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8.(★)近年来,高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目.如图,A,B,C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地,但是,政府为了使A,B,C三地的民众都能享受高铁带来的便利,决定将高铁站修建在到A,B,C三地距离都相等的地方,则高铁站应建在
【 】
A.AB,BC两边中线的交点处
B.AB,BC两边高的交点处
C.AB,BC两边垂直平分线的交点处
D.∠B,∠C两内角的平分线的交点处
【 】
A.AB,BC两边中线的交点处
B.AB,BC两边高的交点处
C.AB,BC两边垂直平分线的交点处
D.∠B,∠C两内角的平分线的交点处
答案
C
解析
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。要找到到A、B、C三地距离都相等的点，该点需在AB的垂直平分线上，同时也需在BC的垂直平分线上，因此满足要求的点是AB、BC两边垂直平分线的交点。
9. (★)下列命题,写出其逆命题后,两者是互逆定理的是 【 】
A.若两条直线垂直,则两条直线有交点
B.若$a+b=0$,则$a$与$b$相等
C.同位角相等,两直线平行
D.若直线$a⊥c,b⊥c$,则$a// b$
A.若两条直线垂直,则两条直线有交点
B.若$a+b=0$,则$a$与$b$相等
C.同位角相等,两直线平行
D.若直线$a⊥c,b⊥c$,则$a// b$
答案
C
解析
【分析】
要解这道题，首先要明确互逆定理的判定规则：一是两个命题互为逆命题（原命题的条件是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的条件）；二是原命题和逆命题都必须是经过证明的真命题，二者才能称为互逆定理。解题时我们逐个分析选项：第一步判断原命题的真假，第二步写出逆命题并判断其真假，两者都为真的选项即为正确答案。
【解析】
互逆定理的判定要求：原命题为真命题，其逆命题也为真命题，二者才是互逆定理。我们逐一分析选项：
A选项：原命题为“若两条直线垂直，则两条直线有交点”，逆命题为“若两条直线有交点，则两条直线垂直”。逆命题中两条直线相交不一定垂直，是假命题，不符合要求。
B选项：原命题为“若$a+b=0$，则$a$与$b$相等”，$a+b=0$时$a=-b$，仅当$a=b=0$时才相等，原命题本身是假命题，直接排除。
C选项：原命题“同位角相等，两直线平行”是平行线的判定定理，属于真命题；其逆命题为“两直线平行，同位角相等”，是平行线的性质定理，也属于真命题，二者是互逆定理，符合要求。
D选项：原命题“若直线$a⊥c,b⊥c$，则$a// b$”是真命题；其逆命题为“若$a// b$，则$a⊥c,b⊥c$”，直线$c$不一定与平行的$a$、$b$垂直，逆命题是假命题，不符合要求。
综上，只有C选项符合互逆定理的要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 互逆定理
2. 平行线的判定与性质
【点评】
本题考查互逆定理的判断，解题核心是掌握互逆定理的两个必要条件：原命题和逆命题均为真命题，同时要能准确拆分命题的条件和结论，正确写出逆命题，结合已学知识判断真假即可。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先要明确互逆定理的判定规则：一是两个命题互为逆命题（原命题的条件是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的条件）；二是原命题和逆命题都必须是经过证明的真命题，二者才能称为互逆定理。解题时我们逐个分析选项：第一步判断原命题的真假，第二步写出逆命题并判断其真假，两者都为真的选项即为正确答案。
【解析】
互逆定理的判定要求：原命题为真命题，其逆命题也为真命题，二者才是互逆定理。我们逐一分析选项：
A选项：原命题为“若两条直线垂直，则两条直线有交点”，逆命题为“若两条直线有交点，则两条直线垂直”。逆命题中两条直线相交不一定垂直，是假命题，不符合要求。
B选项：原命题为“若$a+b=0$，则$a$与$b$相等”，$a+b=0$时$a=-b$，仅当$a=b=0$时才相等，原命题本身是假命题，直接排除。
C选项：原命题“同位角相等，两直线平行”是平行线的判定定理，属于真命题；其逆命题为“两直线平行，同位角相等”，是平行线的性质定理，也属于真命题，二者是互逆定理，符合要求。
D选项：原命题“若直线$a⊥c,b⊥c$，则$a// b$”是真命题；其逆命题为“若$a// b$，则$a⊥c,b⊥c$”，直线$c$不一定与平行的$a$、$b$垂直，逆命题是假命题，不符合要求。
综上，只有C选项符合互逆定理的要求。
【答案】
C
【知识点】
1. 互逆定理
2. 平行线的判定与性质
【点评】
本题考查互逆定理的判断，解题核心是掌握互逆定理的两个必要条件：原命题和逆命题均为真命题，同时要能准确拆分命题的条件和结论，正确写出逆命题，结合已学知识判断真假即可。
【难度系数】
0.8
10. (★)如图,在$△ ABC$中,DE垂直平分AC,交AC于点E,交BC于点D,连接AD,若$AD=4,BD=2$,则BC的长为 【 】
A.2
B.4
C.6
D.8
A.2
B.4
C.6
D.8
答案
C
解析
【分析】
解题时首先提取题干关键信息：DE垂直平分AC，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。因为点D在AC的垂直平分线DE上，所以可得AD=CD，已知AD的长度即可求出CD的长度，而BC由BD和CD两部分组成，将两段长度相加即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AC，
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴CD = AD，
