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一、选择题
1. 下列各式中，是二元一次方程的是(
A.$x - y$
B.$\frac{x}{2}=3 - y$
C.$x=\frac{2}{y}-1$
D.$2xy - 1=0$
1. 下列各式中，是二元一次方程的是(
B
).A.$x - y$
B.$\frac{x}{2}=3 - y$
C.$x=\frac{2}{y}-1$
D.$2xy - 1=0$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断一个式子是不是二元一次方程，首先要明确二元一次方程的三个核心判断条件：①是含有两个未知数的等式（即方程）；②含有未知数的项的次数都为1；③是整式方程（分母中不含未知数）。解题时只需逐一将选项对照这三个条件验证即可得出正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。
对各选项逐一分析：
A选项：$x-y$是代数式，不是等式，不属于方程，不符合要求，排除；
B选项：$\frac{x}{2}=3 - y$整理可得$\frac{1}{2}x + y = 3$，含有$x$、$y$两个未知数，含未知数的项次数均为1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义；
C选项：$x=\frac{2}{y}-1$的分母中含有未知数$y$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
D选项：$2xy - 1=0$中$xy$项的次数是$1+1=2$，含未知数的项次数为2，不符合“一次”的要求，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的定义，整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记二元一次方程的三个判定要点，易错点是容易误将D选项的单项式次数当成单个未知数的次数，或是忽略整式方程的要求错选C。
【难度系数】
0.8
要判断一个式子是不是二元一次方程，首先要明确二元一次方程的三个核心判断条件：①是含有两个未知数的等式（即方程）；②含有未知数的项的次数都为1；③是整式方程（分母中不含未知数）。解题时只需逐一将选项对照这三个条件验证即可得出正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。
对各选项逐一分析：
A选项：$x-y$是代数式，不是等式，不属于方程，不符合要求，排除；
B选项：$\frac{x}{2}=3 - y$整理可得$\frac{1}{2}x + y = 3$，含有$x$、$y$两个未知数，含未知数的项次数均为1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义；
C选项：$x=\frac{2}{y}-1$的分母中含有未知数$y$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除；
D选项：$2xy - 1=0$中$xy$项的次数是$1+1=2$，含未知数的项次数为2，不符合“一次”的要求，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程的定义，整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记二元一次方程的三个判定要点，易错点是容易误将D选项的单项式次数当成单个未知数的次数，或是忽略整式方程的要求错选C。
【难度系数】
0.8
2. 小明买钢笔和铅笔共30支，其中钢笔是铅笔的2倍少3支.若设买钢笔x支，铅笔y支，则列出的方程组应是(
A.$\begin{cases} x + y = 30, \\ y = 2x + 3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 30, \\ y = 2x - 3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 30, \\ x = 2y + 3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 30, \\ x = 2y - 3 \end{cases}$
D
).A.$\begin{cases} x + y = 30, \\ y = 2x + 3 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 30, \\ y = 2x - 3 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 30, \\ x = 2y + 3 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 30, \\ x = 2y - 3 \end{cases}$
答案
2. D
解析
【分析】
要列出符合题意的方程组，需先从题目中提取两个核心等量关系：①钢笔和铅笔的总数量为30支；②钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支。再把未知量x（钢笔支数）、y（铅笔支数）代入等量关系转化为方程即可，解题时要注意区分两个未知量的倍数对应关系，避免把x和y的位置搞反。
