图空白个数满足的算式为$7^2-6^2=7+6=13$。
(2) 第n个图中，总小正方形个数为$(n+1)^2$，阴影部分小正方形个数为$n^2$，因此空白部分小正方形个数为：
$(n+1)^2 - n^2 = (n+1)+n = 2n+1$。
(3) 先利用上述规律化简原式：
原式$=(2026+2025 + 2024+2023 + \dots +2+1)×\frac{1}{1013}$
根据等差数列求和公式：$1+2+3+\dots+k=\frac{k(k+1)}{2}$，此处$k=2026$，代入得：
$=\frac{2026×(2026+1)}{2} × \frac{1}{1013}$
计算得$2026÷2=1013$，因此：
$=1013×2027 × \frac{1}{1013} = 2027$。
【答案】
(1) $\boxed{11}$；$\boxed{7^2-6^2=7+6=13}$
(2) $\boxed{(n+1)^2 -n^2=2n+1}$
(3) $\boxed{2027}$
【知识点】
规律型：数字的变化类；平方差公式；有理数的混合运算
【点评】
本题结合几何图形考查规律探究问题，需要学生先从示例中归纳出通用规律，再将规律应用到实际运算中，既考查了观察归纳能力，也检验了有理数运算的掌握程度。
【难度系数】
0.65