∵AD = 4，
∴CD = 4，
又
∵BD = 2，点B、D、C在同一条直线上，
∴BC = BD + CD = 2 + 4 = 6。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、线段和差计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的突破口是根据性质得到CD与AD的等量关系，再结合线段的和差运算即可求解，熟练掌握基础性质是解答这类题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题干关键信息：DE垂直平分AC，首先联想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。因为点D在AC的垂直平分线DE上，所以可得AD=CD，已知AD的长度即可求出CD的长度，而BC由BD和CD两部分组成，将两段长度相加即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AC，
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴CD = AD，
∵AD = 4，
∴CD = 4，
又
∵BD = 2，点B、D、C在同一条直线上，
∴BC = BD + CD = 2 + 4 = 6。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、线段和差计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的突破口是根据性质得到CD与AD的等量关系，再结合线段的和差运算即可求解，熟练掌握基础性质是解答这类题的关键。
【难度系数】
0.9
11. (★★)如图,在△ABE中,AD⊥BE,C是DE上一点,且BD=CD,若C是AE垂直平分线上一点,AB=5,AD=4,BC=6,则△ABE的面积为.
答案
$\boldsymbol{22}$
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直和线段相等条件入手：首先AD⊥BE且BD=CD，说明AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线性质可推出AB=AC；再结合C在AE的垂直平分线上，可得AC=CE，即可将CE转化为已知的AB长度。接下来在Rt△ABD中用勾股定理算出BD的长，也就得到CD的长，最后求出底边BE的总长度，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
1. 由AD⊥BE，BD=CD，可知AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，得$AC=AB=5$。
2. 因为C是AE垂直平分线上的点，同理可得$AC=CE$，因此$CE=AC=5$。
3. 在$Rt△ ABD$中，$AB=5$，$AD=4$，由勾股定理计算$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，又因为$BD=CD$，所以$CD=3$。
4. 底边$BE$的长度为：$BE=BD+DC+CE=3+3+5=11$。
5. 计算$△ ABE$的面积：$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× BE× AD=\frac{1}{2}×11×4=22$。
【答案】
$\boldsymbol{22}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是利用垂直平分线的性质实现未知线段和已知线段的转化，再结合勾股定理和面积公式求解，解题时注意梳理线段之间的数量关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直和线段相等条件入手：首先AD⊥BE且BD=CD，说明AD是BC的垂直平分线，根据垂直平分线性质可推出AB=AC；再结合C在AE的垂直平分线上，可得AC=CE，即可将CE转化为已知的AB长度。接下来在Rt△ABD中用勾股定理算出BD的长，也就得到CD的长，最后求出底边BE的总长度，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
1. 由AD⊥BE，BD=CD，可知AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，得$AC=AB=5$。
2. 因为C是AE垂直平分线上的点，同理可得$AC=CE$，因此$CE=AC=5$。
3. 在$Rt△ ABD$中，$AB=5$，$AD=4$，由勾股定理计算$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，又因为$BD=CD$，所以$CD=3$。
4. 底边$BE$的长度为：$BE=BD+DC+CE=3+3+5=11$。
5. 计算$△ ABE$的面积：$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× BE× AD=\frac{1}{2}×11×4=22$。
【答案】
$\boldsymbol{22}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是利用垂直平分线的性质实现未知线段和已知线段的转化，再结合勾股定理和面积公式求解，解题时注意梳理线段之间的数量关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
12. (★★)如图,在$△ ABC$中,DE垂直平分BC交AB于点E,交BC于点D,若$BD=5$,$△ ABC$的周长为31,求$△ ACE$的周长.
