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1. 下列函数中，是一次函数的是 （
A.$y=\dfrac{1}{x}+1$
B.$y=2x-1$
C.$y=x^2+2$
D.$y=kx+b$
B
）A.$y=\dfrac{1}{x}+1$
B.$y=2x-1$
C.$y=x^2+2$
D.$y=kx+b$
答案
1. B
解析
【分析】
解决这道题首先要牢记一次函数的定义，明确一次函数需要满足的三个核心判定条件：①函数表达式是关于自变量x的整式；②自变量x的最高次数为1；③x的一次项系数不为0。接下来将每个选项依次对照这三个条件判断，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一次函数的定义：形如$y = kx + b$（$k$、$b$为常数，且$k ≠ 0$）的函数叫做一次函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=\dfrac{1}{x}+1$中$\dfrac{1}{x}$是分式不是整式，不满足一次函数是整式函数的要求，不属于一次函数。
选项B：$y=2x-1$符合一次函数的形式，其中$k=2≠0$，$b=-1$，自变量x的次数为1且表达式为整式，属于一次函数。
选项C：$y=x^2+2$中自变量x的最高次数为2，不满足一次函数自变量次数为1的要求，属于二次函数，不属于一次函数。
选项D：$y=kx+b$没有注明$k≠0$，若$k=0$，函数变为$y=b$是常函数，不符合一次函数的定义，不属于一次函数。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数的定义 2. 整式与分式的区分
【点评】
本题是一次函数的基础判定题，解题的关键是准确把握一次函数定义的几个限制条件，尤其要注意不要忽略一次项系数不为0这个易错点。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要牢记一次函数的定义，明确一次函数需要满足的三个核心判定条件：①函数表达式是关于自变量x的整式；②自变量x的最高次数为1；③x的一次项系数不为0。接下来将每个选项依次对照这三个条件判断，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一次函数的定义：形如$y = kx + b$（$k$、$b$为常数，且$k ≠ 0$）的函数叫做一次函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=\dfrac{1}{x}+1$中$\dfrac{1}{x}$是分式不是整式，不满足一次函数是整式函数的要求，不属于一次函数。
选项B：$y=2x-1$符合一次函数的形式，其中$k=2≠0$，$b=-1$，自变量x的次数为1且表达式为整式，属于一次函数。
选项C：$y=x^2+2$中自变量x的最高次数为2，不满足一次函数自变量次数为1的要求，属于二次函数，不属于一次函数。
选项D：$y=kx+b$没有注明$k≠0$，若$k=0$，函数变为$y=b$是常函数，不符合一次函数的定义，不属于一次函数。
综上，符合要求的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一次函数的定义 2. 整式与分式的区分
【点评】
本题是一次函数的基础判定题，解题的关键是准确把握一次函数定义的几个限制条件，尤其要注意不要忽略一次项系数不为0这个易错点。
【难度系数】
0.8
2. 如果$y=x+2a-1$是正比例函数，那么a的值是
$\dfrac{1}{2}$
。答案
2. $\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数的定义：正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$是常数，且$k\ne 0$），核心特征是不含常数项。题目给出的函数$y=x+2a-1$要满足正比例函数的要求，就需要它的常数项等于0，我们根据这个条件列出关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：根据正比例函数的定义，形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne 0$）的函数是正比例函数，函数中不存在常数项。
已知$y=x+2a-1$是正比例函数，因此常数项满足：
$2a-1=0$
移项得：$2a=1$
系数化为1得：$a=\dfrac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
