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6. 如图28.1-15，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上.
（1）画出△ABC向右平移3个单位长度后的△A₁B₁C₁；
（2）画出△A₁B₁C₁绕点C₁顺时针旋转90°后的△A₂B₂C₁.
（1）画出△ABC向右平移3个单位长度后的△A₁B₁C₁；
（2）画出△A₁B₁C₁绕点C₁顺时针旋转90°后的△A₂B₂C₁.
答案
1. △A₁B₁C₁如图所示.
2. △A₂B₂C₁如图所示，最终绘制结果见
解析
【分析】
（1）作平移后的图形需依据平移的性质：平移前后图形的对应点移动方向、距离均相同。首先找到△ABC三个顶点A、B、C向右平移3个单位后的对应点A₁、B₁、C₁，再顺次连接三个对应点即可得到△A₁B₁C₁。
（2）作旋转后的图形需依据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。本题旋转中心是C₁，旋转方向为顺时针，旋转角为90°，固定C₁位置不变，分别找到A₁、B₁绕C₁顺时针旋转90°后的对应点A₂、B₂，顺次连接三个点即可得到△A₂B₂C₁。
【解析】
（1）平移作图步骤：
①将点A向右平移3个单位长度得到点A₁，同理将点B、C分别向右平移3个单位长度得到点B₁、C₁；
②按顺序连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得三角形即为平移后的△A₁B₁C₁。
（2）旋转作图步骤：
①确定旋转中心为C₁，该点位置保持不变；
②把线段C₁A₁绕点C₁顺时针旋转90°，根据格点特征确定A₁的对应点A₂的位置；
③把线段C₁B₁绕点C₁顺时针旋转90°，根据格点特征确定B₁的对应点B₂的位置；
④按顺序连接A₂B₂、B₂C₁、C₁A₂，所得三角形即为旋转后的△A₂B₂C₁。
【答案】
1. △A₁B₁C₁如图所示.
2. △A₂B₂C₁如图所示，最终绘制结果见
【知识点】
平移作图，旋转作图，格点图形变换
【点评】
本题是基础的网格作图题，核心考查平移、旋转的作图方法，解题关键是熟练掌握平移和旋转的性质，准确找到变换后各顶点的对应位置，作图时注意标注对应点字母即可。
【难度系数】
0.9
（1）作平移后的图形需依据平移的性质：平移前后图形的对应点移动方向、距离均相同。首先找到△ABC三个顶点A、B、C向右平移3个单位后的对应点A₁、B₁、C₁，再顺次连接三个对应点即可得到△A₁B₁C₁。
（2）作旋转后的图形需依据旋转的性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。本题旋转中心是C₁，旋转方向为顺时针，旋转角为90°，固定C₁位置不变，分别找到A₁、B₁绕C₁顺时针旋转90°后的对应点A₂、B₂，顺次连接三个点即可得到△A₂B₂C₁。
【解析】
（1）平移作图步骤：
①将点A向右平移3个单位长度得到点A₁，同理将点B、C分别向右平移3个单位长度得到点B₁、C₁；
②按顺序连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，所得三角形即为平移后的△A₁B₁C₁。
（2）旋转作图步骤：
①确定旋转中心为C₁，该点位置保持不变；
②把线段C₁A₁绕点C₁顺时针旋转90°，根据格点特征确定A₁的对应点A₂的位置；
③把线段C₁B₁绕点C₁顺时针旋转90°，根据格点特征确定B₁的对应点B₂的位置；
④按顺序连接A₂B₂、B₂C₁、C₁A₂，所得三角形即为旋转后的△A₂B₂C₁。
【答案】
1. △A₁B₁C₁如图所示.
2. △A₂B₂C₁如图所示，最终绘制结果见
【知识点】
平移作图，旋转作图，格点图形变换
【点评】
本题是基础的网格作图题，核心考查平移、旋转的作图方法，解题关键是熟练掌握平移和旋转的性质，准确找到变换后各顶点的对应位置，作图时注意标注对应点字母即可。
【难度系数】
0.9
7. 如图28.1-16，网格中小正方形的边长均为1，$△ ABC$的三个顶点都在格点上.$△ A_1AC_1$是由$△ ABC$绕点$O$顺时针旋转得到的.
（1）旋转角的大小是________；
（2）以点$O$为旋转中心，分别画出$△ A_1AC_1$顺时针旋转$90°$，$180°$得到的$△ A_2A_1C_2$，$△ BA_2C_3$；
（3）设$\mathrm{Rt}△ ABC$两直角边$BC=a$，$AC=b$，斜边$AB=c$，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理.
（1）旋转角的大小是________；
（2）以点$O$为旋转中心，分别画出$△ A_1AC_1$顺时针旋转$90°$，$180°$得到的$△ A_2A_1C_2$，$△ BA_2C_3$；
（3）设$\mathrm{Rt}△ ABC$两直角边$BC=a$，$AC=b$，斜边$AB=c$，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理.