【解析】
第一步，根据“钢笔和铅笔共30支”的条件，可得：钢笔支数+铅笔支数=30，代入未知量得到第一个方程：$\boldsymbol{x + y = 30}$；
第二步，根据“钢笔是铅笔的2倍少3支”的条件，可得：钢笔支数=铅笔支数×2 - 3，代入未知量得到第二个方程：$\boldsymbol{x = 2y - 3}$；
联立两个方程得到的方程组为$\begin{cases} x + y = 30, \\ x = 2y - 3 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 等量关系识别
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础题型，解题核心是准确提取题目中的等量关系，只要明确倍数关系中两个量的对应顺序，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
要列出符合题意的方程组，需先从题目中提取两个核心等量关系：①钢笔和铅笔的总数量为30支；②钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支。再把未知量x（钢笔支数）、y（铅笔支数）代入等量关系转化为方程即可，解题时要注意区分两个未知量的倍数对应关系，避免把x和y的位置搞反。
【解析】
第一步，根据“钢笔和铅笔共30支”的条件，可得：钢笔支数+铅笔支数=30，代入未知量得到第一个方程：$\boldsymbol{x + y = 30}$；
第二步，根据“钢笔是铅笔的2倍少3支”的条件，可得：钢笔支数=铅笔支数×2 - 3，代入未知量得到第二个方程：$\boldsymbol{x = 2y - 3}$；
联立两个方程得到的方程组为$\begin{cases} x + y = 30, \\ x = 2y - 3 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 列二元一次方程组
2. 等量关系识别
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础题型，解题核心是准确提取题目中的等量关系，只要明确倍数关系中两个量的对应顺序，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
3. 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140 t，准备加工上市销售.该公司的加工能力是：每天可以精加工6 t或粗加工16 t.现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工，几天粗加工？设安排x天精加工，y天粗加工.为解决这个问题，所列方程组正确的是(
A.$\begin{cases} x + y = 140, \\ 16x + 6y = 15 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 140, \\ 6x + 16y = 15 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 15, \\ 16x + 6y = 140 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 15, \\ 6x + 16y = 140 \end{cases}$
D
).A.$\begin{cases} x + y = 140, \\ 16x + 6y = 15 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 140, \\ 6x + 16y = 15 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 15, \\ 16x + 6y = 140 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 15, \\ 6x + 16y = 140 \end{cases}$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时需要从题干中提取两个核心等量关系：第一，精加工天数与粗加工天数之和等于总计划加工天数15天；第二，精加工的总蔬菜量加上粗加工的总蔬菜量等于收购的总蔬菜量140t。再根据两个等量关系分别列方程，组合成方程组后匹配选项即可。
【解析】
首先根据总加工天数列方程：已知安排x天精加工，y天粗加工，总计划用15天完成任务，因此可得$x + y = 15$；
再根据总加工蔬菜量列方程：精加工每天加工6t，x天共加工$6x$t，粗加工每天加工16t，y天共加工$16y$t，总蔬菜量为140t，因此可得$6x + 16y = 140$；
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x + y = 15 \\ 6x + 16y = 140 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二元一次方程组应用 2. 等量关系提取
【点评】
本题是二元一次方程组实际应用的基础题型，核心考查学生从题干信息中定位等量关系并列式的能力，解题的关键是准确区分天数和产量两类不同的等量关系，避免条件混淆。
