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7. 若在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$图象的任一支上，$y$都随$x$的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的是（
A.$(-1,2)$
B.$(3,2)$
C.$(2,0)$
D.$(0,-3)$
A
）.A.$(-1,2)$
B.$(3,2)$
C.$(2,0)$
D.$(0,-3)$
答案
7. A
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的增减性规律：对于$y=\dfrac{k}{x}$，当$k＜0$时，在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而增大，据此先确定本题中$k$的取值为负数；其次反比例函数的自变量$x$不能为0，函数值$y$也不能为0，可直接排除存在$x$或$y$为0的选项；最后将剩余选项的横纵坐标相乘得到$k$值，判断是否为负数，符合的即为正确答案。
【解析】
1. 根据反比例函数性质：$y=\dfrac{k}{x}$的任一支上$y$随$x$增大而增大，可得$k＜0$；
2. 反比例函数中$x≠0$，$y≠0$，因此C选项$y=0$、D选项$x=0$不符合要求，直接排除；
3. 计算剩余选项的$k=xy$：
A选项：$k=(-1)×2=-2＜0$，满足$k＜0$的条件；
B选项：$k=3×2=6＞0$，不满足条件。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，核心考点是反比例函数增减性与比例系数$k$的关系，解题时要注意反比例函数中$x$、$y$均不为0的隐含条件，可快速排除错误选项降低解题难度。
【难度系数】
0.8
首先回忆反比例函数的增减性规律：对于$y=\dfrac{k}{x}$，当$k＜0$时，在图象的每一支上，$y$随$x$的增大而增大，据此先确定本题中$k$的取值为负数；其次反比例函数的自变量$x$不能为0，函数值$y$也不能为0，可直接排除存在$x$或$y$为0的选项；最后将剩余选项的横纵坐标相乘得到$k$值，判断是否为负数，符合的即为正确答案。
【解析】
1. 根据反比例函数性质：$y=\dfrac{k}{x}$的任一支上$y$随$x$增大而增大，可得$k＜0$；
2. 反比例函数中$x≠0$，$y≠0$，因此C选项$y=0$、D选项$x=0$不符合要求，直接排除；
3. 计算剩余选项的$k=xy$：
A选项：$k=(-1)×2=-2＜0$，满足$k＜0$的条件；
B选项：$k=3×2=6＞0$，不满足条件。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，核心考点是反比例函数增减性与比例系数$k$的关系，解题时要注意反比例函数中$x$、$y$均不为0的隐含条件，可快速排除错误选项降低解题难度。
【难度系数】
0.8
8. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$-2≤ x≤ -1$时，$y$的最大值是4，则当$x≥8$时，$y$的最小值为
$-\dfrac{1}{2}$
.答案
8. $-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时先结合x的取值范围（均为负数）和y的最大值为正数，判断反比例函数系数k的符号：若k＞0，x为负时y也为负，不可能得到最大值4，因此k＜0。再根据k＜0时反比例函数在每个象限内y随x的增大而增大的性质，可知在区间[-2,-1]内，x取最大值-1时y取得最大值4，代入即可求出k的值，得到函数解析式。最后分析x≥8时函数的单调性，找到取最小值时对应的x值，代入计算即可。
【解析】
1. 确定k的符号：
已知当$-2≤x≤-1$时，x均为负数，若$k＞0$，则$y=\frac{k}{x}$为负数，不可能取得最大值4，因此$k＜0$。
2. 求k的值：
当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在$x＜0$的区间内，y随x的增大而增大，因此当x取区间最大值$x=-1$时，y取得最大值4。
将$x=-1$，$y=4$代入$y=\frac{k}{x}$得：
$4=\frac{k}{-1}$，解得$k=-4$
因此反比例函数解析式为$y=\frac{-4}{x}$。
3. 求$x≥8$时y的最小值：
当$x≥8$时，x为正数，$k=-4＜0$，此时函数在$x＞0$的区间内y随x的增大而增大，因此当x取最小值$x=8$时，y取得最小值。
将$x=8$代入解析式得：
$y=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数解析式的确定
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题的核心是先根据已知条件判断k的正负，再结合对应象限内的单调性求解最值，需注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，避免跨象限判断。
【难度系数】
0.7
解题时先结合x的取值范围（均为负数）和y的最大值为正数，判断反比例函数系数k的符号：若k＞0，x为负时y也为负，不可能得到最大值4，因此k＜0。再根据k＜0时反比例函数在每个象限内y随x的增大而增大的性质，可知在区间[-2,-1]内，x取最大值-1时y取得最大值4，代入即可求出k的值，得到函数解析式。最后分析x≥8时函数的单调性，找到取最小值时对应的x值，代入计算即可。
