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例 为了更好地使用和节约水资源，某市居民生活用水实施阶梯水价，下表为该市居民生活用水收费标准。
例如，某用户的年用水量为$300\ \mathrm{m}^3$，按三阶梯计量，应缴纳水费为$5×180 +7×(260-180)+9×(300-260)=1\ 820$(元)。
请解答下列问题：
(1)如果A用户的年用水量为$100\ \mathrm{m}^3$，那么A用户需缴纳的水费为
(2)如果B用户一年缴纳的水费为$1\ 040$元，那么B用户该年的用水量为
(3)如果C用户的年用水量为$a(a＞260)\mathrm{m}^3$，求C用户该年应缴纳水费$w$(单位：元)与$a$(单位：$\mathrm{m}^3$)之间的关系式。
例如，某用户的年用水量为$300\ \mathrm{m}^3$，按三阶梯计量，应缴纳水费为$5×180 +7×(260-180)+9×(300-260)=1\ 820$(元)。
请解答下列问题：
(1)如果A用户的年用水量为$100\ \mathrm{m}^3$，那么A用户需缴纳的水费为
500
元；(2)如果B用户一年缴纳的水费为$1\ 040$元，那么B用户该年的用水量为
200
$\mathrm{m}^3$；(3)如果C用户的年用水量为$a(a＞260)\mathrm{m}^3$，求C用户该年应缴纳水费$w$(单位：元)与$a$(单位：$\mathrm{m}^3$)之间的关系式。
答案
(1)500
(2)200
(3) $w = 5 × 180 + 7 × (260 - 180) + 9 × (a - 260)$，即 $w = 9a - 880$。
(2)200
(3) $w = 5 × 180 + 7 × (260 - 180) + 9 × (a - 260)$，即 $w = 9a - 880$。
解析
【分析】
(1)先判断A用户年用水量100m³属于第一阶梯区间，直接用用水量乘以第一阶梯单价即可算出水费；
(2)先计算第一阶梯最高需缴水费，和1040元对比确定B用户用水量超过第一阶梯，再计算第二阶梯最高需缴水费，和1040元对比确定B用户用水量处于第二阶梯，先减去第一阶梯的总费用，剩余费用除以第二阶梯单价得到第二阶梯的用水量，加第一阶梯最高用水量就是总用水量；
(3)a＞260时，需分别计算三个阶梯的水费，第一阶梯180m³按5元/立方米计算，第二阶梯(260-180)m³按7元/立方米计算，超过260m³的部分(a-260)按9元/立方米计算，将三部分费用相加后化简即可得到w和a的关系式。
【解析】
(1)
∵$100≤180$，属于第一阶梯，单价为5元/立方米
∴需缴纳水费=$100×5=500$元
(2)先计算第一阶梯最高水费：$180×5=900$元，$900＜1040$，说明用水量超过180m³
再计算第二阶梯最高水费：$900 + (260-180)×7=900+560=1460$元，$1460＞1040$，说明用水量处于第二阶梯
设B用户用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，列方程：
$180×5 +7×(x-180)=1040$
$900 +7x -1260=1040$
$7x=1400$
$x=200$
(3)当$a＞260$时，三部分水费分别计算：
第一阶梯费用：$180×5=900$元
第二阶梯费用：$(260-180)×7=560$元
第三阶梯费用：$9×(a-260)$元
总费用$w=900+560+9(a-260)=1460+9a-2340=9a-880$
【答案】
(1)500
(2)200
(3)$w=9a-880$
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用；列函数关系式
【点评】
本题结合生活中阶梯水价的实际场景，考查分段计费的计算逻辑，解题的核心是先准确判断用水量所属的收费区间，再对应区间单价计算费用，属于常规的应用型题目，需要注意化简表达式时计算的准确性。
【难度系数】
0.8
(1)先判断A用户年用水量100m³属于第一阶梯区间，直接用用水量乘以第一阶梯单价即可算出水费；
(2)先计算第一阶梯最高需缴水费，和1040元对比确定B用户用水量超过第一阶梯，再计算第二阶梯最高需缴水费，和1040元对比确定B用户用水量处于第二阶梯，先减去第一阶梯的总费用，剩余费用除以第二阶梯单价得到第二阶梯的用水量，加第一阶梯最高用水量就是总用水量；
(3)a＞260时，需分别计算三个阶梯的水费，第一阶梯180m³按5元/立方米计算，第二阶梯(260-180)m³按7元/立方米计算，超过260m³的部分(a-260)按9元/立方米计算，将三部分费用相加后化简即可得到w和a的关系式。
【解析】
(1)
∵$100≤180$，属于第一阶梯，单价为5元/立方米
∴需缴纳水费=$100×5=500$元
(2)先计算第一阶梯最高水费：$180×5=900$元，$900＜1040$，说明用水量超过180m³
再计算第二阶梯最高水费：$900 + (260-180)×7=900+560=1460$元，$1460＞1040$，说明用水量处于第二阶梯
设B用户用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，列方程：
$180×5 +7×(x-180)=1040$
$900 +7x -1260=1040$
$7x=1400$
$x=200$