正比例函数的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查对正比例函数定义的理解，解题的关键是牢记正比例函数不含常数项的特征，掌握定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆正比例函数的定义：正比例函数的一般形式为$y=kx$（$k$是常数，且$k\ne 0$），核心特征是不含常数项。题目给出的函数$y=x+2a-1$要满足正比例函数的要求，就需要它的常数项等于0，我们根据这个条件列出关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：根据正比例函数的定义，形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne 0$）的函数是正比例函数，函数中不存在常数项。
已知$y=x+2a-1$是正比例函数，因此常数项满足：
$2a-1=0$
移项得：$2a=1$
系数化为1得：$a=\dfrac{1}{2}$
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
正比例函数的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，核心考查对正比例函数定义的理解，解题的关键是牢记正比例函数不含常数项的特征，掌握定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
任务二 确定实际问题中的一次函数
阅读材料，完成下列探究。
工艺品店销售某种工艺品，调查发现：当售价为40元/件时，每天的销量为20件；当售价每降低1元时，每天的销量就增加5件。设售价为x元/件，每天的销量为y件。
探究1：求y与x之间的关系式。
探究2：若某天销售时，每件工艺品的利润为15元，当天共盈利750元，求这天该种工艺品每件的售价。
阅读材料，完成下列探究。
工艺品店销售某种工艺品，调查发现：当售价为40元/件时，每天的销量为20件；当售价每降低1元时，每天的销量就增加5件。设售价为x元/件，每天的销量为y件。
探究1：求y与x之间的关系式。
探究2：若某天销售时，每件工艺品的利润为15元，当天共盈利750元，求这天该种工艺品每件的售价。
答案
探究1 解：根据题意，得 $y=20+\dfrac{40-x}{1}×5=-5x+220$，所以 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y=-5x+220$。
探究2 解：当 $y=\dfrac{750}{15}$，即 $y=50$ 时，$-5x+220=50$，解得 $x=34$。所以这天该种工艺品每件的售价为 34 元。
探究2 解：当 $y=\dfrac{750}{15}$，即 $y=50$ 时，$-5x+220=50$，解得 $x=34$。所以这天该种工艺品每件的售价为 34 元。
解析
【分析】
探究1：要推导y与x的函数关系式，首先明确销量的变化规则：售价40元时销量为20件，售价每降低1元，销量增加5件。当售价为x元时，相比40元降低了$(40-x)$元，因此增加的销量为$5×(40-x)$件，总销量等于初始销量加上降价后增加的销量，整理即可得到函数关系式。
探究2：销售总盈利=每件利润×当天销量，已知总盈利和每件利润，可先算出当天的销量y，再将y的值代入探究1得到的函数关系式，解一元一次方程即可求出售价x。
【解析】
探究1：根据题意列关系式：
$\begin{aligned}y&=20+\frac{40-x}{1}×5\\&=20+200-5x\\&=-5x+220\end{aligned}$
探究2：先计算当天销量：
$y=\frac{750}{15}=50$
将$y=50$代入$y=-5x+220$得：
$\begin{aligned}-5x+220&=50\\-5x&=-170\\x&=34\end{aligned}$
【答案】
探究1：$\boldsymbol{y=-5x+220}$
探究2：$\boldsymbol{34}$元
【知识点】
1. 一次函数关系式确定
2. 一元一次方程的应用
3. 销售利润数量关系
【点评】
本题结合实际销售场景考查一次函数与一元一次方程的应用，解题核心是理清售价、销量、利润三者的数量关系，属于一次函数应用的基础题型，熟练掌握相关数量公式即可快速解答。
【难度系数】
0.7
探究1：要推导y与x的函数关系式，首先明确销量的变化规则：售价40元时销量为20件，售价每降低1元，销量增加5件。当售价为x元时，相比40元降低了$(40-x)$元，因此增加的销量为$5×(40-x)$件，总销量等于初始销量加上降价后增加的销量，整理即可得到函数关系式。
探究2：销售总盈利=每件利润×当天销量，已知总盈利和每件利润，可先算出当天的销量y，再将y的值代入探究1得到的函数关系式，解一元一次方程即可求出售价x。
【解析】
探究1：根据题意列关系式：
$\begin{aligned}y&=20+\frac{40-x}{1}×5\\&=20+200-5x\\&=-5x+220\end{aligned}$
探究2：先计算当天销量：
$y=\frac{750}{15}=50$
将$y=50$代入$y=-5x+220$得：
$\begin{aligned}-5x+220&=50\\-5x&=-170\\x&=34\end{aligned}$
【答案】
探究1：$\boldsymbol{y=-5x+220}$