答案
解：
∵ DE垂直平分BC，BD=5，
∴ BC=2BD=10，且BE=CE。
∵ △ABC的周长为31，
∴ AB + AC + BC = 31，
∴ AB + AC = 31 - 10 = 21。
△ACE的周长 = AE + CE + AC，
代入CE=BE，可得：
△ACE的周长 = AE + BE + AC = AB + AC = 21。
答：△ACE的周长为21。
∵ DE垂直平分BC，BD=5，
∴ BC=2BD=10，且BE=CE。
∵ △ABC的周长为31，
∴ AB + AC + BC = 31，
∴ AB + AC = 31 - 10 = 21。
△ACE的周长 = AE + CE + AC，
代入CE=BE，可得：
△ACE的周长 = AE + BE + AC = AB + AC = 21。
答：△ACE的周长为21。
解析
【分析】
解题时先从已知条件“DE垂直平分BC”入手，回忆线段垂直平分线的性质：一是垂直平分线平分对应线段，二是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。首先利用第一个性质求出BC的长度，再利用第二个性质得到BE=CE的等量关系。接下来写出△ACE的周长表达式为AE+CE+AC，结合CE=BE的结论，可将周长转化为AE+BE+AC，也就是AB+AC的和。最后结合△ABC的周长为31，减去已求出的BC长度，就能得到AB+AC的值，即△ACE的周长。
【解析】
∵ DE垂直平分BC，BD=5，
∴ BC=2BD=10，且BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ △ABC的周长为31，
∴ AB + AC + BC = 31，
∴ AB + AC = 31 - 10 = 21。
△ACE的周长 = AE + CE + AC，
将CE=BE代入得：
△ACE的周长 = AE + BE + AC = AB + AC = 21。
【答案】
21
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于几何基础常考题，解题关键是利用线段垂直平分线的性质完成边长的等量代换，将未知三角形的周长转化为与已知周长相关的线段和，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件“DE垂直平分BC”入手，回忆线段垂直平分线的性质：一是垂直平分线平分对应线段，二是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。首先利用第一个性质求出BC的长度，再利用第二个性质得到BE=CE的等量关系。接下来写出△ACE的周长表达式为AE+CE+AC，结合CE=BE的结论，可将周长转化为AE+BE+AC，也就是AB+AC的和。最后结合△ABC的周长为31，减去已求出的BC长度，就能得到AB+AC的值，即△ACE的周长。
【解析】
∵ DE垂直平分BC，BD=5，
∴ BC=2BD=10，且BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ △ABC的周长为31，
∴ AB + AC + BC = 31，
∴ AB + AC = 31 - 10 = 21。
△ACE的周长 = AE + CE + AC，
将CE=BE代入得：
△ACE的周长 = AE + BE + AC = AB + AC = 21。
【答案】
21
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于几何基础常考题，解题关键是利用线段垂直平分线的性质完成边长的等量代换，将未知三角形的周长转化为与已知周长相关的线段和，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
13. (★★) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, $△ ABD$ 与 $△ ABC$ 关于 $AB$ 成轴对称,点 $E$ 在 $AD$ 上,点 $F$ 在 $AC$ 的延长线上.若点 $B$ 恰好在 $EF$ 的垂直平分线上,$AE=5,AF=13$,求 $DE$ 的长.