(3)当$a＞260$时，三部分水费分别计算：
第一阶梯费用：$180×5=900$元
第二阶梯费用：$(260-180)×7=560$元
第三阶梯费用：$9×(a-260)$元
总费用$w=900+560+9(a-260)=1460+9a-2340=9a-880$
【答案】
(1)500
(2)200
(3)$w=9a-880$
【知识点】
分段计费问题；一元一次方程的应用；列函数关系式
【点评】
本题结合生活中阶梯水价的实际场景，考查分段计费的计算逻辑，解题的核心是先准确判断用水量所属的收费区间，再对应区间单价计算费用，属于常规的应用型题目，需要注意化简表达式时计算的准确性。
【难度系数】
0.8
即时测评
某校为引导学生参与课堂实验，培养动手能力，计划购进甲、乙两种化学实验仪器共100件。已知甲仪器的单价为30元/件，乙仪器的单价为50元/件。若该校购买甲仪器x件(x为正整数)，购买这两种化学仪器所需的总费用为y元。
(1)求y与x之间的关系式；
(2)若该校购买这两种化学仪器共花费3 400元，求该校购买甲、乙两种化学仪器各多少件。
某校为引导学生参与课堂实验，培养动手能力，计划购进甲、乙两种化学实验仪器共100件。已知甲仪器的单价为30元/件，乙仪器的单价为50元/件。若该校购买甲仪器x件(x为正整数)，购买这两种化学仪器所需的总费用为y元。
(1)求y与x之间的关系式；
(2)若该校购买这两种化学仪器共花费3 400元，求该校购买甲、乙两种化学仪器各多少件。
答案
(1)若该校购买甲仪器x件，则购买乙仪器(100−x)件。
由题意，得 $y = 30x + 50(100 - x) = -20x + 5\ 000(0＜x＜100$，且$x$为正整数)。
(2)当$y=3\ 400$时，$-20x + 5\ 000 = 3\ 400$，
解得$x=80$。所以$100 - x = 20$。
答：该校购买甲仪器80件，乙仪器20件。
由题意，得 $y = 30x + 50(100 - x) = -20x + 5\ 000(0＜x＜100$，且$x$为正整数)。
(2)当$y=3\ 400$时，$-20x + 5\ 000 = 3\ 400$，
解得$x=80$。所以$100 - x = 20$。
答：该校购买甲仪器80件，乙仪器20件。
解析
【分析】
(1) 要推导总费用y与甲仪器购买数量x的关系式，首先明确总费用=甲仪器总花费+乙仪器总花费。已知两种仪器共100件，甲为x件，则乙为(100-x)件，分别用数量乘对应单价求和即可得到函数式，同时要注意x是正整数，购买数量为正，因此x的取值范围为0＜x＜100且x为正整数。
(2) 已知总花费为3400元，即y=3400，将其代入第一问得到的函数关系式中，得到关于x的一元一次方程，解方程得到甲的数量，再用总数减去甲的数量即可得到乙的数量。
【解析】
(1) 已知购买甲仪器x件，两种仪器共100件，因此购买乙仪器的数量为$(100-x)$件。
根据总费用的等量关系列式：
$y = 30x + 50(100 - x)$
化简得：$y = -20x + 5000$，其中x的取值范围是$0＜x＜100$，且x为正整数。
(2) 当总费用$y=3400$时，代入上述关系式得：
$-20x + 5000 = 3400$
移项计算得：$-20x = -1600$
解得：$x = 80$
则乙仪器的数量为$100 - x = 100 - 80 = 20$（件）
【答案】
(1) $y=-20x+5000$（$0＜x＜100$，且$x$为正整数）；
(2) 购买甲仪器80件，乙仪器20件。
【知识点】
一次函数的实际应用，一元一次方程的求解，列代数式
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题核心是找准总费用的等量关系，正确列出函数关系式，再代入已知条件求解即可，主要考查学生对基础数量关系的梳理能力和简单方程的计算能力。
【难度系数】
0.9
(1) 要推导总费用y与甲仪器购买数量x的关系式，首先明确总费用=甲仪器总花费+乙仪器总花费。已知两种仪器共100件，甲为x件，则乙为(100-x)件，分别用数量乘对应单价求和即可得到函数式，同时要注意x是正整数，购买数量为正，因此x的取值范围为0＜x＜100且x为正整数。
(2) 已知总花费为3400元，即y=3400，将其代入第一问得到的函数关系式中，得到关于x的一元一次方程，解方程得到甲的数量，再用总数减去甲的数量即可得到乙的数量。
【解析】
(1) 已知购买甲仪器x件，两种仪器共100件，因此购买乙仪器的数量为$(100-x)$件。
根据总费用的等量关系列式：
$y = 30x + 50(100 - x)$
化简得：$y = -20x + 5000$，其中x的取值范围是$0＜x＜100$，且x为正整数。
(2) 当总费用$y=3400$时，代入上述关系式得：
$-20x + 5000 = 3400$
移项计算得：$-20x = -1600$
解得：$x = 80$
则乙仪器的数量为$100 - x = 100 - 80 = 20$（件）
【答案】
(1) $y=-20x+5000$（$0＜x＜100$，且$x$为正整数）；
(2) 购买甲仪器80件，乙仪器20件。
【知识点】
一次函数的实际应用，一元一次方程的求解，列代数式
【点评】
本题属于基础的实际应用类题目，解题核心是找准总费用的等量关系，正确列出函数关系式，再代入已知条件求解即可，主要考查学生对基础数量关系的梳理能力和简单方程的计算能力。
【难度系数】
0.9
