11. 观察下列各式：
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，
$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{30}=\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，
……
（1）由此可推导出$\frac{1}{42}=$；
（2）请猜想出能表示（1）的特点的一般规律，用含字母$m$的等式表示出来（$m$表示整数）；
（3）请直接用（2）中的规律计算：$\frac{1}{(x-2)(x-3)} - \frac{2}{(x-1)(x-3)} + \frac{1}{(x-1)(x-2)}$

(1) $\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$
(2) $\frac{1}{m(m+1)}=\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}$
(3) 0

【分析】
解题时先观察已知等式的共同特征：所有等式左边的分子都是1，分母是两个连续正整数的乘积，等式右边是这两个连续整数的倒数的差。
（1）先将42分解为两个连续整数的乘积，再按照上述特征拆分即可；
（2）将具体的数字替换为字母m，用含m的式子表示出上述规律即可；
（3）先将原式中的每个分式按照（2）中的裂项规律拆分，再去括号合并同类项，抵消相同项后即可求出结果，计算时注意去括号的符号变化。
【解析】
（1）观察已知式子可知，分母为两个连续整数$n$和$n+1$的乘积时，$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
因为$42=6×7$，所以$\frac{1}{42}=\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$。
（2）根据上述式子的规律，可得对于整数$m$（$m≠0$且$m≠-1$），有：
$\frac{1}{m(m+1)}=\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}$
（3）根据裂项规律对原式各项拆分：
$\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}$
$\frac{2}{(x-1)(x-3)}=\frac{(x-1)-(x-3)}{(x-1)(x-3)}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}$
$\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}$
将拆分结果代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2})-(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1})+(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1})\\&=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\\&=0\end{aligned}$
【答案】
（1）$\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$
（2）$\frac{1}{m(m+1)}=\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}$（$m$为不等于0和-1的整数）
（3）$0$
【知识点】
分式裂项相消；分式加减运算；规律探究
【点评】
本题考查规律探究与分式的加减巧算，解题核心是通过观察已知式子总结出裂项规律，再将规律应用到分式运算中，计算时要注意去括号时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7

12. 小王和小张的加油习惯不同，小王每次加油都说：“师傅，给我加300元的油”（油箱未加满）. 而小张则说：“师傅，帮我把油箱加满”，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱. 设小王和小张第一次加油时油价均为x元/升，第二次加油时油价均为y元/升.
(1)用含x,y的代数式分别表示小王和小张两次所加油的平均单价.
(2)小王和小张的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学的数学知识说明理由.

(1)小王两次所加油的平均单价为$\frac{2xy}{x+y}$元;小张两次所加油的平均单价为$\frac{x+y}{2}$元.
(2)小王的加油方式更省钱.
理由:$\frac{2xy}{x+y}-\frac{x+y}{2}=\frac{4xy-(x+y)^2}{2(x+y)}=\frac{-(x-y)^2}{2(x+y)}$,
$\because\ \ 2(x+y)＞0,-(x-y)^2≤0,$
$\therefore\ \ $当$x=y$时,$\frac{-(x-y)^2}{2(x+y)}=0,即\frac{2xy}{x+y}=\frac{x+y}{2},$
两种加油方式的平均单价相同；
当$x≠ y$时，
$\frac{-(x-y)^2}{2(x+y)}＜0,即\frac{2xy}{x+y}＜\frac{x+y}{2},$
$\therefore\ \ $小王加油的平均单价低,小王的加油方式更省钱.

【分析】
解决本题核心是牢记平均单价的计算公式：平均单价=两次加油总费用÷两次加油总升数。
（1）计算小王的平均单价：先求两次加油总花费，再分别计算两次加油的升数求和得到总升数，代入公式化简即可。计算小张的平均单价：可设油箱加满容量为a升，先求两次加油总花费和总升数，代入公式后参数a会自动消去，即可得到结果。
（2）判断哪种加油方式省钱，只需比较两人平均单价的大小，采用作差法，将两个平均单价相减，通分化简后判断差的正负，就能确定两者大小关系，得出结论。
【解析】
(1) 求小王的平均单价：
小王两次加油总花费为$300×2=600$元，
第一次加油升数为$\frac{300}{x}$升，第二次加油升数为$\frac{300}{y}$升，
总升数为$\frac{300}{x}+\frac{300}{y}=\frac{300(x+y)}{xy}$升，
因此小王的平均单价为$600÷\frac{300(x+y)}{xy}=\frac{2xy}{x+y}$元/升。
求小张的平均单价：
设油箱加满的容量为$a$升，
小张两次加油总升数为$2a$升，总花费为$ax+ay=a(x+y)$元，
因此小张的平均单价为$\frac{a(x+y)}{2a}=\frac{x+y}{2}$元/升。
(2) 用作差法比较两个平均单价的大小：
$\frac{2xy}{x+y}-\frac{x+y}{2}=\frac{4xy-(x+y)^2}{2(x+y)}=\frac{-(x-y)^2}{2(x+y)}$
∵油价均为正数，即$x＞0,y＞0$，
∴$2(x+y)＞0$，又
∵平方的非负性可得$(x-y)^2≥0$，
∴$-(x-y)^2≤0$。
当$x=y$时，$\frac{-(x-y)^2}{2(x+y)}=0$，即$\frac{2xy}{x+y}=\frac{x+y}{2}$，两种加油方式平均单价相同；
当$x≠y$时，$\frac{-(x-y)^2}{2(x+y)}＜0$，即$\frac{2xy}{x+y}＜\frac{x+y}{2}$，小王的平均单价更低。
【答案】
(1)小王两次所加油的平均单价为$\frac{2xy}{x+y}$元;小张两次所加油的平均单价为$\frac{x+y}{2}$元.
(2)小王的加油方式更省钱.
理由:$\frac{2xy}{x+y}-\frac{x+y}{2}=\frac{4xy-(x+y)^2}{2(x+y)}=\frac{-(x-y)^2}{2(x+y)}$,
$\because\ \ 2(x+y)＞0,-(x-y)^2≤0,$
$\therefore\ \ $当$x=y$时,$\frac{-(x-y)^2}{2(x+y)}=0,即\frac{2xy}{x+y}=\frac{x+y}{2},$
两种加油方式的平均单价相同；
当$x≠ y$时，
$\frac{-(x-y)^2}{2(x+y)}＜0,即\frac{2xy}{x+y}＜\frac{x+y}{2},$
$\therefore\ \ $小王加油的平均单价低,小王的加油方式更省钱.
【知识点】
分式的运算，作差法比较大小，代数式化简
【点评】
本题结合生活中常见的加油场景出题，将数学知识和实际应用紧密结合，既考查了分式通分化简、作差比较大小的核心技能，也能让学生感受到数学的实用价值，解题的关键是准确把握平均单价的计算逻辑，熟练掌握分式的运算规则。
【难度系数】
0.65