答案
7. （1）90°
（2）$△ A_2A_1C_2$，$△ BA_2C_3$如图所示。
（3）证明：由旋转的过程可知，四边形$CC_1C_2C_3$和四边形$AA_1A_2B$都是正方形。
$\because S_{\mathrm{正方形}CC_1C_2C_3}=S_{\mathrm{正方形}AA_1A_2B}+4S_{△ ABC}$，
$\therefore (a+b)^2=c^2+4×\frac{1}{2}ab$，
即$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$，
$\therefore a^2+b^2=c^2$。
解析
【分析】
（1）求旋转角时，根据旋转性质，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，只需连接对应点A、A₁和旋转中心O，观察网格中OA与OA₁的夹角即可得到结果；
（2）画旋转后三角形时，依据旋转的性质，先确定△A₁AC₁各顶点绕点O顺时针旋转90°、180°后的对应点，再顺次连接对应点即可得到所求图形；
（3）证明勾股定理采用面积法，观察旋转所得图形，大正方形的面积既可以用边长(a+b)直接计算，也可以表示为中间小正方形面积加4个全等直角三角形的面积，联立两个面积表达式化简即可推导勾股定理。
【解析】
（1）连接OA、OA₁，结合网格特征可判断OA顺时针旋转90°后与OA₁重合，因此旋转角为90°；
（2）按照旋转作图的步骤：先确定旋转中心O、旋转方向为顺时针、旋转角度分别为90°和180°，再依次找到△A₁AC₁三个顶点旋转后的对应点，最后顺次连接对应点，即可得到△A₂A₁C₂和△BA₂C₃；
（3）证明：由旋转过程可知，四边形$CC_1C_2C_3$和四边形$AA_1A_2B$均为正方形。
大正方形$CC_1C_2C_3$的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；中间正方形$AA_1A_2B$的边长为斜边$c$，面积为$c^2$，每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，共4个全等的直角三角形。
根据图形面积关系：大正方形面积=中间正方形面积+4个直角三角形面积，代入即可推导得到勾股定理。
【答案】
（1）$\boldsymbol{90°}$
（2）$△ A_2A_1C_2$，$△ BA_2C_3$如图所示。
（3）证明：由旋转的过程可知，四边形$CC_1C_2C_3$和四边形$AA_1A_2B$都是正方形。
$\because S_{\mathrm{正方形}CC_1C_2C_3}=S_{\mathrm{正方形}AA_1A_2B}+4S_{△ ABC}$，
$\therefore (a+b)^2=c^2+4×\frac{1}{2}ab$，
即$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$，
$\therefore a^2+b^2=c^2$。
【知识点】
旋转的性质，勾股定理的证明，面积法应用
【点评】
本题将图形旋转变换与勾股定理的证明相结合，既考查了旋转相关的基础概念和作图能力，又通过面积关系的推导强化了数形结合思想的应用，能够有效考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.7
（1）求旋转角时，根据旋转性质，旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，只需连接对应点A、A₁和旋转中心O，观察网格中OA与OA₁的夹角即可得到结果；
（2）画旋转后三角形时，依据旋转的性质，先确定△A₁AC₁各顶点绕点O顺时针旋转90°、180°后的对应点，再顺次连接对应点即可得到所求图形；
（3）证明勾股定理采用面积法，观察旋转所得图形，大正方形的面积既可以用边长(a+b)直接计算，也可以表示为中间小正方形面积加4个全等直角三角形的面积，联立两个面积表达式化简即可推导勾股定理。
【解析】
（1）连接OA、OA₁，结合网格特征可判断OA顺时针旋转90°后与OA₁重合，因此旋转角为90°；
（2）按照旋转作图的步骤：先确定旋转中心O、旋转方向为顺时针、旋转角度分别为90°和180°，再依次找到△A₁AC₁三个顶点旋转后的对应点，最后顺次连接对应点，即可得到△A₂A₁C₂和△BA₂C₃；
（3）证明：由旋转过程可知，四边形$CC_1C_2C_3$和四边形$AA_1A_2B$均为正方形。
大正方形$CC_1C_2C_3$的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；中间正方形$AA_1A_2B$的边长为斜边$c$，面积为$c^2$，每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，共4个全等的直角三角形。
根据图形面积关系：大正方形面积=中间正方形面积+4个直角三角形面积，代入即可推导得到勾股定理。
【答案】
（1）$\boldsymbol{90°}$
（2）$△ A_2A_1C_2$，$△ BA_2C_3$如图所示。
（3）证明：由旋转的过程可知，四边形$CC_1C_2C_3$和四边形$AA_1A_2B$都是正方形。
$\because S_{\mathrm{正方形}CC_1C_2C_3}=S_{\mathrm{正方形}AA_1A_2B}+4S_{△ ABC}$，
$\therefore (a+b)^2=c^2+4×\frac{1}{2}ab$，
即$a^2+2ab+b^2=c^2+2ab$，
$\therefore a^2+b^2=c^2$。
【知识点】
旋转的性质，勾股定理的证明，面积法应用
【点评】
本题将图形旋转变换与勾股定理的证明相结合，既考查了旋转相关的基础概念和作图能力，又通过面积关系的推导强化了数形结合思想的应用，能够有效考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.7