【解析】
1. 确定k的符号：
已知当$-2≤x≤-1$时，x均为负数，若$k＞0$，则$y=\frac{k}{x}$为负数，不可能取得最大值4，因此$k＜0$。
2. 求k的值：
当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$在$x＜0$的区间内，y随x的增大而增大，因此当x取区间最大值$x=-1$时，y取得最大值4。
将$x=-1$，$y=4$代入$y=\frac{k}{x}$得：
$4=\frac{k}{-1}$，解得$k=-4$
因此反比例函数解析式为$y=\frac{-4}{x}$。
3. 求$x≥8$时y的最小值：
当$x≥8$时，x为正数，$k=-4＜0$，此时函数在$x＞0$的区间内y随x的增大而增大，因此当x取最小值$x=8$时，y取得最小值。
将$x=8$代入解析式得：
$y=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数解析式的确定
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题的核心是先根据已知条件判断k的正负，再结合对应象限内的单调性求解最值，需注意反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，避免跨象限判断。
【难度系数】
0.7
9. 已知点$(1,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点$(-3,a)$，$(1,b)$，$(3,c)$都在反比例函数的图象上，比较$a$，$b$，$c$的大小，并说明理由.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点$(-3,a)$，$(1,b)$，$(3,c)$都在反比例函数的图象上，比较$a$，$b$，$c$的大小，并说明理由.
答案
9. 解：（1）$\because$点$(1,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore 3=\frac{k}{1}. \therefore k=3.$
$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}.$
（2）$a＜c＜b$. 理由：$\because k=3＞0$，$\therefore$该函数的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小.
$\because -3＜0＜1＜3$，
$\therefore a＜c＜b.$
$\therefore 3=\frac{k}{1}. \therefore k=3.$
$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}.$
（2）$a＜c＜b$. 理由：$\because k=3＞0$，$\therefore$该函数的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小.
$\because -3＜0＜1＜3$，
$\therefore a＜c＜b.$
解析
【分析】
（1）反比例函数$y=\frac{k}{x}$中仅含有一个未知参数$k$，已知函数图象经过点$(1,3)$，将该点的横、纵坐标代入函数解析式，即可得到关于$k$的一元一次方程，解方程求出$k$的值就能确定反比例函数的解析式。
（2）比较$a$、$b$、$c$的大小可以从两个角度思考：一是直接将三个点的横坐标代入已求出的解析式，计算得到$a$、$b$、$c$的具体数值后直接比较；二是利用反比例函数的性质，先根据$k$的正负判断函数图象所在的象限和增减性，再结合三个点横坐标的正负、大小关系，对应判断函数值的大小关系。
【解析】
（1）$\because$点$(1,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore$将$x=1$，$y=3$代入解析式得$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$。
（2）$a＜c＜b$，理由如下：
$\because k=3＞0$，$\therefore$该反比例函数的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
$\because -3＜0＜1＜3$，
$\therefore$点$(-3,a)$在第三象限，$a＜0$；点$(1,b)$、$(3,c)$在第一象限，$b＞0$，$c＞0$，且第一象限内$x$越大$y$越小，故$b＞c$，
综上可得$a＜c＜b$。
【答案】
（1）$y=\frac{3}{x}$；
（2）$a＜c＜b$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及结合反比例函数的增减性、象限分布比较函数值大小的能力，熟练掌握反比例函数的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）反比例函数$y=\frac{k}{x}$中仅含有一个未知参数$k$，已知函数图象经过点$(1,3)$，将该点的横、纵坐标代入函数解析式，即可得到关于$k$的一元一次方程，解方程求出$k$的值就能确定反比例函数的解析式。
（2）比较$a$、$b$、$c$的大小可以从两个角度思考：一是直接将三个点的横坐标代入已求出的解析式，计算得到$a$、$b$、$c$的具体数值后直接比较；二是利用反比例函数的性质，先根据$k$的正负判断函数图象所在的象限和增减性，再结合三个点横坐标的正负、大小关系，对应判断函数值的大小关系。