探究2：$\boldsymbol{34}$元
【知识点】
1. 一次函数关系式确定
2. 一元一次方程的应用
3. 销售利润数量关系
【点评】
本题结合实际销售场景考查一次函数与一元一次方程的应用，解题核心是理清售价、销量、利润三者的数量关系，属于一次函数应用的基础题型，熟练掌握相关数量公式即可快速解答。
【难度系数】
0.7
1.“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”印证了温度随着海拔的升高而降低。已知某地的地面温度为25 ℃，且海拔每升高1 km温度下降6 ℃，设距地面h km处的温度为T ℃，则h与T之间的关系式为（
A.$T=\frac{25 - h}{6}$
B.$h=\frac{25 - T}{6}$
C.$T=25 - 6h$
D.$h=25 - 6T$
C
）A.$T=\frac{25 - h}{6}$
B.$h=\frac{25 - T}{6}$
C.$T=25 - 6h$
D.$h=25 - 6T$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先明确题目中的等量关系：距地面h km处的温度=地面初始温度-海拔升高h km下降的总温度。先计算海拔升高h km时的总降温：已知每升高1 km温度下降6℃，升高h km时总降温为6h℃；再将地面温度25℃代入等量关系，即可推导出T和h的关系式，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：由题意得，地面温度为25 ℃，海拔每升高1 km温度下降6 ℃。
海拔升高h km时，下降的总温度为$6h$ ℃，
因此距地面h km处的温度T满足：
$T=25-6h$
符合的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列函数关系式；一次函数实际应用
【点评】
本题结合温度随海拔变化的生活情境考查函数关系式的列法，解题核心是找准变量之间的数量关系，区分固定值和变化值，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目中的等量关系：距地面h km处的温度=地面初始温度-海拔升高h km下降的总温度。先计算海拔升高h km时的总降温：已知每升高1 km温度下降6℃，升高h km时总降温为6h℃；再将地面温度25℃代入等量关系，即可推导出T和h的关系式，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：由题意得，地面温度为25 ℃，海拔每升高1 km温度下降6 ℃。
海拔升高h km时，下降的总温度为$6h$ ℃，
因此距地面h km处的温度T满足：
$T=25-6h$
符合的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列函数关系式；一次函数实际应用
【点评】
本题结合温度随海拔变化的生活情境考查函数关系式的列法，解题核心是找准变量之间的数量关系，区分固定值和变化值，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
2. 小颖现有存款300元。为捐助“希望工程”，她计划今后每个月存款20元，则存款x个月后，存款总金额y（单位：元）与x之间的关系式为
$y=300+20x$
。答案
2. $y=300+20x$
解析
【分析】
解题时首先明确存款总金额的组成：总金额=原有固定存款+后续x个月的累计存款。先找到固定不变的原有存款是300元，再计算x个月的新增存款：每月存20元，x个月的存款就是20乘x，最后把两部分相加就能得到y与x的关系式。
【解析】
第一步：确定固定量，小颖现有的存款是固定的300元；
第二步：计算变化量，每月存款20元，x个月的新增存款为$20× x=20x$元；
第三步：根据等量关系“总存款=原有存款+新增存款”，可列出关系式：
$y=300+20x$
【答案】
$y=300+20x$
【知识点】
列函数关系式；一次函数实际应用
【点评】
本题是函数实际应用的基础题型，解题核心是梳理清楚实际问题中的数量关系，准确区分固定量和变化量，按照对应的等量关系列出表达式即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确存款总金额的组成：总金额=原有固定存款+后续x个月的累计存款。先找到固定不变的原有存款是300元，再计算x个月的新增存款：每月存20元，x个月的存款就是20乘x，最后把两部分相加就能得到y与x的关系式。
【解析】
第一步：确定固定量，小颖现有的存款是固定的300元；
第二步：计算变化量，每月存款20元，x个月的新增存款为$20× x=20x$元；
第三步：根据等量关系“总存款=原有存款+新增存款”，可列出关系式：
$y=300+20x$
【答案】
$y=300+20x$
【知识点】
列函数关系式；一次函数实际应用
【点评】
本题是函数实际应用的基础题型，解题核心是梳理清楚实际问题中的数量关系，准确区分固定量和变化量，按照对应的等量关系列出表达式即可。
【难度系数】
0.9