【难度系数】
0.8
解题时需要从题干中提取两个核心等量关系：第一，精加工天数与粗加工天数之和等于总计划加工天数15天；第二，精加工的总蔬菜量加上粗加工的总蔬菜量等于收购的总蔬菜量140t。再根据两个等量关系分别列方程，组合成方程组后匹配选项即可。
【解析】
首先根据总加工天数列方程：已知安排x天精加工，y天粗加工，总计划用15天完成任务，因此可得$x + y = 15$；
再根据总加工蔬菜量列方程：精加工每天加工6t，x天共加工$6x$t，粗加工每天加工16t，y天共加工$16y$t，总蔬菜量为140t，因此可得$6x + 16y = 140$；
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x + y = 15 \\ 6x + 16y = 140 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二元一次方程组应用 2. 等量关系提取
【点评】
本题是二元一次方程组实际应用的基础题型，核心考查学生从题干信息中定位等量关系并列式的能力，解题的关键是准确区分天数和产量两类不同的等量关系，避免条件混淆。
【难度系数】
0.8
4. 一个两位数，个数上的数字与十位上的数字之和是9，将个位上的数字与十位上的数字对调所得的两位数比原数大9. 设原数个位上的数字为x，十位上的数字为y，则可列方程组为。
答案
4. $\begin{cases} x + y = 9, \\ (10x + y) - (10y + x) = 9 \end{cases}$
解析
【分析】
解题时首先要抓住题目给出的两个等量关系，同时明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10 + 个位数字。第一步，根据“个位上的数字与十位上的数字之和是9”可以直接列出第一个方程；第二步，分别用x、y表示出原两位数和对调后的新两位数，再根据“新数比原数大9”列出第二个方程，联立两个方程即可得到所求方程组。
【解析】
1. 根据第一个等量关系：个位数字与十位数字之和为9，已知个位数字为x，十位数字为y，可列方程：
$x + y = 9$
2. 表示原数和对调后的新数：
原数的十位是y、个位是x，因此原数为$10y + x$；
对调后新数的十位是x、个位是y，因此新数为$10x + y$；
3. 根据第二个等量关系：新数比原数大9，可列方程：
$(10x + y) - (10y + x) = 9$
4. 联立两个方程即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x + y = 9, \\ (10x + y) - (10y + x) = 9 \end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组，两位数的表示方法
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础题型，解题的核心是正确用含未知数的代数式表示两位数，准确提取题目中的等量关系，掌握以上要点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要抓住题目给出的两个等量关系，同时明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10 + 个位数字。第一步，根据“个位上的数字与十位上的数字之和是9”可以直接列出第一个方程；第二步，分别用x、y表示出原两位数和对调后的新两位数，再根据“新数比原数大9”列出第二个方程，联立两个方程即可得到所求方程组。
【解析】
1. 根据第一个等量关系：个位数字与十位数字之和为9，已知个位数字为x，十位数字为y，可列方程：
$x + y = 9$
2. 表示原数和对调后的新数：
原数的十位是y、个位是x，因此原数为$10y + x$；
对调后新数的十位是x、个位是y，因此新数为$10x + y$；
3. 根据第二个等量关系：新数比原数大9，可列方程：
$(10x + y) - (10y + x) = 9$
4. 联立两个方程即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} x + y = 9, \\ (10x + y) - (10y + x) = 9 \end{cases}$
【知识点】
列二元一次方程组，两位数的表示方法
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础题型，解题的核心是正确用含未知数的代数式表示两位数，准确提取题目中的等量关系，掌握以上要点就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
5. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为。
答案
5. $\begin{cases} y = x + 4.5, \\ 0.5y = x - 1 \end{cases}$
解析
【分析】
解题时先围绕题目给出的两个未知量（木条长x尺、绳长y尺），分别梳理两种测量方式对应的等量关系：第一种测量是用完整绳子量木条，绳子比木条长4.5尺，可得绳长=木条长+剩余绳长；第二种测量是绳子对折后量木条，此时对折后的绳子比木条短1尺，可得对折后绳长=木条长-木条剩余长度。把两个等量关系用含x、y的式子表示，联立即可得到方程组。