答案
解：连接BE，BF。
∵ △ABD与△ABC关于AB成轴对称，
∴ AD=AC，BD=BC，∠D=∠ACB=90°，
∴ ∠BCF=180°-∠ACB=90°，即∠D=∠BCF=90°。
∵ 点B在EF的垂直平分线上，
∴ BE=BF。
在Rt△BDE和Rt△BCF中，
$\{\begin{array}{l} BE=BF \\ BD=BC \end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△BCF（HL），
∴ DE=CF。
设DE=x，则CF=x，
∴ AC=AD=AE+DE=5+x，
又∵ AF=AC+CF，AF=13，
∴ 5 + x + x = 13，
解得x=4。
答：DE的长为4。
∵ △ABD与△ABC关于AB成轴对称，
∴ AD=AC，BD=BC，∠D=∠ACB=90°，
∴ ∠BCF=180°-∠ACB=90°，即∠D=∠BCF=90°。
∵ 点B在EF的垂直平分线上，
∴ BE=BF。
在Rt△BDE和Rt△BCF中，
$\{\begin{array}{l} BE=BF \\ BD=BC \end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△BCF（HL），
∴ DE=CF。
设DE=x，则CF=x，
∴ AC=AD=AE+DE=5+x，
又∵ AF=AC+CF，AF=13，
∴ 5 + x + x = 13，
解得x=4。
答：DE的长为4。
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：1. 遇到轴对称条件，先根据轴对称性质得到△ABD和△ABC的对应边、对应角相等，即AD=AC，BD=BC，∠D=∠ACB=90°，同时推出∠BCF也为直角；2. 看到“点B在EF的垂直平分线上”，结合线段垂直平分线的性质可得BE=BF；3. 此时有两组边对应相等的直角三角形，可通过HL判定Rt△BDE和Rt△BCF全等，得到DE=CF，实现未知线段的转化；4. 最后设DE的长为x，用含x的式子表示AC和CF的长度，结合AF=13的条件列方程即可求解。
【解析】
连接BE，BF。
∵ △ABD与△ABC关于AB成轴对称，
∴ AD=AC，BD=BC，∠D=∠ACB=90°，
∴ ∠BCF=180°-∠ACB=90°，即∠D=∠BCF=90°。
∵ 点B在EF的垂直平分线上，
∴ BE=BF。
在Rt△BDE和Rt△BCF中，
$\{\begin{array}{l} BE=BF \\ BD=BC \end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△BCF（HL），
∴ DE=CF。
设DE=x，则CF=x，
∴ AC=AD=AE+DE=5+x，
又
∵ AF=AC+CF，AF=13，
∴ $5 + x + x = 13$，
解得$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将未知线段DE转化为线段CF，再结合方程思想建立等量关系求解，能较好地考察几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时从已知条件逐步推导：1. 遇到轴对称条件，先根据轴对称性质得到△ABD和△ABC的对应边、对应角相等，即AD=AC，BD=BC，∠D=∠ACB=90°，同时推出∠BCF也为直角；2. 看到“点B在EF的垂直平分线上”，结合线段垂直平分线的性质可得BE=BF；3. 此时有两组边对应相等的直角三角形，可通过HL判定Rt△BDE和Rt△BCF全等，得到DE=CF，实现未知线段的转化；4. 最后设DE的长为x，用含x的式子表示AC和CF的长度，结合AF=13的条件列方程即可求解。
【解析】
连接BE，BF。
∵ △ABD与△ABC关于AB成轴对称，
∴ AD=AC，BD=BC，∠D=∠ACB=90°，
∴ ∠BCF=180°-∠ACB=90°，即∠D=∠BCF=90°。
∵ 点B在EF的垂直平分线上，
∴ BE=BF。
在Rt△BDE和Rt△BCF中，
$\{\begin{array}{l} BE=BF \\ BD=BC \end{array} $
∴ Rt△BDE ≌ Rt△BCF（HL），
∴ DE=CF。
设DE=x，则CF=x，
∴ AC=AD=AE+DE=5+x，
又
∵ AF=AC+CF，AF=13，
∴ $5 + x + x = 13$，
解得$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
轴对称的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合基础题，解题核心是通过作辅助线构造全等三角形，将未知线段DE转化为线段CF，再结合方程思想建立等量关系求解，能较好地考察几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