【解析】
（1）$\because$点$(1,3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，
$\therefore$将$x=1$，$y=3$代入解析式得$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{3}{x}$。
（2）$a＜c＜b$，理由如下：
$\because k=3＞0$，$\therefore$该反比例函数的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
$\because -3＜0＜1＜3$，
$\therefore$点$(-3,a)$在第三象限，$a＜0$；点$(1,b)$、$(3,c)$在第一象限，$b＞0$，$c＞0$，且第一象限内$x$越大$y$越小，故$b＞c$，
综上可得$a＜c＜b$。
【答案】
（1）$y=\frac{3}{x}$；
（2）$a＜c＜b$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题，重点考查待定系数法求函数解析式的方法，以及结合反比例函数的增减性、象限分布比较函数值大小的能力，熟练掌握反比例函数的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
10. 已知一个反比例函数的图象经过点A(2，－4)。
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若该函数的图象上有两点E(m，a)，F(n，b)，且m＞n＞0，则a和b有怎样的大小关系？
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若该函数的图象上有两点E(m，a)，F(n，b)，且m＞n＞0，则a和b有怎样的大小关系？
答案
（1） 设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$。
∵该反比例函数的图象经过点A(2，－4)，
∴$k=-4×2=-8$。
∴该反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
（2）
∵$k=-8＜0$，
∴该函数的图象位于第二、第四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大。
∵$m＞n＞0$，
∴$a＞b$。
∵该反比例函数的图象经过点A(2，－4)，
∴$k=-4×2=-8$。
∴该反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
（2）
∵$k=-8＜0$，
∴该函数的图象位于第二、第四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大。
∵$m＞n＞0$，
∴$a＞b$。
解析
【分析】
（1）求反比例函数解析式可采用待定系数法，先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知点A的坐标代入解析式求出k的值，就能得到函数解析式。
（2）要比较a、b的大小，首先根据k的符号判断反比例函数的增减性，再结合两点横坐标的范围$m＞n＞0$确定两点在同一象限，最后利用增减性即可判断出函数值的大小关系。
【解析】
（1）设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$。
∵该反比例函数的图象经过点A(2，－4)，
∴$k=-4×2=-8$。
∴该反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
（2）
∵$k=-8＜0$，
∴该函数的图象位于第二、第四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大。
∵$m＞n＞0$，
∴$a＞b$。
【答案】
（1）$y=-\frac{8}{x}$；（2）$a＞b$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，第一问是待定系数法的基础应用，属于易得分点；第二问考查反比例函数增减性的应用，解题时要注意需在同一象限内才能直接通过增减性比较函数值大小。
【难度系数】
0.8
（1）求反比例函数解析式可采用待定系数法，先设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知点A的坐标代入解析式求出k的值，就能得到函数解析式。
（2）要比较a、b的大小，首先根据k的符号判断反比例函数的增减性，再结合两点横坐标的范围$m＞n＞0$确定两点在同一象限，最后利用增减性即可判断出函数值的大小关系。
【解析】
（1）设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$。
∵该反比例函数的图象经过点A(2，－4)，
∴$k=-4×2=-8$。
∴该反比例函数的解析式为$y=-\frac{8}{x}$。
（2）
∵$k=-8＜0$，
∴该函数的图象位于第二、第四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大。
∵$m＞n＞0$，
∴$a＞b$。
【答案】
（1）$y=-\frac{8}{x}$；（2）$a＞b$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础常考题，第一问是待定系数法的基础应用，属于易得分点；第二问考查反比例函数增减性的应用，解题时要注意需在同一象限内才能直接通过增减性比较函数值大小。
【难度系数】
0.8