【解析】
1. 分析第一种测量场景的等量关系：
用完整绳子量木条时，绳子剩余4.5尺，说明绳子长度比木条长度多4.5尺，可列方程：$\boldsymbol{y = x + 4.5}$
2. 分析第二种测量场景的等量关系：
绳子对折后长度为$0.5y$，此时量木条，木条剩余1尺，说明对折后的绳子长度比木条长度少1尺，可列方程：$\boldsymbol{0.5y = x - 1}$
3. 联立两个方程，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} y = x + 4.5, \\ 0.5y = x - 1 \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 等量关系提取
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为载体，考查实际问题转化为数学方程的能力，解题核心是准确理解“余绳”“不足一尺”“对折”的含义，正确梳理两种测量场景下的长度对应关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
解题时先围绕题目给出的两个未知量（木条长x尺、绳长y尺），分别梳理两种测量方式对应的等量关系：第一种测量是用完整绳子量木条，绳子比木条长4.5尺，可得绳长=木条长+剩余绳长；第二种测量是绳子对折后量木条，此时对折后的绳子比木条短1尺，可得对折后绳长=木条长-木条剩余长度。把两个等量关系用含x、y的式子表示，联立即可得到方程组。
【解析】
1. 分析第一种测量场景的等量关系：
用完整绳子量木条时，绳子剩余4.5尺，说明绳子长度比木条长度多4.5尺，可列方程：$\boldsymbol{y = x + 4.5}$
2. 分析第二种测量场景的等量关系：
绳子对折后长度为$0.5y$，此时量木条，木条剩余1尺，说明对折后的绳子长度比木条长度少1尺，可列方程：$\boldsymbol{0.5y = x - 1}$
3. 联立两个方程，即可得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases} y = x + 4.5, \\ 0.5y = x - 1 \end{cases}$
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 等量关系提取
【点评】
本题以古代数学典籍中的问题为载体，考查实际问题转化为数学方程的能力，解题核心是准确理解“余绳”“不足一尺”“对折”的含义，正确梳理两种测量场景下的长度对应关系，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
6. 甲、乙两人练习跑步，速度分别为$x$ m/s和$y$ m/s（$x＞y$），乙在甲的前方30 m处.若两人同时起跑，方向相同，20 s时甲赶上乙，则$x$，$y$应满足
$20x = 20y + 30$
.答案
6. 20x = 20y + 30
解析
【分析】
这是同向追及类的行程问题，解题核心是找到甲追上乙时两者的路程等量关系。我们可以先依据“路程=速度×时间”的基本公式，分别表示出甲、乙两人20秒跑的路程，再结合起跑时乙在甲前方30米的条件，明确追上时甲跑的总路程等于乙跑的路程加上初始的30米路程差，据此列出等式即可。
【解析】
1. 计算甲20秒跑的路程：根据路程=速度×时间，甲的速度为$x$ m/s，运动时间为20 s，因此甲跑的路程为$20x$ m；
2. 计算乙20秒跑的路程：乙的速度为$y$ m/s，运动时间为20 s，因此乙跑的路程为$20y$ m；
3. 结合追及的路程关系列等式：起跑时乙在甲前方30 m，甲追上乙时，甲跑的路程=乙跑的路程+初始路程差30 m，因此可得等式$20x = 20y + 30$。
【答案】
$20x = 20y + 30$
【知识点】
追及问题、路程公式、等量关系列方程
【点评】
本题是行程类的基础题型，核心考查追及场景下的路程相等关系，只要熟练掌握路程、速度、时间三者的运算关系，准确梳理初始路程差就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
这是同向追及类的行程问题，解题核心是找到甲追上乙时两者的路程等量关系。我们可以先依据“路程=速度×时间”的基本公式，分别表示出甲、乙两人20秒跑的路程，再结合起跑时乙在甲前方30米的条件，明确追上时甲跑的总路程等于乙跑的路程加上初始的30米路程差，据此列出等式即可。
【解析】
1. 计算甲20秒跑的路程：根据路程=速度×时间，甲的速度为$x$ m/s，运动时间为20 s，因此甲跑的路程为$20x$ m；
2. 计算乙20秒跑的路程：乙的速度为$y$ m/s，运动时间为20 s，因此乙跑的路程为$20y$ m；
3. 结合追及的路程关系列等式：起跑时乙在甲前方30 m，甲追上乙时，甲跑的路程=乙跑的路程+初始路程差30 m，因此可得等式$20x = 20y + 30$。
【答案】
$20x = 20y + 30$
【知识点】
追及问题、路程公式、等量关系列方程
【点评】
本题是行程类的基础题型，核心考查追及场景下的路程相等关系，只要熟练掌握路程、速度、时间三者的运算关系，准确梳理初始路程差就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
